“双减”背景下单元设计的课堂测评实践与思考——以“函数概念与性质的应用”复习课为例

浙江省富阳中学 (311400) 陈 晖浙江省杭州市余杭区教育发展研究学院 (311100) 曹凤山

1 课堂测评的背景分析

2021年7月《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》(以下简称“双减”政策)公开发布.“双减”政策核心目的是减轻学生学习负担，让学科教育回归校园，落实立德树人根本任务，促进学生全面发展和健康成长.“双减”政策明确了9个“严禁”和15个“不得”，重点涉及作业布置、考试实施、教育教学质量的内容[1]. “双减”政策减的是学习负担，但绝对不能以降低教学质量、牺牲测评效果来实现“双减”目标.虽然“双减”政策只针对义务教育阶段，还未在高中阶段具体实施，但高中阶段的教师应以此为契机，重新审视教学效果，提高教学质量，落实核心素养.

2 课堂测评的意义研究

以学科大概念为核心的单元设计“以终为始”，强调预期结果，鼓励学生依据核心概念进行思考，实现掌握知能、理解意义、学会迁移的三种目标.基于单元设计的课堂测评将分数的获得融入素养培养的过程之中，实现“点→线→面”递进式考查，引导学生整合概念、寻找知识共性、提炼知识本质.

课堂测评有别于传统课后作业和测验考试.课堂测评以测试为主、以讲评为辅，在课堂内完成整个测评流程.课堂测评的核心目的是改变过去“部分+部分=整体”的知识组织形式，代之为“整体-部分-整体”的知识建构方式.教师通过自身建立的知识间的联系，从知识点的教学转为核心概念的理解和认识，将零散的知识进行整合实现“整体”意识.学生在课堂测评过程中，逐层体会知识点的“形散神不散”，从简单概念理解到基本性质应用再到核心概念理解，实现迁移的最终目标.

3 课堂测评的内容选择

课堂测评的内容以知识概念为明线，以能力素养为暗线，关注学科知识技能的结构化，突显概念本质和学科实践，实现通过基础性知识技能进行意义建构的目标.

函数是描述现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用[2].函数是贯穿高中数学课程的四条主线之一，并且是必修课程的第二个主题，包含函数概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用等四个单元内容.函数概念与性质单元包括：函数概念、函数性质、函数的形成与发展(属于选学内容，不作为考试要求).

函数概念与性质单元学习意义重大.必修课程的主题一预备知识的最后一个单元内容为从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，并且本单元又是主题二的第一单元内容，承担着承上启下的作用.高中阶段数学知识相比初中阶段要抽象，更深层次地揭示概念本身.例如在初中用变量之间地依赖关系描述函数，但在高中运用用集合语言和对应关系刻画函数，强调对应结果而非对应过程，进一步培养学生的数学抽象素养.高中阶段数学知识的连贯性同时体现于单元设计之中，函数性质(单调性、最大值、最小值、奇偶性、周期性)概念的定义和几何意义的了解为后期学习具体函数指明研究方向，帮助学生发现函数中所蕴含的运算规律，能够建立简单函数模型，解决简单的实际问题.

4 课堂测评的实录展示

本次课堂测评以高三复习课为模式，结合课堂练习、合作交流为基本活动进行开展.根据函数概念与性质的单元学习内容，一共安排两课时五阶段进行实际教学，如表1所示.

表1 单元设计思路

4.1 课前检测 理解概念

例1 下列图形中可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的是( ).

A. B.

C. D.

解析：选项A，函数定义域为M，但值域不是N；选项B，函数定义域不是M，值域为N；选项D，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系.故选C.

设计意图：用图象法表示函数，强调函数图象的作用，从图象中更直观地理解函数的实数集合之间的对应关系，能够通过图形直观认识数学问题、归纳数学概念，达到直观想象和数学抽象的水平一层次.

例2 已知函数f(x)，g(x)分别由表2-1，表2-2表示.

x123f(x)211

x123g(x)321

则f(g(1))=；当g(f(x))=2时，x=.

