自然递进促生长，核心素养有落实——以“一次函数的图像”第一课时为例

施燕芬

(浙江省杭州市萧山区高桥初级中学，浙江 杭州 311208)

一、数学核心素养和自然递进简介

目前培养学生核心素养成为我国教育界的热点，成为社会和教育者眼中深化课程改革、落实立德树人的根本任务的重要因素而学生核心素养的培养最终还是要落实在学科核心素养的培养上数学核心素养的本质在于会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界作为落实数学核心素养的重要支点和主要渠道，课堂教学应为发展学生的数学核心素养提供助力

自然递进就是通过若干个相互联系的学习环节，按照一定的逻辑顺序和形式形成学习知识链，对知识进行“全方位，立体化，有层次”的整体性理解，促进探究教学数学是生长的，将自然递进的教学理念引入数学学习中，是让数学学习活动助力学生个体生命的成长；是逻辑连贯的数学教学；是前后一致的数学教学；是关注学生生命成长的数学教学

二、教学分析与设想

本节内容选自浙教版八年级上第五章第四节第一课时，是在已经学习了平面直角坐标系、常量与变量、函数的表示方法及一次函数的概念等基础上，对一次函数的图像进行的深入探究同时，本节课的内容对后续学习反比例函数、二次函数的图像与性质有着借鉴作用本节的教学目标不仅要使学生了解一次函数的图像是一条直线，更侧重画图的生成过程、转化等思想方法的提炼过程、图像知识的升华过程因此为了有效落实教学目标，本课以一次函数的图像探索为主线，从知识发生、发展上逐步引入、探索新知识，让新知识逐步自然生长

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出，数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法课程内容的选择要有利于学生体验与理解，思考与探索”基于学生学情对教学内容的分析，在教学设计时对教学内容进行整体构思，分步编排，将本节课的学习任务做一次分解，其结构如图1所示

图1

三、教学过程与说明

【设计】

图2

如图2所示的是甲、乙两人在一次赛跑中路程与时间的函数图像你能从中获取哪些信息？

根据图像回答下列问题：

(1)这是一次几百米的赛跑？

(2)甲、乙两人中谁先到达终点？

(3)乙在这次赛跑中的速度是多少？

【现场】

师：同学们，请根据图像回答下列问题

生(众)：这是100米的赛跑，甲先到达，乙的速度是8 m/s

师：从中还能得到哪些信息？

生1：甲跑得比乙快，甲比乙提前05 s到达终点

生2：甲跑完全程需12 s，乙跑完全程需125 s

师：很好！根据图像我们能得到很多的信息参照图像甲，当=3时，=25，这样把自变量作为点的横坐标，把函数作为点的纵坐标就得到点(3，25)，而当=6时，=50，就得到点(6，50)……所有这些点就组成了这个函数的图像今天我们就来探究一次函数的图像

【教学说明】

数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验上本环节的设置意在让学生理解函数图像的概念，感受函数图像在日常生活中的应用设计三个难度不大的小问题，在激发学生的学习兴趣、调动积极性的同时，培养了学生“看图说话”的抽象能力的素养

【设计】

1自主探究——一次函数=2+1图像的画法

2小组合作——以六人小组为单位，交流探究过程

3课堂展示选择有代表性的小组，要求小组派一名代表进行汇报，同学提出疑问

【现场】

(在学生自主探究，小组交流后)

师：如何画一次函数=2+1的图像？

生1：选择5对自变量与函数的对应值，在坐标系中描出5个对应的点，并将这5个点连线

师：选择的这5个点有什么特点？

生2：简单的点，整数点

师：还有别的要求吗？

生3：的值对称的，正数，负数和零，可以取=-2，-1，0，1，2

师(选择性描出5个点后，见图3)：一次函数的图像画好了吗？

图3

生4：没有，还没有连线

师：为什么要连线？

生4：因为还有无数个点也符合函数解析式

师：那怎么办？

生4：再多取一些点，还可以取±3，±4，±5,…

师：很好，但横坐标1与2之间还有点吗？

生(众)：有！

师(借助几何画板，见图4)：通过几何画板绘制这些点并观察，你有什么发现？

生(众)：在一条直线上

师(见图5)：在12-13之间还有点吗？再试试看放大、缩小，你发现了什么？

生(众)：也在同一直线上

图4

图5

师：如果在这条直线上取两个点，如(-25，-4)，(4，9)，它们满足什么关系？

生5：它们都在函数图像上

师：满足一次函数=2+1解析式的点(，)在它的图像上，而图像上的每一点的横坐标，纵坐标都满足一次函数的解析式，所以一次函数的图像是一条直线

【教学说明】

借助几何画板，通过增加点的方式，逐步逼近，感受一次函数的图像是一条直线事实上，点追踪的过程，就是验证图像的完备性，即满足解析式的点都落在函数的图像上，同时进一步在图像上取点，来验证纯粹性，即图像上的点的坐标满足函数解析式，深刻体会点与坐标的一一对应关系本环节在设计的时候，教师放手让学生动手解决数学问题，体现把课堂真正回归给学生的原则，真正做到了培养学生自主学习的习惯、小组合作的精神及模型观念的素养

【设计】

已知一次函数=3与=-3+2

(1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图像

(2)求一次函数=3，=-3+2与坐标轴交点的坐标

【现场】

(在学生画完一次函数的图像后)

师：怎么画一次函数=-3+2的图像？

生1：选几个点，列表，描点，连线

师：我们是否可以更简洁地画出这条直线呢？至少要描几个点？为什么？

生2：至少两个点，一次函数的图像是一条直线，而两点确定一条直线

师：那么我们可以怎么简化画一次函数图像的方法？

生2：采用两点作图法，步骤依然是列表、描点、连线我选择(1，-1)，(2，-4)

生3：我选择(0，2)，(1，-1)画图

师(黑板上作图)：很好，整点取值能方便作图

师：大家再看，(0，2)这个点有什么特殊性？

生4：当=0时，=2，而这是直线=-3+2与轴的交点

师：那么直线与轴有交点吗？如果有，坐标是什么？

师：请总结一下求一次函数图像与坐标轴的交点坐标的方法

师：总结得很到位！请继续思考，根据一次函数的图像，可得正比例函数=-3的图像有何特点，在画图像时，你会怎么取点?

