一则“加权平均数”教学案例的评析

陈丽敏，王 瑾，卢宗凯

（1. 沈阳师范大学；2. 辽宁省实验学校）

一、问题提出

加权平均数反映了一组数据中各个数据的重要程度对整体集中趋势的影响. 加权平均数的大小不仅与一组数据中的每个数据有关，还受到数据的“权”的大小影响.“权”有两种表现形式：一种是绝对数（频数）；一种是相对数（频率）. 学生在学习加权平均数的时候往往会存在诸多认知困难.

例如，在教学中引出如下教学情境. 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写方面的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如表1所示.

表1

（1）如果公司想招聘一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩（百分制），从他们的平均成绩来看，应该录取谁？

（2）如果这家公司想招聘一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制），从他们的平均成绩来看，应该录取谁？

一些学生列出了错误的加权平均数的算式. 例如，甲的成绩：（85×2+78×1+85×3+73×4）÷4；乙的成绩：（73×2+80×1+82×3+83×4）÷4.

同时，学生的课堂回答情况也表明，虽然有些学生能够正确列式，计算出加权平均数，但也只是生搬硬套公式，对“权”的含义理解不透彻，不清楚“权”的意义. 产生这种现象的原因，一方面，来源于学生受到算术平均数的影响；另一方面，来源于该问题情境脱离了学生的实际生活，教师没有深入剖析该问题情境的教学意图，没有解释引入“权”的必要性和“权”的意义. 那么，采用哪种表现形式引入“权”更合适？如何引导学生深入理解“权”的含义？如何能够水到渠成地引入加权平均数的公式？下面通过一节“加权平均数”教学课例进行深入剖析.

二、“加权平均数”的教学课例评析

1.“权”的引入

问题情境1：表2是3名学生的平时、期中、期末三项数学成绩. 如果用三项成绩的算术平均数来计算学生学期总评成绩，你认为合理吗？说说你的想法.不合理的话，按你的想法计算出每名学生的平均成绩，并排出名次.

表2

学生在独立思考的基础上，小组讨论汇报，一致认为用三项成绩的算术平均数来计算本学期数学总评成绩是不合理的，因为三项成绩的重要程度不同. 教师顺势提出让学生寻找方法来区分三项成绩的不同重要程度. 学生并没有提出用教材中的比例来刻画三项成绩，而是提出用不同的百分数（如平时为20%，期中为30%，期末为50%）来刻画三项成绩的重要程度，教师采纳了学生的建议，并让学生计算总评成绩. 学生计算之后汇报结果，学生C 成为第一名. 这个时候教师通过学生C 从最后一名跃升为第一名的原因进行深入挖掘，引导学生体会“权”的意义. 最后，教师明确，用三个百分数来表示三项成绩的不同重要程度，这三个百分数就称为“权”.

【评析】对于“权”的两种表现形式——绝对数（频数）和相对数（频率），教师根据学生已有的知识和生活经验让其感受到算术平均数的局限性，提出“权”的表现形式，并通过计算结果的变化来体会“权”的意义. 可见，这种处理方式符合建构主义理论，教学不再是传递客观而确定的知识，而是要为学生创设理想的学习情境，唤醒学生原有的认知经验，在学生已有的认知经验的基础上开展教学.

2.“权”的形成

教学过程描述：在学生知道百分数可以表示三项成绩的不同重要程度之后，教师进一步引导学生思考，三项成绩的不同重要程度的表示除了可以使用百分数，还可以使用哪些数. 学生提出了分数，教师让学生简要描述如何计算总评成绩，却没有让学生计算得数，以便节约时间. 之后，教师进一步引导学生思考，除了分数和百分数，还有哪种方式能用来表示数据的不同的重要程度. 这时，学生提出还可以用比例来表示. 教师让学生给出具体的比例系数，根据学生给出的比例系数，教师强调比例的三个数字之和不一定必须等于10，而通常教材设置比例系数之和为10是为了方便学生计算. 同时，比例的三个数字之和一般大于3，如果和为3的话，三项成绩的重要程度就相同了，也就是算术平均数. 之后教师让学生根据三项成绩按1∶3∶4的比例来计算问题情境1中每名学生的学期总评.

学生列式计算如下.

学生A的学期总评：

根据学生列式，教师总结得出1∶3∶4 中的1，3，4 同样能表示三项成绩的不同重要程度，也称为“权”，并引导学生归纳出加权平均数的计算公式，强调百分数和分数形式的“权”之和为1，探究加权平均数和算术平均数的区别和联系.