解析：由表格的对应关系可知，f(g(1))=f(3)=1；当g(f(x))=2时，则f(x)=2，此时x=1.

设计意图：表示函数的方法有三种：图象法、列表法、解析法.列表法是以表格形式呈现出实数之间的对应，引导学生理解函数符号表达与抽象定义之间的联系，能够在熟悉的情境中发现数量关系，达到逻辑推理的水平一层次.

例3 下列四组中，表示同一函数的是( ).

A.f(x)=lnex，g(x)=elnx

解析：通过简单运算，分析构成函数的三个要素(定义域、对应关系、值域)，易得选C.

设计意图：定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素，帮助学生从实数集合之间的对应关系理解函数概念，考查学生对概念本质的理解，达到数学抽象的水平一层次.四个选项都必须通过一系列的运算性质才能化简转化，重点考查指数和对数运算性质，达到数学运算的水平一层次.

以上3例属于课前检测，从函数三个不同的表示方法为切入点，唤醒学生对函数概念的认知，强调对应关系的应用，检测指数、对数的运算性质，为课堂的后续教学奠定基础.

4.2 性质求解 落实基础

例4 (2021年新高考Ⅰ卷第15题)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为.

设计意图：以含绝对值函数的形式考查分段函数的性质，从具体的数学情境出发，让学生探究求解函数最小值的策略与方法，理解单调性的作用与意义，达到逻辑推理与数学运算的水平二层次.

例5 (2021年全国卷Ⅰ第13题)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数，则a=.

解析：因为f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，即x3(a·2x-2-x)=-x3(a·2-x-2x)，整理得(a-1)(2x+2-x)=0，故a=1.

设计意图：结合具体函数，以奇偶性的数学关系式为解题方法，重点考查奇偶性概念的知识技能，体现数学抽象水平一的测评要求.

设计意图：延续例5的奇偶性考查思路，进一步探究函数奇偶性与周期性的相关联系，要求学生能够理解相关概念的逻辑关系，建立完善的知识体系，达到逻辑推理的水平二层次.

以上3例重点考查函数性质的应用，对学生的基本知识和基本技能进行考查，关注学生对概念与性质的掌握程度，激发学生学习数学的兴趣.

4.3 结构分析 优化算法

例7 (2015年浙江卷第7题)存在函数f(x)满足，对任意x∈R都有( ).

A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

设计意图：两种方法各有千秋，侧重函数概念的方法一重点落实学生对概念的辨识度，要求学生理解概念、应用概念；侧重函数性质的方法二要求学生对复合函数的理解，对性质的把握与应用.方法一能够用恰当的例子解释数学概念，现实数学抽象水平二层次的考查；方法二对条件与结论的分析，实现逻辑推理水平二层次的考查.

例8 (2014年浙江卷第7题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且0

A.c≤3 B. 3

C. 69

解析：设f(-1)=f(-2)=f(-3)=k，则可令函数g(x)=f(x)-k=(x+1)(x+2)(x+3)，得到c=6+k∈(6,9]，故选C.

设计意图：利用f(-1)=f(-2)=f(-3)构造方程组求解实数a、b，是部分学生优先选择的方法，但对运算能力较薄弱的学生较为容易失分.学生在初中已经学习二次函数的三种解析式：一般式、顶点式、两根式，从二次函数到三次函数，利用函数与方程的思想，构造三次函数的根式，优化计算过程，培养学生的迁移能力和逻辑推理.

例9 (2020年全国Ⅰ卷第12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

设计意图：从方程转化到函数、等式到不等式，一系列的解题步骤渗透着转化的思想方法，分别从数学抽象、逻辑推理、数学运算的三个方面培养学生数学核心素养.

以上3例的情境设置是熟悉的数学情境，对数学问题的考查具有多角度深层次特性.要求学生针对具体问题，分析结构特点，优化解题思路.

