基于“三个理解”的“一题一课”设计与思考——以“二次函数的最值问题”为例

陈世文

（浙江师范大学附属嘉善实验学校）

“一题一课”是教师通过对一道题或一个材料做深入研究，挖掘其内在的学习线索和数学本质，基于学情，自然、合理、有序地组织学生进行相关数学探究活动，以达成多维目标的过程. 章建跃博士曾提出“三个理解”（理解数学、理解学生、理解教学），并指出“理解数学、理解学生、理解教学”是课程改革的“三大基石”.

由此，笔者提出了基于“三个理解”的“一题一课”设计，以优化课堂教学，提升课堂教学效率，帮助学生形成知识体系、内化数学方法、提升核心素养. 下面以笔者近期执教的一节“二次函数的最值问题”为例，谈谈基于“三个理解”的“一题一课”设计与思考.

一、素材与目标

1. 素材选取

题目已知二次函数y=-x2+6x-5.

（1）求二次函数图象的顶点坐标.

（2）当1 ≤x≤4 时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当t≤x≤t+3 时，函数的最大值为m，最小值为n，若m-n=3，求t的值.

此题是2021年浙江省嘉兴市的一道中考试题，第（1）小题求二次函数图象的顶点坐标，直接运用配方法或公式法即可求解；第（2）小题求定区间二次函数的最大值和最小值，由于顶点在此区间内，所以最大值在顶点取到，但最小值在何处取到需要结合图象和函数增减性求解；第（3）小题求动区间函数的最大值和最小值，需要对区间和对称轴的位置进行分类讨论，然后结合二次函数的图象及其增减性求解，全面、系统地考查了学生对二次函数最值的理解，对学生能力和素养提出了较高的要求. 因此，以此为素材进行“一题一课”教学设计，以期达到以下教学目标.

2. 教学目标

（1）进一步加深对二次函数的图象、性质和最值的理解，能结合二次函数的图象和性质对函数最值进行分析.

（2）理解区间和对称轴对函数最值的影响，并会求定区间、动区间和动对称轴的二次函数最值，系统建构二次函数的最值问题.

（3）体会数形结合、分类讨论等思想方法在求二次函数最值中的运用，发展推理能力、运算能力等数学核心素养.

二、教学过程

1. 定对称轴定区间求最值

例1 （1）求二次函数y=-x2+6x-5 的最大值或最小值；

（2）求二次函数y=-x2+6x-5( )1 ≤x≤2 的最大值和最小值；

（3）求二次函数y=-x2+6x-5( )1 ≤x≤4 的最大值和最小值.

对于第（2）小题，教师出示如图1所示的图象，并在图象上重点标注出1 ≤x≤2 的部分，学生观察图象并思考得出：当x=1 时，y取到最小值为0；当x=2时，y取到最大值为3.

图1

对于第（3）小题，由学生自主尝试画出1 ≤x≤4 的图象部分，然后观察图象，得出：当x=1 时，y取到最小值为0；当x=3 时，y取到最大值为4.

最后教师提问：二次函数的最值一定在顶点处取到吗？它与什么有关系？

学生思考、总结得出：二次函数的最值不一定在顶点处取到，它与自变量的取值范围以及对称轴的位置有关.

【设计意图】通过3道小题从求无区间限制的二次函数最值到求有区间限制的二次函数最值，让学生感受两者的不同，从而体会区间和对称轴的位置对二次函数最值的影响，为后面分类讨论打下基础. 同时，初步掌握利用函数图象与性质分析求有区间限制的二次函数最值的方法：画二次函数图象—根据区间确定有效图象—结合函数图象和增减性确定最值.

2. 定对称轴动区间求最值

例2 求二次函数y=-x2+6x-5( )t≤x≤t+3 的最大值和最小值.

教师利用几何画板软件动态演示，引导学生观察、思考、发现，随着t的改变，函数的最值也会发生改变，从而理解分类的必要，并找到分界点，掌握分类的方法，然后师生共同完成.

①当t≤0 时，如图2所示.

图2

图3

图4

当x=t+3时，y取到最小值，最小值为y=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4；

当x=3 时，y取到最大值，最大值为y=4.

④当t ＞3 时，如图5所示.

图5

当x=t时，y取到最大值，最大值为y=-t2+6t-5.

【设计意图】从定区间到动区间，让学生在区间变化过程中进一步体会区间和对称轴的位置对二次函数最值的影响，掌握利用函数图象与性质分析求动区间二次函数最值的方法，渗透分类讨论、数形结合思想，发展学生的推理能力、运算能力等数学核心素养.

3. 动对称轴定区间求最值

例3 已知二次函数y=x2-2ax+a2-1( 0 ≤x≤3) .

（1）求该二次函数的最大值；

（2）求该二次函数的最小值.

图6

【设计意图】从动区间到动对称轴，让学生在对称轴的变化过程中进一步体会区间和对称轴的位置对二次函数最值的影响. 同时，通过分别求最大值和最小值，考查学生是否真正理解分类的必要性，掌握分类的方法，是对“定对称轴动区间求最值”的一次变式、升华与巩固.

