基于EKF及弹道方程的弹道目标跟踪滤波器设计

孙照强，王志贵，孟 飞，李陆雨，于 中，陈 燕

（北京无线电测量研究所，北京 100854）

0 引 言

弹道导弹是现代高技术战争中的重要作战武器，为了实现有效的攻击，弹道导弹常采用以下突防方式：饱和式、多波次攻击，多弹头突防，释放轻、重诱饵等。为了实现对弹道导弹的有效防御，地面跟踪制导雷达必须具备跟踪多批次目标的能力以及单批次团目标跟踪能力。另外，为了对来袭目标进行识别并对制导拦截弹进行拦截，又要求雷达具备较高的跟踪精度。然而，由于雷达资源有限，当雷达跟踪目标数目较多时，需要降低跟踪数据率以保证对当前照射区域内所有目标的稳定跟踪，这就出现了跟踪数据率和跟踪精度之间的矛盾。例如，地面制导雷达当前时刻对10批目标进行跟踪，而每批目标团内又有10个目标，此时需要对100个目标同时进行滤波处理，若采用常规的滤波算法，计算量将急剧上升，不利于工程实现。因此，迫切需要研究一种在低数据率下具有高精度跟踪能力、且计算量适中的弹道目标滤波方法。

弹道导弹从发射点到落点的整个轨迹通常分为两个阶段：主动段和被动段［1］。在导弹整个飞行过程中，其会受重力、推力、气动阻力、地球自转偏向力的公共作用，其运动特征表现为高度非线性，对其跟踪的核心问题是设计精确的非线性滤波器，对其运动状态进行估计。高精度弹道导弹跟踪需要满足两个条件：精确的目标运动模型以及性能优良的滤波方法［2］。

在弹道导弹运动模型方面，动力学建模方法是目前公认的较为准确的一种描述目标飞行过程中受力情况的方法［3-5］。在对被动段弹道导弹跟踪中，使用较多的是球形模型［6-7］，然而当雷达采样率较低并且弹道导弹目标射程较远时，常用的球形模型会无法满足高精度跟踪需求，此时需要采用基于椭球J2修正的重力加速度模型［8-10］。

在弹道导弹滤波方法方面，一般采用一些对于非线性系统具有良好适应性的滤波算法［11-13］，其中具有代表性的算法有扩展卡尔曼滤波（extended Kalman filter，EKF）［14-15］、无迹卡尔曼滤波（unscented Kalman filter，UKF）［16-18］和粒子滤波（particle filter，PF）［19-21］。EKF算法采用泰勒级数展开方法将非线性滤波过程转化为一个近似线性问题，工程实现简单，应用范围广。UKF算法采用Sigma点进行非线性逼近，可以取得三阶泰勒展开精度［22］，但是其滤波稳定性易受中心采样点的权值影响，产生较大的波动［23］。PF方法一般用于非高斯系统，但是其计算量较大，无法进行工程应用。文献［24］对弹道目标跟踪的4种滤波器的性能进行了比较，然而，目标运动模型采用了分段常加速模型，对弹道导弹运动过程描述不够精确，导致滤波精度受限。文献［25］针对弹道系数己知的再入弹道目标进行了跟踪，对不同滤波器性能进行了仿真比较，但是其仅对目标运动过程中受到的重力与空气阻力进行了建模，未考虑地球自转带来的影响，目标运动模型不够精确。文献［26］提出了一种迭代线性化弹道导弹被动段跟踪方法，在混合坐标系下完成了弹道导弹的跟踪滤波。文献［27］利用多模型对弹道导弹在不同飞行阶段的运动状态进行描述，并采用粒子滤波方法对其进行跟踪滤波，但是其具有较大的运算量。文献［28］针对弹道导弹目标提出一种基于高斯粒子滤波的状态依赖交互多模型方法，对弹道导弹3个飞行阶段进行跟踪，取得了较好的效果。

综上所述，考虑到弹道导弹跟踪时数据率和精度之间的矛盾，以及目前所用模型不够精确的问题，本文针对被动段飞行的弹道导弹跟踪展开研究。首先建立了弹道导弹被动段的精确跟踪模型，随后详细推导了基于弹道运动方程的EKF滤波过程，使雷达在较低数据率下仍然保持较高的跟踪精度，同时具有较小的计算量，最后通过仿真实验对所提的运动模型及滤波方法进行了验证，结果表明本文所提算法计算量小，且跟踪精度满足当前制导雷达跟踪需求。

1 导弹被动段质心运动方程

本文主要研究导弹在被动段的跟踪过程，为此本节首先给出弹道目标在被动段的运动模型。

考虑到雷达测量值为雷达大地直角坐标系下的目标径向距离、方位角、俯仰角，因此将导弹运动方程建立在雷达大地直角坐标系下，这样可以减少坐标变换过程，提高滤波效率。为了提高低数据率滤波精度，本文将考虑导弹在被动段所受到的诸多作用力，以尽可能建立与实际运动情况相符的运动模型。

