布朗运动理论中的反常问题及原因分析

高 宏

(北京市清华大学，北京 100084)

一、引 言

布朗运动是一种具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程，是刻画布朗粒子不规则运动、光纤陀螺随机游走误差和股票价格随机波动的重要数学工具，在自然科学、工程技术和社会科学领域有着广泛应用1905年，爱因斯坦认为布朗粒子的不规则运动是由于受到大量液体分子的高速碰撞而引起的，并推导出了描述布朗粒子浓度分布规律的扩散微分方程，从理论上证明了布朗粒子浓度分布函数(,)在时刻服从(0，)正态分布1923年，维纳(Wiener)发表了关于布朗运动的研究论文，假设一个布朗粒子在时刻的位移()也服从与浓度分布函数(,)相同的正态分布，并给出了反映布朗运动基本数量关系的布朗运动定义，为《随机过程》布朗运动理论的建立和发展奠定了研究方法和基本假设基础，因此布朗运动也被称为维纳过程随着布朗运动理论的广泛应用和现代物理学实验手段的不断进步，人们发现《随机过程》布朗运动理论出现了一系列与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题本文介绍了布朗运动理论中出现的反常问题，分析了产生反常问题的原因

二、布朗运动定义及性质

设()为一个布朗粒子在时刻的位移(图1)，(0)=0，定义

(1)()为平稳独立增量过程；

(2)()～(0，)，其中>0为常数；

(3)()是的连续函数

则称()是参数为的布朗运动，或维纳过程

图1 布朗粒子位移曲线

《随机过程》教科书根据布朗运动定义，推导出了布朗运动的两个重要性质：

(1)布朗粒子在时刻的位移()服从均值为零、方差为的正态分布；

(2)布朗粒子瞬时速度无穷大(不存在)，或布朗运动路径处处不可导

三、反常问题

库恩在《科学革命的结构》一书中给出了反常问题的定义：反常问题是指能威胁到科学理论基础，使科学理论的客观真理性和逻辑完备性受到怀疑或被证伪，并引起科学危机和导致科学理论范式转换的科学问题反常问题主要包括以下三个方面

(一)理论内部逻辑上不能自洽

科学理论是具有一定逻辑结构的理论系统，是由一系列概念、判断和推理组成的逻辑演绎体系，必然要求理论内部在逻辑上自洽一旦科学理论内部出现自相矛盾的逻辑悖论，则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏，在逻辑上被证伪数学史上的三次数学危机都是由于逻辑悖论的发现而直接导致的

设为布朗运动首中时(布朗粒子首次到达图1中位置的时间)，则首中位置()=为常数

根据布朗运动定义()～(0，)的性质，()的数学期望和方差分别为

[()]=0

(1)

[()]=

(2)

但是，根据()=，可分别计算出()的数学期望和方差为

[()]=[]=

(3)

[()]=[]=0

(4)

显然，根据首中位置()=计算出的数学期望和方差与布朗运动定义给出的数学期望和方差相互矛盾

(二)理论与经验事实不符

科学理论是反映人类对自然界本质特征及规律的系统化知识体系，科学理论最本质的特征是其客观真理性，它要求科学理论必须要正确地反映客观事物的本质及其规律性如果科学理论中的可检验结论与实验检验结果不符，则表明该理论被实验检验证伪

