数学阅读课——“圆周率π”教学探索

林楚涵

(厦门外国语学校海沧附属学校，福建 厦门 361000)

在如今的初中教学里，无论何种学科，培养学生的阅读理解能力，对提炼问题、分析问题、解决问题以及提高学生的学习素养，都起着至关重要的作用因此，身为数学教师也需要紧跟时代的要求，在教学过程中，设法加强阅读指导和训练，帮助学生厘清思路、掌握概念、凝练方法、发散研究、灵活解答笔者尝试利用校内数学阅读课的开展来实现数学阅读指导，激发学生数学阅读的兴趣，提升学生的数学阅读水平下面以一节有关于圆周率π的阅读课进行呈现，探求培养中学生数学阅读能力的方式

一、本节阅读课的目标

1了解圆周率的发展史，了解在研究圆周率过程中做出贡献和成就的科学家，以及他们的研究方法

2理解刘徽割圆术的研究方法，体会其中取极限的数学思想

3运用割圆术的极限思想，对一些简单的数学问题进行探究

4梳理阅读材料，从中总结出有关数学材料阅读的审题方法和做题方向

5通过材料阅读和解析，培养分析问题、解决问题的能力和应用意识，养成缜密的数学思维习惯，提升数学阅读能力

6展现数学家们研究工作的部分内容，体会数学家们表现出来的科研精神，激发学生的学习热情和学习动力

二、材料呈现

请大家阅读以下材料，并回答问题：

我们知道,圆的周长=2π，面积=π，你知道公式中的π是怎么计算出来的吗？学过了正多边形和圆，就可以说出其中的道理了

图1

由公式=2π可知,如果已经求得圆的周长，那么只需把它和圆的直径相比就能得到圆周率π因此，求圆周率π的问题在某种意义上就可归结为求圆的周长实际上，公式中圆的周长是可以用圆内接正多边形的周长来近似代替的如图1，把圆等分，顺次连接各分点，便得到一个正边形，再取这段弧的中点，连同前面的个分点得到2个分点，顺次连接这2个点，便得到正2边形继续这样做下去,圆内接正多边形的边数就是4，8，16，32，…，随着边数的成倍增多，它们的周长也越来越接近圆的周长，也越来越接近圆周长与直径的比值,这个数就是圆周率ππ是一个无理数，π=3141592653589793…

三、数学阅读能力的培养

1培养学生数学阅读的概括能力

【问题呈现】

问题一：由=2π得π=________，求圆周率π的问题，可以归结为求________________

问题二：刘徽确定圆周率的方法叫做________

问题三：归纳出π的发展的时间轴

设计意图：教师设置带梯度的数学阅读问题，引导学生层层深入，进行思考总结，激发更深层次的数学阅读能力首先，问题一只需要通读材料，就可从文中直接找到答案其次，问题二考查学生的查找辨析能力，需要从整段材料里，定位到关键人物，找到其确定圆周率的方法名称最后，问题三是考查学生的信息整合、分析能力，要求能够按照π的发展的时间顺序，整理归纳出相关的科学人物、研究方法、研究成果，形成一条完整的时间轴，并加以适当的备注补充

【教学实施】

教师先给学生留足阅读数学材料的时间，让他们有自主尝试答题的机会在个别同学遇到困难的时候，教师开放小组讨论，鼓励沟通，帮助突破同时，教师要观察了解学生对于数学阅读题的答题思路和方法，并加以点拨

开始时，学生自然而然地能从材料的第二段前三句话中寻找到问题一的答案，直接快速地得出结论在问题二中，学生通过仔细阅读材料第三段，能从中定位到关键人物“刘徽”，从而得出他确定圆周率的方法“割圆术”同时，此段落为问题四进一步研究割圆术，并类比此法解决其他数学问题做铺垫在问题三的处理方式上，学生各有不同，有的学生仅仅整理出圆周率发展的四个不同时期，就匆匆结束答题，有的则将材料中复杂的文字描述完整地抄写到答题区，而没有经过思考，提炼总结，这些都反映了其提取信息，归纳整合，反馈结果能力的不足，需要进一步培养而部分同学通过清晰的时间轴，明确对应时期、人物、研究方法、所做贡献的关系，展现出了较好的数学阅读的素质

