核心素养导向下概念教学深度化设计的五个方面——以“椭圆的定义”概念教学为例

林生琴

(福建省同安第一中学，福建 厦门 361100)

众所周知，一个数学概念的形成，特别是要在学生的大脑中生根，这无疑需要一个较长的心智过程但从教育的角度来说，某一数学概念在课堂上与学习者“第一次”相遇时，会发生什么？在那些关键之处，我们应该如何去思考、设计我们的教学？由于“第一印象”太重要了，所以“概念教学”在很多教师的眼里、心里，都特别重视不过，因经历、素养和观念的差异，在概念教学的课堂中，在我们彰扬个性建构的同时，仍有许多值得反思的东西围绕概念，以下两个步骤对于进行有深度学习的数学教学很重要：

第一，厘清基本问题，讲透概念基本问题是概念课的方向，是引导学生理解概念和其数学思维方式的关键，可操作性强数学概念是核心，展现了数学的主要观点和思维方式，抽象性强教师应该重视讲透概念，厘清基本问题，重视数学教材和教师用书，高考考查方式及学情，带领学生进行深理解

第二，设计研究路径，实施精准教学教师在实际教学中，如果能够探索出一种适合概念课的教学研究路径是很有价值的一节概念课应含有以下几个部分：概念的引入—概念的生成—概念的剖析与辨析—相关概念的联系与区别—概念的应用实践探索出一个比较通用的研究路径是：提出问题—研究探讨—概念形成—解决问题—应用举例—归纳总结

以椭圆的定义的概念教学为例，以落实数学核心素养为标，着手概念课教学的五个方面：概念的引入，概念的生成，概念的剖析与辨析，相关概念的联系与区别，概念的应用

一、概念的引入

概念课的教学，在我们以往的课堂上不够重视传统意义上的教学是一个概念，几项注意，抓紧时间反复操练起来！舍不得花时间去搞清概念的源头和背景，严重违背了我们新形势下的《普通高中数学课程标准(2017年版)》“课标”强调提高从数学角度发现和提出问题的能力，发现问题往往比证明结论更重要，比刷更多的题更重要！

本章教材教学顺序安排：椭圆—双曲线—抛物线，它们有着“同构”的研究内容、过程及方法，概括起来就是按照类似“曲线的几何特征—曲线的标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用”的研究路径，而且把椭圆作为本章的首学概念，是强调示范作用的典型性，更是注重它在基本方法和数学思想两个方面的引领性，双曲线和抛物线的研究路径将通过类比椭圆来完成以下是椭圆概念的引入：

1创设情境，提出问题

一天，老师往平静的湖面上同时抛了两颗石子，激起层层涟漪，只见两组同心圆交织在一起，美妙之极心想：它们的交点都能构成什么样的图形呢？(如图1)

2动手试验，引出概念

于是老师将该生活现象抽象成数学问题来研究，就得到了图1，这个图中都隐藏了哪些图形呢？现在请同学们拿出手中的笔跟着老师操作：

第一步：如图2中(1)的方法，涂黑任意选择的一个曲边菱形区域

第二步：将其对顶曲边菱形区域如图2(2)涂黑

(保证选取的对顶区域的方向一致)重复第二步骤，进行下一步操作……

你有什么发现呢？如果选择左右型两侧对顶区域，生成的图形如图3(是椭圆)

图1

图2

图3

二、概念的生成

问题1：这个涂黑曲线上的某一点(交点)到圆心和圆心的距离之和(计算半径之和)是多少？

问题2：其他交点到两圆心的距离之和是否都相等？

问题3：你能得出什么结论？(||+||=定值)

结论是：该曲线上的点到两定点,的距离之和是个定值，也就是说椭圆上的点满足到两个定点,的距离之和为常数(并且大于两定点之间的距离)