生6：图像是经过原点的一条直线，与坐标轴交于点(0，0)，可以一个点取(0，0)，另一个点取(1，-3)

师：因此我们可以利用“两点法”来优化、简化一次函数图像的画法；可以直接利用函数的表达式求函数图像与坐标轴的交点的坐标

【教学说明】

由于有了环节二的过渡，又通过教师逐层追问，学生自然得到画一次函数的图像只需“恰当的两点”，即应用两点确定一条直线教师通过让学生选取的不同的点，引出求函数图像与坐标轴的交点，让学生深刻体会交点的意义及求法，培养了数据观念的素养

【设计】一个长方形的周长是12 cm，一边长是cm

(1)求它的另一条边长关于的函数表达式，以及的取值范围

(2)画出这个函数的图像

【现场】

(学生作答，教师巡视并用平板拍照功能收集学生答题情况)出示如图6所示的图片

图6

师：这两个图像一样吗？

生(齐)：不一样！

生1：在实际情形中，因为，都表示边长，且0<<6，所以此时这个函数图像就不能向两端无限延伸了

师：你的思路很清晰，观察很敏锐在实际情形中的一次函数图像与一般的函数图像具有差异性，在自变量的取值上条件有所限制，此时它是一条无端点的线段，是直线的一部分

【教学说明】

课标强调，成功的教学不是让学生带着句号走出课堂，而是让他们带着感叹号和新的问号走出课堂环节四的设计是为了高阶生成，预约精彩教师借助平板拍照功能，快速收集学生信息，通过比对教学，让学生深刻地感受自变量的取值范围对图像的制约作用教师通过问题的解决来内化核心素养，让学生推理能力的素养落地生根

【设计】

通过本节课的探讨学习，你获得了哪些新的知识？你认为有哪些方面的进步

【现场】

师：本节课我们学习了哪些新的内容，请同学们总结一下

生1：我知道了一次函数的图像是一条直线，学会了用“两点法”画一次函数的图像，还掌握了如何判断一个点在不在一条直线上和如何求一次函数图像与坐标轴的交点

生2：实际情形中的函数图像的自变量的取值条件有时会受限制

师：同学们的回答很全面我们不妨从以下三个方面回顾：

(1)研究过程

(2)研究思路

(3)研究方法(数与形切换)

【教学说明】

教师通过回顾一次函数图像的全程学习和研究，以“自然递进”调动认知储备，唤醒学生的学习兴趣，完成知识建构，充实知识网络，促进数学思考，提升核心素养

四、几点思考

1自然递进促进知识生长

一次函数图像的本质是由无数多个满足一次函数关系式的动点组成的图形为了让学生真正地理解一次函数图像的本质，本节课设计两个“递进”：

教学目标递进：一是了解函数的图像的概念通过生活现实中的例子，引入要研究的一次函数的图像；二是就一次函数的图像进行点、点的坐标、变量的对应取值等要素的探究；三是对一次函数图像的画法进行优化、简化、深化和应用

教学过程递进：在确定教学目标后，教学的每一个环节设计都紧紧围绕落实教学目标，力求找到更好、更优、更深刻的方式方法，使核心素养“落地生根”以往的一次函数图像的教学设计只注重结果，直接告诉学生画函数图像需经历列表、描点、连线的过程,但学生并不清楚一次函数的图像为什么是一条直线，为什么几个点能代替无数点，为什么要顺次连线因此在设计环节二时，教师先让学生自主尝试，再合作交流，最后引导学生总结同时，教师要借助现代多媒体技术，如几何画板，电子白板等，通过两个点之间不断增加点的方法，逐步逼近；所描的点也从有限到无限，从离散到密集，从特殊到一般，让学生首次感受图像整体的发展趋势，见证图像的生长是连续的在环节三的设计上，教师以追问“开路”，引导学生感悟画一次函数的图像用“两点法”即可在环节四的设计上，教师让学生进一步感受生活中的函数图像受自变量的制约教师在教学过程中以阶梯式的问题设计，引导学生的视域从“树木”走向“森林”

2核心素养催生高效课堂

随着课改的深入，为了数学核心素养教学目标的确立和落实，我们的数学课堂教学必须“化教学内容为数学本质，融生本理念于教学实践，合核心素养为教学目标”教师要把学科核心素养的培养落实在数学教学活动设计的每个环节当然，学生的数学核心素养并不是教师教出来的，而是在教师的引导下，学生在自主、合作、探究中，去思考、领悟、积累中获得的因此，本节课在教学设计时，每一环节落实一个学习任务，落实数学知识，落实数学核心素养

总之，从“自然递进”的角度进行教学，立意高，思想性强，数学味浓这样的安排可以自然而又深刻地反应数学知识发生、发展的过程，能更好地落实数学核心素养的培养，铸就出学生生命成长的生长性课堂，素养立意的生成性课堂，教学相长的发展性课堂，学生思维提升的灵动课堂