【教学建议】

教师要从学生的认知角度出发，解决本阶段学生的主要困惑，引导他们掌握阅读的技巧，体会解题的方向，激发学生的阅读兴趣，着力培养学生的数学阅读能力教师要带领学生，做到以下几点：(1)先通读材料，了解文章主题，做到心中有数(2)再读题目，明确考查方向，初步尝试答题(3)带着问题再详读材料，拿笔圈点涂画，在草稿区梳理思路(4)剖析文章，重整信息，完善答题观点，清晰答题(5)在此过程中，向学生渗透数学发展史，同时去体会数学家们精益求精、坚持不懈的研究精神，以此激励学生不断探索发现，培养出勤奋好学、刻苦钻研、努力投身科学研究的新一代青年

2培养学生数学阅读的类比能力

【问题呈现】

问题四：

图2

(1)用割圆术求圆面积公式

如图2，已知圆，半径为作出圆的内接正边形，再连接圆心和各个顶点，每一个小三角形的底近似为________，高近似为________，所以面积为________(用含和的式子表示)，当趋近于无穷时，推导出圆的面积公式=________

(2)用割圆术求扇形面积公式

设计意图：本环节是建立在学生已经掌握“正多边形和圆”这节课的基础上的，需要学生继续熟读材料的第二段，理解在圆中构造内接正多边形，求正多边形周长的作法，明白随着边数成倍增长，多边形的周长也越接近圆的周长体会割圆术中取极限的数学思想，当趋近于无穷，多边形的周长=圆的周长，并尝试用这样的思想，去印证已学习过的圆和扇形的面积公式

【教学实施】

再次带领学生细读第二自然段，教师借助多媒体，展示“割圆术”的运算过程：作圆的内接正边形，已知正边形的边长，求正2边形的边长2，随着越来越大，正多边形的形状、周长也越来越接近圆给出圆的内接正边形的周长的计算公式与结果，引导学生观察运算的规律，总结出运算结果的精确度随的增大而增大体会极限的数学思想，从而运用在求圆和扇形的面积公式中得出当趋近于无穷的时候，个三角形的面积之和约等于圆或扇形的面积

【教学建议】

本环节需要学生在拥有整合概括能力的同时，进一步运用类比的能力，将所学到的思想方法，运用到新的题目中教师可以尝试：(1)和学生一起在第三段中找到割圆术的本质，是“利用圆的内接正多边形来确定圆周率”，紧接着定位到第二段，内容为圆内接多边形的详细描述(2)带领学生，对第二段进行划分，1—3句为第一部分，第4句“如图，把圆等分……”到本段结尾为第二部分(3)总结每个部分的叙述重点，第一部分：将求π的问题转化为求圆周长的问题，并提出用圆内接正多边形的周长近似代替第二部分：揭示详细做法，并用图示进一步说明，边数越多，正多边形周长越接近圆周长，其与直径的比值也更接近π(4)针对第二部分，借助多媒体进一步详细展示，动态演示正多边形逐渐接近圆的过程，并总结出取极限的数学思想(5)按照问题四，一步一步将圆和扇形面积公式所需要的元素用含的式子表示，运用极限的数学思想，在最终计算里成功约去，得到我们常用的圆的面积公式和扇形面积公式

3培养学生数学阅读的迁移能力

【问题呈现】

设计意图：希望学生通过这节课学习到π的发展史，了解东汉初年的研究成果在圆周率的研究初期，学者们通过粗略的计算，得出了“直径为一，周长是其三倍”的结论这说明了直径与圆周长之间的比例关系，也是计算圆周率π的萌芽时期本题需要学生真正去阅读和理解材料，有文言翻译的能力，细心观察图形，简单运算推出结论，而不是凭借经验错误猜想