1位移正态分布性质与客观事实不符

《随机过程》布朗运动理论假设布朗粒子在时刻的位移()服从(0，)正态分布，则图1所示的布朗粒子位移曲线应具有如下两个正态分布的重要特征：

对称性：绝对值相等的正、负位移值出现的次数大致相等

集中性：绝大多数位移值聚集在均值(原点)附近

但是，图1所示的布朗粒子位移曲线既不存在正态分布的对称性，也不满足正态分布的集中性，因此，《随机过程》布朗粒子位移服从正态分布的假设与客观事实完全不符

2瞬时速度无穷大(处处不可导)与物理学实验不符

《随机过程》教科书根据“布朗粒子位移服从正态分布”的假设，推导出了布朗粒子瞬时速度无穷大(不存在)或布朗运动路径处处不可导的结论

2010年，美国得克萨斯大学的李统藏地利用激光光镊技术首次实验测量到了布朗粒子的瞬时速度，实验结果表明，布朗粒子的瞬时速度是均值为零的不相关白噪声，布朗粒子的瞬时速度(导数)不仅存在，而且可观测，直接颠覆了《随机过程》教科书布朗粒子瞬时速度无穷大(不存在)和布朗运动路径处处不可导的错误结论，同时也证明了“布朗粒子位移服从正态分布”的假设不能成立

事实上，根据爱因斯坦布朗运动理论中的“同一个布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立”假设，直接就可得出“布朗粒子瞬时速度为零均值不相关白噪声”的结论

(三)应用导致金融危机

1965年，美国第一位获得诺贝尔经济学奖的著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)，根据《随机过程》布朗粒子位移服从正态分布的错误假设，建立了描述股票价格随机波动现象的几何布朗运动模型

1970年，布莱克(Black)和斯科尔斯(Scholes)基于萨缪尔森的几何布朗运动模型，推导出了著名的B-S期权定价公式.由于B-S期权定价公式为股票、债券、货币、商品等金融衍生产品的定价提供了数学工具，B-S期权定价公式迅速被广泛应用于金融市场，直接导致了“第二次华尔街数学革命”，使金融市场获得了空前规模的发展.1997年，斯科尔斯因此获得了第二十九届诺贝尔经济学奖，布莱克不幸英年早逝，没有与斯科尔斯一起领奖.

由于几何布朗运动模型与实际股票价格波动现象和运行趋势严重不符，导致-期权定价公式成为造成 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危机的罪魁祸首

被誉为“中国金融数学开创者”、获得2020未来科学大奖“数学与计算机科学奖”的彭实戈院士，在《中国基础研究发展报告(2019年)》第二章中国数学前沿进展中明确指出：B-S 期权定价理论是造成以前历次重大金融危机的关键性原因.

英国著名数学家斯图尔特(Stewart)在《改变世界的17个方程》书中写道：B-S期权定价公式改变了世界，它不仅创造了一个金额难以估计的产业，而且也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃.

畅销书《黑天鹅》作者塔勒布(Taleb)在《金融时报》上发表了题为“破坏市场的伪科学”专栏文章，对金融数学进行了严厉的批判：人们从一次又一次的金融危机中得出了“金融数学的有效性与占星术一样不靠谱”和“金融数学通过创造风险来危害金融系统”的结论.塔勒布痛斥金融数学理论获得诺贝尔奖不仅是对科学的侮辱，而且一直使金融体系面临崩溃的风险.

四、原因分析

(一)物理概念错误

爱因斯坦认为布朗粒子的不规则运动是由于受到大量液体分子的连续随机碰撞造成的，并假设“同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”和“不同布朗粒子之间的运动互不相关”，推导出了布朗运动扩散微分方程

式中(,)为布朗粒子的浓度分布函数，为扩散系数

布朗运动扩散方程的归一化解析解为：

(6)

显然，布朗粒子在扩散过程中的浓度分布函数(,)服从正态分布，有

(,)～(0，)

(7)

式中=2

维纳在研究单个布朗粒子的运动规律时，将描述大量布朗粒子浓度分布规律的正态分布抽象为一个布朗粒子的位移变化规律，并定义布朗粒子在时刻的位移

()～(0，)

(8)

布朗运动定义是对现实世界布朗运动基本数量关系的反映，也是建立布朗运动理论的逻辑起点(基本假设、基本原理或基本公理)维纳将大量布朗粒子的浓度分布规律等同于单个布朗粒子的位移变化规律，导致建立布朗运动理论的逻辑基础与客观事实不符，因此从布朗运动定义出发推演出的布朗运动理论必然无法正确描述布朗运动现象及规律