如图1所示，以地心OE为坐标原点建立地心惯性坐标系。雷达位于O点，P点为弹道上的一点，其在雷达大地直角坐标系中的坐标为（x，y，z），将点P的地心矢径r表示为r＝R0＋ρ，其模r＝r，其中R0为地球半径，ρ为雷达距P点的径向距离。

图1 弹道上点P和雷达点的地心矢径关系图Fig.1 Relation between the trajectory point P and geocentric arrow diameter of the radar

设导弹相对雷达大地直角坐标系的速度V＝（V x，V y，V z）T，其模V＝V。在地面雷达看来，该阶段导弹受到地心引力、离心惯性力、科氏惯性力、空气阻力的共同影响，其在雷达大地直角坐标系中的导弹质心动力学方程［29-30］为

和gωe分别是引力加速度g在地心矢径方向和地球自转角速度方向的分量；ϕ为点P的地心纬度值；J2为摄动常数；ωe为地球自转角速度；μ为引力常数；ρ为目标位置的大气密度值，按照美国标准大气76模型［31］计算；β为目标的质阻比。

2 基于弹道运动方程的EKF滤波算法模型

雷达量测值为雷达大地球坐标系下的R、Az、E。为了估计目标质阻比，将质阻比表示为β＝β0eγ，β0为设置的初始质阻比大小，γ为一待估分量。将导弹的运动方程建立在雷达大地直角坐标系下，状态变量为

导弹在雷达大地直角坐标系中的状态微分方程为

为了应用EKF的滤波算法，需要求出状态函数和量测函数的Jacobi矩阵。

状态函数Jacobi矩阵为

当得到状态函数和量测函数的Jacobi矩阵后，结合EKF［32］过程即可得到最终的基于弹道运动方程的EKF算法，详细滤波过程如下：

（1）状态预测

式中：Q（k）为系统噪声方差阵；Φ（k）为状态转移矩阵，在本文中可表示为

（2）状态估计

式中：增益K（k＋1）可表示为

式中：R（k＋1）为量测噪声方差阵。

本文研究的基于弹道运动方程的EKF算法，采用了基于椭球地球模型的J2修正重力加速度模型，同时考虑了该被动段导弹受地心引力、离心惯性力、科氏惯性力、空气阻力的共同影响，建立了精确的导弹质心动力学方程。将该精确模型与非线性EKF滤波结合从而实现了弹道目标的跟踪精度。

3 BEKF滤波算法的仿真和验证

3.1 弹道目标运动场景

仿真用的弹道目标其射程为1 000 km，地面雷达观测的径向距离、方位角、俯仰角以及全速度变化曲线如图2～图5所示，目标再入速度最大值接近3 km／s。

图2 目标距离与时间的变化情况Fig.2 Variation of target range with time

图3 目标方位角与时间的变化情况Fig.3 Variation of target azimuth with time

图4 目标仰角与时间的变化情况Fig.4 Variation of target pitch angle with time

图5 目标全速度与时间的变化情况Fig.5 Variation of target velocity with time

3.2 实验验证

采用上述目标场景，设定目标质阻比初值为6 000 kg／m2。设雷达距离、方位和俯仰量测噪声服从相互独立的零均值正态分布，其方差根据雷达威力、目标散射界面等计算得到。为了验证本文提出算法的有效性和优点，在雷达跟踪数据率为5 Hz情况下分别对传统的基于常加速模型的EKF算法、基于弹道运动方程的UKF算法以及本文所提的基于弹道运动方程的EKF算法进行比较，其中基于弹道运动方程的UFK方法采样点数为13，尺度参数设为0.1。以上3种方法分别进行30次蒙特卡罗仿真，结果如图6～图8所示。

图6 距离的均方根误差曲线Fig.6 Range root mean square error

图7 方位角的均方根误差曲线Fig.7 Azimuth root mean square error

图8 俯仰角的均方根误差曲线Fig.8 Pitch angle root mean square error

从实验结果中可以看出：

（1）本文提出的基于弹道运动方程的EKF算法，滤波精度和收敛速度明显优于传统的基于常加速模型的EKF算法，与基于弹道运动方程的UKF算法相当；

（2）本文所提的算法在滤波精度上与基于弹道运动方程的UKF算法相当，考虑到计算时间和计算稳定性的双重优势，基于弹道运动方程的EKF更具有工程应用价值。

4 结 论

针对地面跟踪雷达在低数据率下对多目标的高精度需求，本文提出了基于弹道运动方程的EKF算法，基于精确的弹道导弹被动段质心运动方程，推导了EKF滤波过程。通过与传统的基于常加速模型的EKF算法和基于弹道运动方程的UKF算法比较，验证了基于弹道运动方程的EKF具有低数据率下滤波精度高、计算量小等优点，解决了地面跟踪雷达实际中遇到的问题，具有工程应用价值。