在数学实验中促进“做”与“思”的融合——以数学实验课“翻牌游戏”为例

沈迎华，孙立章

（江苏省淮安市教学研究室；江苏省淮阴中学开明分校）

数学实验是为了探索数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动，是学生通过观察、操作、实验等实践活动来进行数学学习的一种方式. 这种数学学习方式，不是学生被动接受教材上的或教师叙述的结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等方式获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程.

自2014年9月起，作为苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）的配套教学资源《义务教育教科书·数学实验手册》（以下简称《数学实验手册》）正式发行使用. 针对《数学实验手册》的使用，笔者所在地区的教研部门举办了多场“数学实验教学”专题研讨活动. 本文以其中一节数学实验课“翻牌游戏”的教学为例，谈一谈对数学实验的认识.

一、课例呈现

1. 教学内容概述

“翻牌游戏”是根据教材七年级上册“2.6 有理数的乘法与除法”而设计的一节实验课. 该实验内容与传统数学游戏“翻转纸杯”是同类问题，以常见的扑克牌为工具进行翻牌活动，并对其进行“赋值”计算，通过观察发现积的符号的规律，感受有理数乘法运算的运用，提升学生的抽象能力、推理能力、模型观念等数学核心素养.

2. 教学过程

翻牌游戏规则：取出若干张扑克牌，全部反面朝上放在桌子上. 每次翻相同张数的扑克牌（包括已经翻过的扑克牌），你能否经过若干次的翻牌将所有的扑克牌都变成正面朝上.

说明：如果取出8 张扑克牌，全部反面朝上放在桌上，每次翻5张扑克牌，简单记作“8翻5”.

环节1：熟悉游戏，获得初步猜想.

活动A：教师展示“2翻1”“2翻2”“3翻1”的过程，让学生熟悉游戏规则.

活动B：学生试玩游戏“3翻2”“4翻1”“4翻2”.

问题1：设总牌数是m，每次翻动的张数是n，当m和n之间满足什么关系时，能将所有的扑克牌都变成正面朝上？

师生活动：教师给出翻牌游戏的规则后，为了让学生快速了解游戏的具体规则，教师直接展示活动A的过程，使学生明白如何操作，明白“能”与“否”的含义. 活动B 则由学生亲自利用手中的扑克牌完成操作. 对于“4翻1”“4翻2”，学生很容易完成，无需教师指导. 多名学生到黑板前分别尝试“3翻2”，发现不能将所有的扑克牌都变成正面朝上.

通过以上活动得到如表1所示的信息.

表1 翻牌情况统计

大部分学生根据表1 中的信息能得出猜想：当m能够被n整除时，一定能翻牌成功.然后，教师引导学生列举出一些具体的例子，如“4翻4”“6翻3”“10翻5”，这些都是可以翻牌成功的.

【设计意图】《数学实验手册》中并没有给出活动A和活动B，而是直接给出“7 翻5”的情况，这对学生探求翻牌游戏的规律来说难度较大. 因此，在实际活动设计时教师做了一些调整，从最简单的情况开始研究. 大部分学生在观察、操作完以上游戏后，根据表1中的信息能够得到猜想. 这样的设计符合学生认识客观世界的一般认知规律，由易到难，由简单到复杂，由学生完成初步归纳、推理.

环节2：游戏升级，猜想产生怀疑.

师：前面得到的猜想是很好理解的. 那么当m不能被n整除时，就一定不成功吗？大家尝试完成翻牌游戏活动C——4翻3.

师生活动：教师让学生继续尝试游戏“4 翻3”，有学生在动手尝试后发现“4翻3”可以成功，并让翻成功的学生展示其具体操作方式. 通过这个活动引发了学生的认知冲突，对于上述猜想产生了怀疑. 也就是，当m不能被n整除时，翻牌游戏也是可能成功的.

“4翻3”的具体翻牌步骤如图1所示.

图1“4翻3”的具体翻牌步骤

师：这说明我们前面得到的猜想不全面，要想获得更准确的结论，还需要继续尝试游戏. 同学们继续进行翻牌游戏活动D——5 翻1，5 翻2，5 翻3，5 翻4，5翻5.