(二)数学抽象错误

数学抽象是指从现实世界中提取出研究对象的数量关系、空间形式及变化规律，并用数学符号表示为数学概念或数学模型，从而可用数学语言来刻画客观世界的本质属性与内在规律在特定的语境中，数学抽象有时是指“抽象的结果”，有时是指“抽象的过程”或“抽象的方法”

《牛顿力学》和《随机过程》均以质点作为研究对象《牛顿力学》将质点位移与时间之间的数量关系抽象为时间函数()，而《随机过程》却将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量()

虽然《随机过程》使用时间函数符号()来表示随机变量，但随机变量()并不是时间的函数，它实质上是定义在样本空间上的单值函数，是样本点的函数

样本空间映射的是随机试验所有可能结果构成的集合，因此随机变量()在时刻有多个或无穷多个取值，而时间函数()在时刻只有唯一一个取值时间函数()和随机变量()的区别及所描述的物理对象见表1

表1 时间函数和随机变量的区别

从表1可以看出，时间函数和随机变量是两种内涵与外延完全不同的数学结构，对应于完全不同的物理对象时间函数用来描述单个质点的位移随时间变化过程，随机变量用来描述所有质点在时刻的空间位置分布状态

事实上，根据随机过程定义，一个随机运动的质点在时刻的位移()是固定时的随机过程(,),亦即样本函数()或样本轨道()，而样本函数本身就是时间函数《随机过程》教科书将质点在时刻的位移()错误地抽象为随机变量，导致《随机过程》研究对象无形中从单个质点改变为质点集合，建立的理论必然与客观事实不符，无法正确描述单个布朗粒子运动现象及规律

(三)逻辑错误

数学以逻辑推理的严密性著称为了保证数学理论的确定性、无矛盾性和明确性，在运用概念、做出判断、进行推理的数学思维过程中，必须要遵循同一律、矛盾律、排中律和充足理由律这四个逻辑思维基本规律但是，《随机过程》教科书中却出现了一系列违反同一律和矛盾律的逻辑错误

同一律是指在同一数学思维过程中，所使用数学概念的内涵和外延必须要与其自身始终保持同一如果在同一数学思维过程中，把两个完全不同的数学概念混为一个概念，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，必然会导致推导出的结论在逻辑上不能自洽

矛盾律是指在同一数学思维过程中，两个不同的数学概念不能反映同一对象如果用两个不同的数学概念描述同一对象，就会出现违反矛盾律的逻辑错误，必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生

以布朗运动定义为例，分析《随机过程》教科书中的逻辑错误(表2)定义是通过简明陈述来揭示概念内涵或解释命题的逻辑方法，布朗运动定义中的被定义项()为时间函数，但是布朗运动定义中的定义项却用随机变量和时间函数这两个定义域和值域完全不同的数学概念来描述同一个布朗粒子在同一时刻的位移，从而出现了违反同一律和矛盾律的逻辑错误由于随机变量和时间函数在同一时刻的数学期望和方差完全不同，因此必然会导致《随机过程》布朗运动理论产生逻辑悖论，在逻辑上不能自洽

表2 布朗运动定义中逻辑错误分析

《随机过程》布朗运动理论是以布朗运动定义作为其逻辑出发点(基本原理、基本公理或基本定律)，按照一定的逻辑规则推演出来的一系列逻辑结论布朗运动定义中的逻辑错误，导致《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性在逻辑出发点就遭到颠覆式破坏

五、结论

本文对《随机过程》布朗运动理论中出现的“理论与经验事实不符”“逻辑上不能自洽”“应用导致金融危机”等反常问题进行了介绍，详细分析了导致《随机过程》布朗运动理论产生反常问题的物理概念错误、数学抽象错误和逻辑错误《随机过程》布朗运动理论出现一系列的反常问题，表明布朗运动理论的客观真理性和逻辑完备性被证伪，预示着布朗运动理论将面临库恩在《科学革命的结构》书中所描写的重大范式转换，《随机过程》教科书中原有的错误方法和错误理论将会被新方法和新理论所取代，为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