基于Phyphox App利用智能手机研究三体耦合摆

周 桐,贺丰源,王锦辉

(上海交通大学 物理与天文学院,上海 200240)

耦合摆具有典型的相互作用系统，在物理教学中受到广泛重视[1-3]。通常耦合摆是由两个通过弹簧进行耦合的单摆构成，在不同实验条件下可以观察到简谐振动、拍振动以及无序振动等现象。对于由三个单摆通过弹簧耦合的三体耦合摆来说，研究相对较少。由于描述三体耦合摆的二阶微分方程组难以精确求解，因此相关研究大多只建立在数值模拟的层面，定量实验较少[4-6]，而借助智能手机进行定量研究的实验更是未见报导。利用智能手机中的三轴磁传感器(电子罗盘)研究磁性单摆运动，可以很方便地研究单摆运动规律，较为精确地测量重力加速度[7]。本文中将钕铁硼小磁铁粘在摆上，利用智能手机磁传感器测量磁感应强度随时间的变化研究三体耦合摆的运动。

1 原理简述

1.1 小角度无阻尼三体耦合摆运动方程

三体耦合摆示意图如图1所示，三个相同的刚性无阻尼振动摆，两两之间通过弹簧相连形成耦合摆，由于弹簧的作用，耦合摆平衡位置并不是竖直位置，可能位于内侧，也可能位于外侧，这取决于弹簧的情况。图中的φ1、φ2和φ3分别表示P1、P2和P3摆相对于平衡位置的角位移。

设三个刚性振动摆完全一致。质量为m，质心位置与棒转动轴距离为L，转动惯量为J，弹簧倔强系数为k，耦合点(弹簧与棒联结位置)与棒转动轴距离为耦合长度l。在小角度摆动下有：sinφ1≈φ1，sinφ2≈φ2，sinφ3≈φ3。可列出方程组：

图1 三体耦合摆示意图

(1)

(2)

1.2 耦合弹簧的改进

通常单摆之间的耦合是用弹簧来实现。如果要改变弹簧的劲度系数k值，图1所示的结构就很难进行调整。在本实验中，如图2所示，相邻两个单摆之间利用细线联结，在细线上悬挂钩码作为等效弹簧，来进行耦合[8]。钩码质量为m0，细线长为2l0。细线与经钩码的铅垂线夹角为θ，等效劲度系数

(3)

图2 等效弹簧示意图

假设φ2=φ3=0，则P1摆偏离平衡位置一个小角度φ1引起的θ变化为

(4)

由(3)和(4)式可求出劲度系数的变化为

(5)

其中m0、g、l、θ、l0分别取0.050 00 kg、9.794 m/s2、0.200 0 m、π/4、0.250 0 m。当φ1最大变化值为0.01 rad，Δk最大变化为0.047 N/m。由(3)式计算出的k为2.770 N/m，相对误差为1.7%。可以看出当耦合摆摆动幅度很小时，k可以作为一个定值。只要改变m0的值，可以很方便地调节k的大小。

1.3 利用Maple软件求解析解

Maple作为专业的数学软件，拥有强大的符号计算能力及数值模拟功能[9]。按照(2)式,设定初始条件即可根据选择的微分方程解法进行求解并作图。

虽然一般情形下的二阶微分方程组无法得到解析解，但在不考虑空气阻尼或摆转动时摩擦阻尼的影响前提下，在特殊初始条件下存在解析解。所有摆释放前速度均为0，即

(6)

角位移逆时针方向为正。初始情况下角位移可取-0.01 rad、0，0.01 rad三种可能，则三体摆共有27种不同的初始状态。去除无耦合的及相似解，选取以下四种初始角度，通过Maple微分方程求解器能够得到解析解。参数J、D、k和l分别取2.55×10-2kgm2，0.312 0 Nm，0.950 0 N/m，0.200 0 m。

(1)φ1(0)=-0.01,φ2(0)=φ3(0)=0

(7)

其中

(2)φ2(0)=-0.01,φ1(0)=φ3(0)=0

(8)

(3)φ2(0)=0,φ1(0)=φ3(0)=-0.01

(9)

(4)φ3(0)=0,φ2(0)=-φ1(0)=-0.01

解析解为

(10)

公式(8)和(9)中P1和P3摆随时间变化关系完全相同。

2 实验装置

三体耦合摆的实验装置如图3所示.

图3 三体耦合摆的实验装置

刚性振动摆由穿过固定在水平支架上的不锈钢针的细木棒组成，木棒底部固定重物进行配重。木棒之间通过吊在细尼龙线上的钩码进行耦合。在木棒底端的重物上粘上钕铁硼小磁铁。调节手机位置，使得智能手机的磁传感器尽量位于磁铁的正下方。在每根木棒上标记好刻度，方便调整耦合长度。实验时控制木棒的摆动方向使得三摆在同一个平面内摆动。

德国亚琛工业大学的Sebastian Staacks等人开发出了运行在智能手机上的物理实验软件Phyphox[10]。在本实验中，利用的Phyphox APP中的磁力计模块测量磁感应强度。研究表明小角度(φ<0.017 rad)摆动时，角位移与磁感应强度x分量Bx在成正比[7]，通过读取x轴磁力计的数据，可以获得耦合摆振动幅度和周期。