4. 动对称轴动区间求最值

例4 当b≤x≤b+2 时，二次函数y=x2+2bx+2b2的最小值为25，求b的值.

教师利用几何画板软件动态演示，让学生观察、思考函数的最小值在何处取到，与什么有关，从而发现分类的方法：对称轴在区间左侧、对称轴在区间之间和对称轴在区间右侧三类，然后学生自主完成并交流展示.

①当-b ＜b，即b ＞0 时，如图7所示.

图7

图8

当x=-b时，y取到最小值为y=b2=25.

解得b1=5 （舍），b2=-5 （舍）.

③当-b≥b+2，即b≤-1时，如图9所示.

图9

综上所述，b= 5 或b=-3.

【设计意图】此题中对称轴在动，区间也不确定，变量较多，综合性较强，但其本质与方法仍旧是考虑对称轴与区间之间的位置关系，只需要对b进行分类讨论即可，让学生在不断“变化”的过程中体会“不变”的方法与本质，考查学生思维的全面性与深刻性.

5. 梳理知识，形成体系

教师提出问题：在本节课中，同学们学到了哪些知识？你有哪些收获与体会？

学生先思考作答，教师再用思维导图呈现本节课所学的主要内容，思维导图如图10所示.

图10

【设计意图】让学生在交流、反思中，不断积累学习经验，优化知识结构，也让教师在一定程度上了解学生在本节课所学知识的深度和广度，把握学生的数学思维水平. 最后通过思维导图清晰呈现本节课所学内容，帮助学生形成知识体系与结构，深化思想方法.

6. 当堂检测，巩固提升

练习1：y=x2+( )1-a x+1 是关于x的二次函数，当1 ≤x≤3 时，y在x=1 时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）.

（A）a≤-5 （B）a≥5

【设计意图】通过已知“动对称轴定区间”的二次函数最值，逆向设问求参数a的取值范围和“区间为参数，最值也为参数”的“定对称轴动区间”的二次函数最值问题综合评价本节课的重、难点知识，体现教、学、评的一致性.

三、教学思考

1. 理解数学是“一题一课”设计的“魂”

理解数学就是要把握课程的整体结构、理解所教内容的本质、所处的地位和所蕴含的思想方法、科学价值等. 教师只有理解了数学，才能系统地、整体地、联系地看待问题，才能把握教学的方向，有的放矢地设计“一题一课”，因此，理解数学是“一题一课”设计的“魂”.

二次函数的最值问题贯穿了整个初、高中的函数学习，在初、高中数学学习中占有重要的地位，蕴含了丰富的思想方法. 本节课以一道中考二次函数最值问题为生长点，由“定”到“动”，设计“定对称轴定区间求最值—定对称轴动区间求最值—动对称轴定区间求最值—动对称轴动区间求最值”系列问题，层层深入，不断拓展，让学生在“变”与“不变”、“动”与“不动”中体会区间和对称轴的位置对二次函数最值的影响，从而发现问题的本质，掌握解决问题的方法，体会数形结合和分类讨论思想，整体架构二次函数最值问题，深化、完善初中阶段二次函数最值体系，为高中进一步学习打下良好基础.

2. 理解学生是“一题一课”设计的“根”

理解学生就是理解学生的现实水平、认知规律和思维障碍. 对于“一题一课”的设计，首先，要理解学生现实，设计符合学生认知水平和认知规律的“低起点、高落点”问题链；其次，要理解学生的思维障碍，要通过问题设计启发学生不断思考、尝试，不断突破难点与障碍，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”. 例如，本节课先通过例1的第（1）小题“求无区间限制的二次函数最值”这一低起点问题，激活学生的已有认知经验和思维. 随后通过例1 的第（2）小题和第（3）小题引发学生的认知冲突，让学生意识到二次函数的最值不一定总在“顶点”处取到，而是与区间和对称轴的位置有关，然后由“定”到“动”设计系列问题，突破初中阶段许多学生求解二次函数的最值问题时只会机械地套用公式，不会结合二次函数的图象和增减性进行分析，更不太关注自变量的取值范围对函数最值的影响这种“只见树木，不见森林”的片面认识和片面做法，完善学生的认知结构，发展学生思维.

3. 理解教学是“一题一课”设计的“桥”

理解教学主要指教师在理解数学和理解学生的基础上，把数学知识和学生作为有机统一的整体加以处理，架设连接“数学”和“学生”的桥梁. 在本节“一题一课”设计中，教师通过问题链引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生自己理解和掌握基础知识与基本技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验，发展数学核心素养. 例如，通过例1的3个递进问题的解决，让学生自己“悟”出二次函数的最值不一定在顶点处取到，而是与自变量的范围和对称轴的位置有关. 在例2 和例3 的教学中，通过几何画板软件的动态演示，让学生自己观察、思考、合作、交流，从而发现分类的必要性，掌握分类的方法，最后通过尝试解决例4，综合运用所学的知识和方法解决问题，评价所学. 整节课都是学生先行观察、思考、尝试、交流，教师启发、点拨、引导，充分落实“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”这一基本理念，从而更好地发展学生的推理能力和运算能力等数学核心素养.