问题4：反过来，平面内，到两个定点，的距离之和为常数的点的轨迹是否就是椭圆呢？

具体操作：利用几何画板画一线段，在线段上取一点，使得=，=，无论怎么动，+=，当移动点，再追踪点的轨迹时，我们发现其轨迹就是一个椭圆！

问题5：由此，你能自己概括出椭圆的概念吗？

【设计意图】此环节从生活现象中抽象出研究的对象——椭圆，体现了生活与数学的实际联系笔者以活动为载体，让学生在“做中学”数学，通过画椭圆，了解椭圆上的点满足什么共同特征，经历知识的形成过程，积累感性经验，又通过几何画板让学生明白到两定点的距离之和相等(大于||)的点的轨迹是椭圆，便于学生概括出椭圆的定义为了改变学生被动且单一的学习方式，让他们自主思考和学习，教师给学生提供自主探索学习的机会，让学生通过观察发现，初步概括出椭圆的定义，培养学生抽象概括的数学核心素养

椭圆虽然是生产生活中常见的曲线，但对椭圆几何特征的探究与发现是个难点，因为很难由椭圆的形状想到椭圆的定义，为此，教材在用细绳画圆的基础上，通过分开细绳的两端，画出图形，归纳图形上点满足的几何条件：这个图形上的点到两个定点的距离的和是定值，进而将具有这种几何特征的图形定义为椭圆而笔者的这个设计使得在椭圆概念的教学中，更加注意画图、抽象、归纳、概括的完整过程让学生在充分讨论，用自己语言表述的基础上，给出准确、严谨的椭圆定义，注意“平面内”“定点”“距离的和”“常数”等关键词，特别是“常数大于两定点间的距离||”这一条件

三、概念的剖析与辨析

将抽象的数学概念予以规范、严谨的界定过程是新概念的概括的重要过程，是一个数学抽象的过程通常表述形式有纯文字的，也有文字符号结合的，还有与图形相结合的，也就是有文字语言，符号语言和图形语言的三种表述形式如何概括出椭圆的概念，当然要借助圆的定义对比抽象得到教学中，在得出椭圆的定义后，教师可进一步追问：如果这个常数等于或小于||时，相应的轨迹存在吗？是什么？从而为后面的学习做好铺垫在给出焦点、焦距、半焦距等概念后，教师还可向学生说明，这些概念都有“焦”字，说明在实际应用中，这两个点与光学有着紧密的联系，进而向学生指出，随着后续的学习，还会逐渐认识椭圆的光学性质

圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆

教师引导学生从两个方面概括：一是平面上点的轨迹，二是平面上的点符合什么条件其轨迹是圆(到定点的距离等于定长)

椭圆的定义也是条件式定义：(1)同样是平面上点的轨迹；(2)平面上的点符合什么条件其轨迹是椭圆？和圆相比有什么不同？定点的个数发生变化，一个定点变两个定点距离之和有条件限制

教师概括出定义并引导学生对定义中的关键词进行分析理解:

(1)两个定点，称作焦点；

(2)两焦点间距离称作焦距2

(3)定长2、动点满足||+||=2(大于||)

问题1：为何“常数”要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？(尝试让学生讨论得出结论)

总结：当大于2时，轨迹是椭圆；当等于2时，轨迹是线段；当小于2时，轨迹不存在

【设计意图】经历从具体情境中抽象出椭圆概念的过程，掌握椭圆的定义，体会数学语言的严谨性，研究新概念的性质是学习新概念之后的必要过程这些性质是解决问题的有力工具

第2课时是对椭圆标准方程的认识，从形到数，应抓住椭圆结构特点这个形的认识，，，的几何意义以及它们之间的关系本节针对培养学生的画图、识图和析图能力，聚焦关键问题，创设了一些可操作性强的学习思考任务

问题2：类比圆，观察椭圆的形状，它是轴对称图形吗？它是中心对称图形吗？它有几条对称轴？对称中心位置在哪里？(学生容易得出两条，分别交椭圆于,,,四点，称为长轴，称为短轴，和的交点即为椭圆的对称中心，简称椭圆的中心)