3 实验内容

3.1 三体耦合摆在不同初始条件下的运动

使用三部手机的Phyphox App同时测定各摆下方Bx随时间的变化，利用Maple软件对运动方程进行数值求解，将实验结果与所求的解进行比较。其中四种初始条件下耦合长度l均为0.200 0 m。

(1)φ1(0)=-0.01rad、φ2(0)=φ3(0)=0

第一种初始条件下，左边一摆离开平衡位置释放，实验测得三个摆Bx随时间变化关系如图4所示。

可以看出P2摆能观察到“拍”的现象。拍周期约为11 s。幅度由于空气阻尼以及转动摩擦阻尼的影响随时间增大而减小。P1摆幅度随t增加而减小，在28 s左右幅度最小，然后又逐渐增加。与此相反，P3摆幅度在20～35 s左右幅度最大。利用式(7)计算得到P1、P2和P3摆角位移理论曲线图如图4(b)(d)(f)所示。与理论计算的角位移相比，Bx的振幅明显“上下”不对称，这是由于很难将完全将手机磁传感器放在磁铁正下方。理论计算结果显示P1和P3摆未表现“拍”现象。P2摆理论计算得到的拍周期和峰值位置与实验值基本一致。

(a)、(c)、(e)分别为测量得到的P1、P2和P3摆Bx随时间变化关系。(b)、(d)、(f)分别为计算得到的P1、P2和P3摆角位移随时间变化关系。

(2)φ2(0)=-0.01rad,φ1(0)=φ3(0)=0

第二种初始条件下仅中间一摆离开平衡位置释放，测量得到的得到三个摆Bx随时间变化如图5所示。

可以看出P1、P2和P3摆均显示拍现象。拍周期11 s左右。但P2的峰谷变化不是特别明显。当t=5 s时P2幅度极小，两侧的P1和P3摆振幅均接近极大值。但随t增加，极值位置逐渐偏离。图5中(b)(d)(f)插图显示三个摆根据(8)式计算出的角位移随时间变化关系，与实验曲线一样，呈现拍的现象，但峰值位置随着时间增加，与实验值偏离越来越大。

上面的两种初始条件是只改变三体耦合摆其中一个摆的角位移，下面的两种初始条件则是改变两个摆角位移。

(a)、(c)、(e)分别为测量得到的P1、P2和P3摆Bx随时间变化关系。(b)、(d)、(f)分别为计算得到的P1、P2和P3摆角位移随时间变化关系。

(3)φ2(0)=0,φ1(0)=φ3(0)=-0.01rad

在这种初始条件下，中间摆不动，两边两摆向左偏离平衡位置释放。三个摆Bx随时间变化如图6所示。

图6 三体耦合摆在第三种初始条件下的实验和理论曲线

P1和P3摆呈现的拍现象没有P2摆明显。但仍可看出当P2振幅极小时，P1和P3摆振幅接近极大位置。这一测量结果符合利用公式(9)所计算的角位移随时间变化关系。

(4)φ3(0)=0,φ2(0)=-φ1(0)=-0.01rad

此种情况下相邻两摆反方向离开平衡位置释放，三个摆Bx随时间变化如图7所示。

这组实验结果较为有趣，其中P2的Bx随时间变化幅度随时间逐渐减小，有微弱的拍存在。P2的角位移计算结果接近正弦曲线，无拍现象产生。P1和P3摆拍现象非常明显。利用公式(10)计算的拍周期约为17 s。实验测得的P1和P3摆拍周期稍小，分别为15和14 s。

(a)、(c)、(e)分别为测量得到的P1、P2和P3摆Bx随时间变化关系。(b)、(d)、(f)分别为计算得到的P1、P2和P3摆角位移随时间变化关系。

(a)、(c)、(e)分别为测量得到的P1、P2和P3摆Bx随时间变化关系。(b)、(d)、(f)分别为计算得到的P1、P2和P3摆角位移随时间变化关系。

图7 三体耦合摆在第四种初始条件下的实验和理论曲线

3.2 研究耦合长度与中间摆拍周期关系

图4-6显示前三种初始条件下P2摆拍周期实验值和理论值均在11 s左右，因此选取第一种初始条件的三体耦合摆，研究P2摆拍周期与耦合强度之间的关系。耦合强度可以通过调节m0或者l。本实验中通过调节l来改变耦合强度。图8是第一种初始情况下，拍周期T与l的变化关系。随着l从10 cm增加到35 cm，测量得到的T从24.65 s单调减少到4.48 s。

图8 三体耦合摆在第一种初始条件下P2摆拍周期T随l变化的实验和理论值

当l≥5 cm，实验数据点均在利用式(7)得到的理论值附近，平均相对误差仅8.8%。在l为10 cm耦合较弱的情况下，存在比较大的误差。

4 结 语

本文利用智能手机磁传感器研究了四种典型初始条件下三体耦合摆运动规律，观察到明显的拍现象，以及能量在摆之间非常直观的转移过程。实验装置简易并且成本很低，可以得到定量的实验结果。另外，实验中使用钩码加尼龙线的组合代替弹簧，一方面居家实验中很难找到合适的弹簧，另一方面还可通过改变钩码质量或者改变尼龙线所系的位置来调节耦合强度，实验内容更为丰富。

最后，对三体耦合摆而言，虽然无法得到一般条件下的运动方程的解析解，本文利用Maple软件选定无阻尼情况下四种初始条件进行了数值求解。