可微函数及其平方积分的估计

李容星

(湖北师范大学文理学院，湖北 黄石 435109)

一、引 言

二、柯西-施瓦茨定理

我们先引入柯西-施瓦茨定理：

设函数()和()都在[,]上可积，则

柯西-施瓦茨定理有如下简单的推论：

设函数()在[,]上可积，则

在柯西-施瓦茨定理中取()=1即可得证

设函数(),()在上连续可微，则

由引理1可得

于是

即推论2得证

设函数(,)在上连续可微，则

即定理1得证

三、可微函数平方积分的估计

我们首先对函数本身进行估计：

由牛顿-莱布尼茨公式有

由引理2有

(1)

同理有

从而

(2)

由(1)(2)式有

(-)()=(-)()+(-)()

(3)

即

即定理2得证

从定理2的证明过程中我们可以对函数的积分进行估计：

设函数()在[,]上连续可微，且()=()=0，则

由定理1证明过程中的(3)式，对∀∈[,]有

两边对积分有

从而

即定理3得证

继续研究定理3的证明过程我们可以得到如下结论：

设函数()在[,]上连续可微，且()=()=0，则

由定理2证明过程中的(1)(2)式，对∀∈[,]有

累次积分变换积分次序可得

(4)

累次积分变换积分次序可得

(5)

从而由(4)(5)式有

即定理4得证

四、可微函数其他积分的估计

利用上述的结论可以对函数及其导数的乘积进行估计：

设函数()在[,]上连续可微，且()=()=0，则

证 由引理1和定理4可得

从而

即定理5得证

利用定积分与原函数的关系也可以对定理2的结论进行改进：

设函数()在[,]上连续可微，且()=()=0，则

两式相加，并利用推论1可得

同理可得

故而

即定理6得证

五、在高等数学中的应用

因此该题得证

六、结 语

利用函数的性质以及相关的定理与公式对函数及其变式的积分进行估计是数学分析中一个非常重要的工作在第一部分，本文先对函数本身进行估计，然后利用柯西-施瓦茨定理对函数的平方进行估计，接着利用重积分可以交换积分顺序的特性来改进结果在第二部分，本文利用第一部分的结果，对函数及其导数的乘积进行估计该思想的本质是利用柯西-施瓦茨定理结合函数本身导数的性质对函数进行估计，只要掌握好该思想，就能够简化高等数学中相关问题的推导，对函数的积分进行更好的估计