问题3：平面上到两个定点，的距离之和为定长2，以2为长度的线段在椭圆中是否能找到？以为长度的线段在椭圆中能否找到？

教师引导：||+||=2；||+||=2，||=2，||+||=2；||+||=2；||=||=||=||=||=||=

【设计意图】本环节从椭圆的形状和椭圆的定义，分析椭圆，体现数形结合思想，概括出椭圆的部分简单几何性质，培养学生识图能力

数学的深度化学习应重在以学生发展为中心，设计学生能够解决的真正的数学问题这些环节是学生的“舞台”，学生在自身认知的基础上深度参与发现椭圆的结构特征，并总结一部分椭圆的简单几何性质的过程，是能够激发学生的学习兴趣的与此同时，学生和教师的一同参与促使了数学深度化学习的发生师生和生生间的深度交流合作，能够引导学生反思，也有利于学生逐步内化和迁移其学习数学的基本思路：曲线的几何特征—曲线的标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用

四、相关概念的联系与区别

大部分是建立在已有概念的基础之上重新去定义一个新概念将已学原有的概念与学生即将要学习的新概念进行类比，有助于学生将新概念纳入其原有的认知系统中，这样有利于学生形成整体知识结构，又可以帮助学生理解数学概念的形成和发展过程所以，椭圆的概念教学就可以类比圆的标准方程这一节课的学习得到

已有概念具体内容类比新概念圆的概念椭圆的概念圆的标准方程椭圆的标准方程圆的性质椭圆的简单几何性质

平常的教学中，通常有两种方式进行概念教学：一种是概念的同化，一种是概念的形成两者的区别和优势是什么呢？

概念的同化是指在学习新概念时，教师用定义的方式向学生直接揭示，然后各种举例应用，从而达到让学生能够对该定义有所认知和理解，掌握新的概念常用于同章节类似概念的教学，比如，学习完指数函数，再学习幂函数时，就可以类比指数函数的结构式定义给出幂函数的概念

概念的形成是指学生获得新概念的方法，是从生活中具体的实例出发，通过观察—提问—实验—思考探究概括出新概念的本质属性数学核心素养导向下，有深度地设计概念形成的教学是必然的发展趋势在探究椭圆之后，学生就可以自己类比研究双曲线：

第一步：选择一个曲边菱形区域，将其涂黑

第二步：选择上下型对顶曲边菱形区域，将其涂黑

重复第二步骤(注意选取的对顶区域的方向一致)进行下一步操作……

你发现了什么？

如果选择上下型两侧对顶区域，生成的图形又是何曲线呢？

布置课后思考可让学生自主探究，加强学生的钻研能力，而且为后面双曲线及其标准方程的学习埋下伏笔

五、概念的应用

学习新的概念目的在于应用学习完椭圆的概念，类比圆的定义的应用，让学生在掌握椭圆的概念的基础上，研究什么情况下点的轨迹是椭圆以及椭圆定义的代数形式，通过数形结合进一步探究椭圆的标准方程及简单的几何性质

图4

1(引用教材)如图4，圆的半径为定长，是圆内的一定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆周上运动时，点的轨迹是什么？为什么？(利用几何画板展示动点轨迹是个椭圆，然后让学生尝试证明)

此例题加深学生对椭圆概念的理解和应用，用定义法判断方程的轨迹

图5

2如图5，在圆+=4上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点为射线上一点当点在圆上运动时，请思考如下几个问题：

既然动点的轨迹是椭圆，那么你能否确定两个定点也就是焦点位置？如何确定？结合椭圆的形状以及轨迹方程的特点，你能发现什么结论？

①长轴长2,短轴长2，焦距2，你能得出,,的关系吗？

②椭圆的方程有什么特征？

此例题巩固用转移代入法求动点轨迹方程的步骤，由数到形判定动点的轨迹是椭圆(教师几何画板展示)，并初步体会焦点在轴上的椭圆和焦点在轴上的椭圆在形和数上的区别,归纳出椭圆标准方程的特点，进一步引导学生认清椭圆方程和椭圆概念的联系，培养学生作图、识图、用图的能力