4.4 逆向而行 回归原点

例10 (2004年浙江卷第12题)若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x-f(g(x))=0有实数解，则g(f(x))不可能是( ).

设计意图：从方程的解到函数解析式，再从函数到方程无解，要求学生能正确用符号语言刻画函数的概念和函数与方程之间的关系，切合高考的选拔性要求.

设计意图：通过梳理函数的最大值定义，转化为不等式恒成立问题，避免分类讨论，减轻运算负担，认识并应用函数的性质.此题方法不唯一，有分类讨论、数形结合等多种解题策略.利用最大值定义的目的是让学生从另一个角度分析和解决问题，回归概念.

例12 若函数f(x)=x3-ax2-2ax+a2-1与x轴有且仅有一个交点，则a的取值范围是.

设计意图：正难则反的解题思路开拓学生的思维广度，辩证的观点看待问题提升学生的思维高度.能够掌握常用逻辑推理方法的规则，理解其中所蕴含的函数与方程思想，达到逻辑推理的水平三层次.

以上3例问题的难度较之前的几个例题明显加大，要求学生在看似熟悉的数学情景之中，结合基本活动经验，能够构建过渡性命题，对概念的理解以及深入地应用.

4.5 跨界应用 渗透思想

例13 已知关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)在[2,+∞)有解，则a2+b2的最小值为.

设计意图：通过主元分析，学生能够一目了然地理解方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的几何意义，利用数形结合方法，从代数转化到几何，提升解题正确率.

设计意图：以向量的基本知识为载体，构建具体函数解析式，转化为求解函数值域问题.

例15 (2010年浙江卷理科第15题)设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是.

设计意图：以数列的基本知识为载体，考查利用一元二次方程或函数知识解决参数取值问题.

以上3例的情境设置不再是题目中所呈现的情境，渗透函数思想，体现知识的连贯性、方法的普适性、思想的一致性.

5 课堂测评的反思建议

2019年教育部公布了《中国高考评价体系》，提出了“一核”“四层”“四翼”的构架，指出“经过素质教育的培养，思维认知强的学习者应当能够独立思考，通过自己的逻辑思辨，发表独立的、有创造性的看法；能够从多个角度观察、思考同一个问题，能够灵活地、创造性地运用不同地方法，发散地、逆向地解决问题；能够通过敏锐地洞察力，发现复杂、新颖情境中的关键事实特征和有价值的新问题”[3].课堂测评要求教师结合实际教学环境，精心准备相关问题引导学生积极思考、主动探索，帮助学生厘清事物发展的脉络，形成用数学眼光发现和提出问题、用数学知识分析和解决问题的能力，培养学生理性精神.

针对高三习题课特点，依托于单元设计的课堂测评能帮助教师更好地发现学生问题，减轻学生学业负担，避免重复性低效性的训练.基于单元整体设计的课时教学设计，发挥每道例题的必备知识测试作用，强调在思考问题、分析问题和发现问题的过程中关键能力的运用，例题之间的层层递进凸显学生在不同情境之下处理问题的学科素养，大概念间不同的测评角度落实立德树人的育人功能和政治使命.课堂测评的具体实例应以课程标准为纲领性文件，突显知识内容的核心价值，以“四翼”为根本准则.同时，课堂测评受限于课堂时间、学生心理、基础等各种因素，教师需重视课堂测评有效值和后效措施.

课堂测评中，教师应始终占据主体地位，对测评的设计、组织、实施、评价和效果负有主要责任.测评的实施过程中，合适的测评定位、适当的测评难度、精准的测评目标是根本准则.测评内容的选择要遵循其有效性、突出性、代表性，从核心概念出发，强调核心方法应用，构建核心知识体系，注重核心素养培养.

“双减”政策的贯彻执行和核心素养的落地落实，是教师教育教学的根本任务.发挥数学试题的功能价值、践行课堂测评的评价价值、落实教育教学的育人价值，是教师努力的措施与方向.