问题2：这一组翻牌游戏中，哪些是不通过动手操作，就可以直接判断出一定能翻成功的？

追问：“5翻2”“5翻3”“5翻4”中，哪一种可以翻成功？对于“5翻2”“5翻4”，是没有找到翻出来的方法，还是本身就不能成功？

师生活动：活动D 中的“5 翻1”“5 翻5”是很容易翻成功的，不需要尝试，学生可直接判断. 对于“5翻2”“5 翻3”“5 翻4”，给予学生充足的时间动手尝试. 学生会发现“5 翻3”也是可以成功的，“5 翻2”“5翻4”不能成功.

【设计意图】无论是活动B中的“3翻2”，还是活动D 中的“5 翻2”或“5 翻4”，没翻成功究竟是尝试的次数太少，还是这个游戏本身就不可能成功. 操作层面无法得出准确的结论，能否从理论的层面去解释、说明？这个环节的活动设计就是要引发学生深度思考，让学生由“做”到“思”，寻求解决问题的策略.

环节3：尝试抽象，分析游戏本质.

问题3：大家把扑克牌放到一边，能不能通过动手画一画，把“5翻2”的过程呈现出来呢？

师生活动：学生动手尝试，教师巡视. 在巡视过程中发现有的学生是把扑克牌直接画出来了，有的是通过写“正”“反”来表示扑克牌翻牌前后的状态，还有的是用字母表示.

在学生给出的方法中选择以下两种方式呈现在黑板上：（1）记反面朝上的扑克牌为-a，则正面朝上的扑克牌为a；（2）记反面朝上的扑克牌为-1，则正面朝上的扑克牌为+1.

下面以“反面朝上的扑克牌为-1，则正面朝上的扑克牌为+1”为例，将“5翻2”的翻牌过程表示如下.

开始状态：-1，-1，-1，-1，-1；

第一步：1，1，-1，-1，-1；

第二步：1，1，1，1，-1；

第三步：1，1，1，-1，1；（回到第二步）

第三步（或者）：1，1，-1，-1，-1.（回到第一步）

这样下去就进入了无限循环，无法翻牌成功.

问题4：同学们可以用所学的数学知识来解释为什么“5翻2”不能成功吗？

师生活动：学生通过独立思考、分组合作交流，发现如下规律. 开始状态一共有五个-1，完成第一步后一共有三个-1，完成第二步后有一个-1. 从生活的角度来看，是把牌由反翻成正或由正翻到反；从数学的角度来看，每翻一次牌就是把1 变成-1，或者把-1变成1. 进一步理解，翻一张牌就是把其中一个数字乘以-1，而每次翻两张，相当于同时改变两个数字的符号. 本来五张牌全部反面朝上，可以看作是五个-1相乘，即（-1）×（-1）×（-1）×（-1）×（-1）=-1，如果变成全部正面朝上，就相当于五个+1相乘，即（+1）×（+1）×（+1）×（+1）×（+1）=1. 每次翻两张牌，就相当于在前一个式子左边每次乘两个-1. 于是，问题就转化为是否可以在前一个式子的左边每次乘两个-1，通过若干次操作，最终得到后一个算式. 因为每次乘两个-1，就相当于乘1，不管经过多少次操作，始终无法将前式的结果-1转变为后式的结果+1. 将这个结论返回原来的情境中，五张反面朝上的牌，每次翻动两张，永远不可能实现全部正面朝上，从而引导学生反思：“成功”与“不成功”的问题与整除无关，而是与m，n的奇偶性有关.

因此，再次猜想：当m为奇数、n为偶数时，是不可能翻牌成功的.

这也解释了为什么学生翻不出来“5 翻4”. 同样地，“3翻2”也是这个道理.

【设计意图】一个抽象的数学知识和一个具体的生活情境之间，存在着一段或长或短的数学化过程. 实际上，解决一个数学问题最困难的地方往往并不是对结果的理解，而在于从现实情境到数学结果的数学化过程. 著名的“哥尼斯堡七桥问题”中，欧拉的证明之所以令人叹服，并不在于其抽象出的“一笔画问题”有多么高深， 而在于从“七桥问题”到“一笔画问题”之间巧妙的数学化过程. 就“翻牌游戏”一课来说，主要的教学目标是让学生感受有理数乘法的运用，这个数学化的过程就是数学抽象、数学建模的过程. 具体表现为：去除一些物理属性，把牌面的正、反抽象成相反意义的量，用+a表示正面，用-a表示反面，或者用+1表示正面，用-1表示反面. 数学抽象是数学的基本思想之一，数学抽象一般要经历“具象—表象—抽象”的过程.

