切线法“三用”证明一类不等式

2022-10-10湖北省荆州市监利市职教中心433300

中学数学研究(江西) 2022年10期

湖北省荆州市监利市职教中心 (433300) 张琴

导数进入高中数学教材，为我们研究函数的性质——单调性，极值与最值增加了强有力的工具，为高中数学解题注入了新的活力．在各层次的数学测试与竞赛中，常有一些整式、分式、无理不等式的证明，这些不等式的结构对称、形式优美，其证法构思精巧，异彩纷呈，让人观而叹止．其实，不等式的证明可以看作是函数载体下的最值或极值问题，因此，导数为我们研究不等式的证明提供了一种新途径和方法——以直代曲，即利用函数图象在某点处的切线来逼近曲线，以证明一类对称和不等式．

1．切线法的解释

对于定义在区间D上的可导函数y=f(x)，若记y=f(x)的图像在x0(非拐点)处的切线方程为y=g(x)，且在区间(x0-δ,x0+δ)⊆D内,恒有f(x)≤g(x)(或f(x)≥g(x))，则在区间(x0-δ,x0+δ)内，用直线y=g(x)替代曲线y=f(x)对不等式进行放缩，虽然这种替代是近似的，但它的优点在于，将复杂的运算变形化成一次整式计算，避免高超的变形运算．下面举例说明切线法的应用．

2．观其形，直接应用切线法

若所需证明的不等式为多变量的对称和形式，即，若∑x=A，则∑f(x)≥C(或≤C)(其中A,C为常数，Σ表示循环求和)，则可研究函数y=f(x)与其在等号成立的点处的切线方程y=g(x)的之间所具备的不等关系进行放缩，直接应用切线逼近曲线，达到证明命题之目的．

例1 若实数a,b,c>0，且a+b+c=1，则

评注：直接利用切线方程证明不等式，看似计算繁琐，特别是证明f(x)-g(x)≥0(或≤0)时需要进行因式分解，但由于我们已经确定等号成立的平衡点x0，因此，只需利用多项式除法，用x-x0除f(x)-g(x)即可将其分解完全．

3．辨其式，变形应用切线法

如果所证不等式为关于变量的轮换对称式，但条件(或结论)不符合切线法使用之结构，可以考虑变化条件(或结论)，再证明之．

评注：对于齐次不等式,我们可以通过有效增设∑x=1，使之满足切线法使用条件．另外，利用切线法证明不等式,要求所证不等式的一边为和式且每一项只含有一个变量．若不等式不符合要求,可对不等式适当变形，以实现之．

分析：此不等式虽然是关于a,b,c的对称式，但不等式的左端貌似不是∑f(x)的形式，因此利用均值不等式将和a+b转化为积ab，使待证不等式得到加强，并变形为对称和形式．

分析一：考虑到待证不等式的形式为∑f(x)≥C，但题设中的变量的关系为平方和，不符合∑x=A，故对条件作适当换元，替换为一次变量的和后，再用切线法证明．

有时，在约束条件下，所研究的曲线与切线所对应的函数的大小关系并不恒成立，则需要我们对关系成立与不成立的变量区间分而治之，各个击破，对两类区间内的不等关系分类讨论．

4．品其意，升维应用切线法

对于形如∑x=A，则∑f(x,y,z)≥C(或≤C)(其中A,C为常数，∑f(x,y,z)为x,y,z的轮换对称式)，若将f(x,y,z)难以放缩为单变量函数式，可将函数f(x,y,z)看作曲面f(x,y,z)=0，利用偏导求出约束条件∑x=A下的平衡点(x0,y0,z0)处的切平面g(x,y,z)=0，利用切平面逼近曲面，再验证f(x,y,z)与g(x,y,z)之间的大小关系，从而证明命题．下面升维再证明例3．