【教学实施】

教师要引导学生在读懂吃透材料的前提下，结合题目要求，认真分析学生自述解题观点：问题五中“径一周三”的意思是若直径为一，则周长为它的三倍，而本题中圆的直径=1，则圆周长为3铁丝形状是半圆，长度是圆周长的一半，即为15，进而，在图中数轴选出正确的点有部分同学选择点，是没有关注到铁丝是半圆，错将整个圆的周长作为本题的答案还有部分同学选择点，不仅是没有注意图形，更是盲目借助以往的经验，想当然地认为直径是1，则周长=π=314，不顾阅读材料中的说明，导致错选

【教学建议】

在详细品读、充分理解、深刻记忆数学阅读材料的基础上，我们希望学生能将曾经阅读过的信息以及题干所给的信息充分融合，在数学解题技巧上融会贯通学生不仅要仔细阅读题干的文字说明，将其翻译成数学的等量关系，同时要仔细剖析图形，不要出现想当然错解的情况，要让数学阅读成为数学答题的奠基石，同时避免学习经验成为解题的绊脚石

【问题呈现】

图4

问题六：我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率随着时代发展，人们现在依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计用计算机随机产生个有序数对(，)(，是实数，且0≤≤1，0≤≤1)，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有个，则据此可估计π的值为( )

【教学实施】

【教学建议】

教师要引导学生，在大量的材料信息中抽象出相对应的数学核心考点，培养学生理解知识之间的联系，将几何概型、频率与概率的关系、面积之比、运用等式的性质进行公式的变形等知识点融会贯通

【问题呈现】

设计意图：本题考查的是无限与有限的转化思想，在练习了很多有关圆周率的题目后，留给学生这样一道拓展题，其实是想让学生体会其中的转化过程，因为在方程中运用了无限的数学思想，从而让学生体会数学思想的运用的可能性是无穷的，明白数学阅读的发展性

【教学实施】

【教学建议】

本题主要是帮助学生发散思维，在圆周率的研究历史中能够体会到取极限的数学思想，而在看似不相关的方程领域遇到如此题型，要迅速提炼要点，将已学知识转化成已有的技能，用更多的耐心和勇气，沉着面对表述冗杂、说辞新颖的数学阅读题，拨开云雾寻找解题的真相

四、关于数学阅读课的反思

这是我们首次尝试在校内开展以数学阅读为目标的完整的一节课，可以说效果颇佳一位学生在课堂总结的环节发言道：“这节课和我们以往的数学课有很大的不同，让我发现通过阅读能够掌握这么多有趣的数学发展史！数学知识也可以像故事一样，去探求它的来龙去脉，让我们看到对于圆周率的探究，古今中外许多数学家做出了努力和贡献，他们的方法源远流长，直至今日都可以发挥作用虽然我对于数学阅读课的形式还没有很熟悉，但是感觉收获满满，回味无穷”

数学阅读课给我们的启发：数学阅读课不是空中楼阁，而是可以经过研究论证，不断修缮，磨炼出来的一种主题课程我们尝试提炼出其课程的主要环节：1呈现阅读材料；2问题链引导探索；3同主题下不同题型的探究；4思维发散、拓展提升在新课改下，数学学习对于学生的数学阅读能力有着日益增长的需求，新题型也层出不穷，急需当代教师完成自我成长，提高主题课程设计的能力在课程中，教师能引导学生明晰主题，解读问题，厘清概念，重视例题，进行数学思考，提升阅读能力我们希望有更多的数学阅读的课程的开发，在教学中增加数学阅读的趣味性，提升数学阅读课程的内涵，激发学生探索数学问题的兴趣，探索未知的动力，建立牢固的数学知识体系，培养严谨的数学思维，助力学生数学素养的提升！