环节4：总结归纳，收获游戏规律.

问题5：回顾整个游戏的过程，你有哪些猜想？

学生根据环节3 的启发和前面的活动经验总结出：当m为偶数、n为偶数时，翻牌可以成功；当m为偶数、n为奇数时，翻牌可以成功；当m为奇数、n为奇数时，翻牌可以成功；当m为奇数、n为偶数时，翻牌不能成功.

问题6：当然，这只是我们从有限的游戏次数中得到的猜想，我们继续尝试来验证猜想是否正确. 在总牌数是9 的翻牌游戏中，哪些是不可能成功的？哪些是不需要动手操作就能知道肯定可以翻成功的？

学生在教师的问题引领下，根据前面的翻牌经验，可以得到：“9翻1”“9翻3”“9翻9”是一定可以成功的，“9 翻2”“9 翻4”“9 翻6”“9 翻8”一定不成功. 因此，只需要尝试“9翻5”“9翻7”即可.

在学生自己动手操作后，教师安排学生以“反面朝上的扑克牌为-a，则正面朝上的扑克牌为a”为例，演示“9翻5”，具体过程如下.

开始状态：-a，-a，-a，-a，-a，-a，-a，-a，-a；

第一步：a，a，a，a，a，-a，-a，-a，-a；

第二步：a，a，-a，-a，-a，a，a，-a，-a；

第三步：a，a，a，a，a，a，a，a，a.

游戏成功.

【设计意图】学生经过一系列的游戏活动，经历了“猜想—质疑—分析—完善”的过程，在独立思考、小组合作、教师引导下逐步得出了翻牌游戏的本质规律. 这个结论固然重要，但是获得结论的过程更重要. 史宁中教授曾指出，过去，我们教了一些结果，没教智慧，智慧是表现在过程之中的. 学生通过动手实验，尝试用所学知识解释实验结果的过程就是一种深刻的“过程”中教育. 最后让学生玩“9翻5”的游戏，是从一般到特殊的验证过程，让学生感受到“奇翻奇”确实能成功. 同时，提出了一个更有深度的问题：翻牌游戏能成功的前提下，最少需要翻牌几次？至此，在活动中促进了学生“做”与“思”的深度融合，真正达到启思明智的目的.

二、教学反思

1. 数学实验体现了“做中学”的理念

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《标准》）提出：学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式. 教学活动应注重启发式教学，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜想、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题. 基于这样的要求，教师有必要在平时的教学中设计和开发一些数学实验活动，引导和鼓励每名学生都能充分参与到实验中来，亲历、体验和感受数学，在“玩中学”，在“做中学”，在实验的过程中培养学生的动手实践、探索创新的能力.

“翻牌游戏”正是为有理数的乘法的运用而设计的一节数学实验活动课，以扑克牌为工具进行操作活动，教师通过提出有价值的问题，引发学生的数学思考，使学生在游戏中不断猜想、归纳，探寻数学规律，从而用数学的方法解决问题. 这节课给学生的学习方式带来了实质性的变化. 在翻牌游戏中，学生调动多种感官参与数学认知活动，通过观察、操作、实验，获得抽象的数学概念、原理所需要的现实材料，在此基础上通过归纳、类比、抽象、概括等方式，提取共性而获得数学概念，发现规律而获得数学原理和性质，并获得解决问题方法的启发. 通过数学实验，学生不仅经历了数学对象的要素、概念内涵的抽象过程，数学法则、性质、公式等的归纳和发现过程，而且产生了“如何研究”“如何发现”的方法论感悟. 数学实验使得数学知识成为学生自己发现的结果，能为学生理解数学知识奠定坚实基础，也使学生对应用知识的背景条件形成完整的认识. 因此，数学实验使数学学习成为学生自己可以掌控过程的必要条件. 学生在“做数学”中“学数学”和“用数学”，突出了教学过程中主体的参与性，必然能更有效地培养学生的探索能力和创新意识，激发学生的好奇心和求知欲，也更有利于学生的个性发展.