如何将椭圆定义代数化？

从例2出发，得到焦点在轴上和焦点在轴上椭圆定义的代数表示，课后思考如何将该代数式化简成椭圆的标准方程

此例题用代数形式表示椭圆的概念，让学生体会几何与坐标的联系，渗透数形结合思想，降低难度，并且从例题中总结椭圆方程的特点，为下一节课推导椭圆的标准方程做铺垫

笔者第一次设计本节课时，采用的是旧思路：动手操作，直观感受椭圆—探究椭圆上的点有什么性质—形成椭圆的概念—推导椭圆的标准方程—概念的应用和熟悉椭圆的标准方程；第二次重新改了一个思路：动手操作，直观感受椭圆—探究椭圆上的点有什么性质—形成椭圆的概念—数形结合初步探究椭圆的简单几何性质：平面上到两个定点，的距离之和为定长2，以2为长度的线段在椭圆中是否能找到？以为长度的线段在椭圆中能否找到？例1和例2的设计主要是研究椭圆的其他生成路径，初步让学生对椭圆的代数表示有个潜意识的认知；例3的设计从特殊到一般，为推导椭圆的标准方程做一个铺垫，降低了推导椭圆的标准方程的难度而且整章圆锥曲线的探究路径基本保持一致，充分体现了单元整体设计的思想

六、引导学生深度学习的深度化教学策略

在高中数学课堂中真正引导学生深度学习的深度化教学设计，应注重三个方面：

1聚焦关键问题——让学生深理解

在实际教学中，教师应该围绕数学概念，进行深度分析教学要素，聚焦关键问题，有目的、有方向地进行设计，引导学生展开学习，从而提高学生自主学习的能力例如，笔者在设计“任意角”一课时，通过设计问题串，让学生明白对角进行推广的必要性

问1：若时钟慢了5分钟，该如何校准？

问2：若时钟快了两个小时，将它校准应如何拨动分针？

问3：初中我们都学过哪些角？

问4：与我们分针转动所形成的角有什么不同？

问5：720°是怎样的一个角呢？现实生活中还有没有这样的角？

问6：解说员说的跳水运动员向内翻腾三周半，旋转的角度大小是多少?

2创设一定情境，激发学生的学习乐趣——让学生深投入

要想揭示数学的本质，教师就要努力设计符合学生认知的数学真问题，这是实现数学深度学习的标志

如“弧度制”一课中，笔者为了让学生理解引入弧度制的必要性和合理性，设计了以下5个问题：

问题1：任意的°圆心角，弧长如何计算？

问题2：建立一个新的单位制，我们首先要做什么？(联想角度制)

图6

问题3：如图6，∠是多少弧度？

问题3-1：弧度制下，如何求圆心角？

问题3-2：半径的大小不同，∠的弧度数会改变吗？

3概念课学习的基本思路——让学生进行深迁移

椭圆概念的教学中，其基本思路就是画图—抽象—归纳—概括这个研究路径同样可以迁移到双曲线和抛物线的学习中思考框架是一个大体思路，在这个思维框架下，学生能够从最初的模仿，到尝试理解和应用，再逐步内化，使学生掌握这个曲线学习的基本研究路径，明确其思维方向，最终能够提出问题，研究探讨，解决问题，从而学会学习，能够较好地自主学习，提高数学思维能力

新高考就是新课程教学的风向标，同时对数学教学提出了新要求直观想象和数学抽象两大核心素养的落实教会学生用数学的眼光看世界，逻辑推理和数学运算两大核心素养教会学生用数学的思维分析世界，数学建模和数据分析两大核心素养教会学生用数学的语言表达世界进行深度的概念教学设计如何将概念教学的五个方面紧密结合，有机渗透，真正让数学六大核心素养落地，仍需要我们广大一线教师去学习，去实践，去探索，去研究