【评析】由于前面增加了用百分数、分数表示“权”的铺垫，因此，学生在“权”为比例形式的这个问题情境中会比较容易避免上文提到的认知困难，得出正确的计算方法. 这里，教师提出的比例1∶3∶4的设定并不是常见的比之和为10，教师借此机会强调比例形式的“权”之和不一定必须为10. 根据“权”的三种不同表现形式，教师引导学生抽象、概括“权”的含义，并根据算式归纳出加权平均数的计算公式. 给出加权平均数的公式之后，教师强调了百分数和分数形式的“权”之和为1. 可见，该教师在教学过程中，激发了学生抽象、概括、分析、综合、鉴别、批判等高级思维过程，并在学生进行意义建构的过程中，给他们提供必要的帮助和支持，促使他们更好地理解“权”的意义.

3.“权”的深化

问题情境2：学校想了解三年五班学生的期末数学成绩，具体成绩为：95 分4 人，90 分6人，87分10人，85分10人，80分5人，76分8人. 求该班学生在此次考试中的平均数学成绩.

教师让学生先自行计算平均成绩，学生列式如下.

平均成绩：

教师让学生独立列出算式，并思考、分析这个算式和上面的加权平均数公式的联系. 学生发现平均成绩的计算公式和加权平均数的计算公式完全相同. 之后，教师引导学生找到公式中的数据和频次分别是哪些数，发现频次大的数据对算术平均数的影响大一些，频次小的数据对算术平均数的影响就小一些. 也就是说，每个数据出现的不同次数表明这个数据对平均数的影响的重要程度不同，和情境1 中各种形式的“权”的含义一样. 因此，数据95，90，87，85，80，76重复出现的次数4，6，10，10，5，8也是权.

【评析】由于前面问题情境中用百分数、分数以及比例形式的“权”来描述不同数据的重要性，比较明显. 但是该情境中的“权”是由数据本身出现的频次多少引入，其表示数据的重要性并不是特别明显. 因此，教师通过讲解揭示频次形式的“权”也能表示不同数据的重要性，与前面的各种形式的“权”的含义建立联系，拓展“权”的内涵.

4.“加权平均数”的应用

在学生初步理解“权”的定义与意义的基础上，教师展示问题情境3：某公司欲招聘职员一名，对应聘者进行素质测试，按创新设计、工作经验、语言形象给应聘者A和应聘者B两人打分，如表3所示. 如果两人中只录取一人，试设计一个录取方案，并按照你的方案说明胜出者适用于什么职位？

表3

教师出示问题情境之后，先让学生独立思考，然后小组交流. 学生集思广益，认为首先需要了解公司的招聘人员需要完成的任务，根据不同的任务，对“创新设计”“工作经验”“语言形象”分别赋予大小不同的“权”，“权”的表现形式可以多样，之后核算分数. 例如，有的学生说：如果招聘“公关代表”，那么“工作经验”和“语言形象”赋的“权”要大些，“创新设计”的“权”要小一些，如将语言形象∶工作经验∶创新设计的比设为5∶3∶1，比较两者的加权平均数之后，录取应聘者A；有的学生说：如果招聘一名设计总监，那么“创新设计”的“权”要比较大，“工作经验”其次，“语言形象”最小，具体的赋值可为“创新设计”占70%，“工作经验”占20%，“语言形象”占10%，比较两者的加权平均数之后，录取应聘者B.

【评析】在学生初步掌握“权”的概念和加权平均数的计算公式后，教师在此处设计一道招聘的开放性习题，通过让学生根据不同含义的数据赋予不同大小和表现形式的“权”的活动，检验学生对于“权”的内涵理解和加权平均数计算公式的应用情况. 在课堂上，师生互动热烈，学生能够积极地参与到交流分享的活动中，描述自己设计的录取方案，阐述自己的理由，教学效果良好.

三、启示

从加权平均数的教学课例中，我们可以得到如下教学启示.

第一，统计概念的教学要基于学生已有的知识经验，促进知识经验的“生长”. 建构主义教学观强调，教学不是传递客观而确定的现成知识，而是要基于学生已有的知识经验，促进知识经验的“生长”，促进学生的知识建构活动，以促成知识经验的重新组织、转换和改造. 因此，统计概念的教学应从学生熟悉的情境出发，基于学生的经验引入，并明确新知识引入的必要性. 例如，在本节加权平均数的教学中，教师从学生熟悉的计算学期总评成绩的情境入手，让学生感受到算术平均数的局限性，通过给不同的数据赋予不同的百分数，在算术平均数的基础上建构了加权平均数.

第二，统计概念的形成要通过丰富实例抽象出概念的本质属性. 在统计概念的教学中，教师要呈现给学生丰富的案例，以供学生开展抽象、概括的数学学习活动. 如果实例过少，学生对该概念的感性认识不充分，就难以对这个概念所包含的各种要素进行全面鉴别，对所要学习的概念的经验也难以建立起来联系，进而影响学生深入地理解概念. 在本节加权平均数概念的教学中，教师通过呈现“权”的不同表现形式，逐步深化学生对于“权”的意义和加权平均数计算公式的理解，而不是通过一种表现形式就迫不及待地给出加权平均数的计算公式，这种教学处理既符合数学概念教学的基本要求，也有利于学生抽象素养的形成.