2. 数学实验是学生积累基本活动经验的重要途径

《标准》在课程总目标中提出：学生能获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. 这里的基本活动经验是指在教学目标的指引下，通过对具体实物进行实际操作、观察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识，是学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识. 杜威曾指出，所做的事情、动作和感受（或经历）的密切关系就形成我们所谓的经验. 数学活动经验是过程、是经历，其主要特征是主体性、动态性、活动性，获得的途径主要是在“做数学”的过程中获得、在“数学化”的过程中获得、在“数学探究”的过程中获得. 因此，“数学实验”是学生积累基本活动经验的一种重要途径.

在“翻牌游戏”一课中，学生在实际的外显操作（翻牌）中不仅可以获得感官、直觉的感受、体验等操作经验，在问题探究、问题解决过程中所开展的数学活动也有指导操作活动的思维体验，如猜想、归纳、类比、推理、数据分析等，从而积累了数学的思维经验和探究经验. 本节课的活动对学生的情感体验也有着积极的推动作用. 翻牌游戏的规律和结论不是以完满的形式展现给学生，而是让学生通过亲身体验游戏规律的发生、发展过程，使每名学生都可以自由地、大胆地猜想、实验、验证，享受数学发现的喜悦，实现“学数学”到“做数学”再到“用数学”的过程，对发展学生积极的数学情感大有裨益.

3. 数学实验的设计要体现“做”与“思”的融合

数学实验具有以下四个基本特征.（1）实证性.数学实验追求的不仅仅是对数学命题的逻辑论证，更重要的是揭示数学问题的形成过程.（2）深刻性. 数学实验追求的不仅仅是知识的获取和解决的过程，更重要的是对知识的再发现和对问题的再创造过程.（3）探索性. 数学实验追求的不仅仅是解决问题的方法与途径的选择，更重要的是解决问题过程中所蕴含的数学思想.（4）创造性. 数学实验追求的不仅仅是按部就班地获得结论，更重要的是培养求异思维和创新精神. 数学实验的设计要使学生充分认识数学实验的基本特征，要充分体现“做”服务于“思”，“思”是“做”的升华.

“翻牌游戏”一课正是基于以上数学实验特征进行的活动设计. 教师先给出翻牌游戏的规则，设计了四个有梯度的活动环节. 在环节1中，教师设计了如“2翻1”“2翻2”“3翻1”“3翻2”“4翻1”“4翻2”的简单活动，学生很容易通过动手实验的方式获得答案. 在完成活动A 和活动B 后，教师又提出了具有针对性的问题1. 这是一个从实验、观察到猜想、归纳的过程，也是一个思维深度发展的过程，是培养学生数学归纳、推理能力的机会. 环节2中的活动C是一个引发学生认知矛盾的活动设计，当m不能被n整除的情况下，通过实验发现游戏“4翻3”也可以成功，引发学生进一步的探索欲望. 活动D 结束后，教师提问“如果在牌的张数太多的情况下，实验就困难了，我们应该如何来分析呢？”引导学生尝试用数学的方法来思考、表达翻牌游戏的规律. 开放性问题设计给了学生更大的思考空间，有利于培养学生的创新能力. 上课时，发现不同层次的学生用了不同的方法来解决问题.环节4中，教师提出了问题5，这是从动手实验到结论归纳的再提升. 从整个课堂的教学活动来看，学生在教师的引导下，充分参与，在“做”中“思”，在“思”中动手验证，整个教学活动手脑并用，“做”“思”融合，很好地发展了学生的抽象能力、模型观念和推理能力.

三、结束语

G.波利亚曾指出：数学有两个侧面，一方面，它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学看起来像是一门实验性的归纳科学. 因此，借助于“数学实验”的平台，不但可以促进学生“做”“思”融合，启思明智，而且可以有效帮助教师转变数学教学观念，改进教学方式，进而提高教学质量，发展初中学生的数学核心素养.