基于切比雪夫拟合的BP自聚焦算法

李彦君，刘 佳，徐秋锋

（北京遥感设备研究所，北京 100854）

0 引 言

合成孔径雷达（synthetic aperture radar，SAR）是一种主动信息探测工具，通过发射宽带信号实现距离维高分辨，同时利用天线与目标相对运动产生的多普勒带宽实现方位维高分辨，由于良好的工作特性，被广泛应用于各种运动平台环境探测中。合成孔径成像算法在抛物轨迹运动下需要精确的运动补偿来抵消距离徙动（range cell migration，RCM）和方位相位误差（azimuth phase error，APE），雷达运动参数的测量常通过在系统上加装导航装置来实现。由于实际运动的气流扰动、平台机械振动以及复杂轨迹带来的相位误差较大，难以只依靠导航装置消除距离测量误差，还需要进一步的聚焦算法来处理超出导航设备测量精度的运动误差。后向投影（back-projection，BP）成像精度高，适用于复杂轨迹下的成像，在实际抛物轨迹运行下仍需通过聚焦处理达到成像要求精度。成像的自动聚焦算法是一种基于回波数据的算法，适用于相位误差估计，在SAR成像中起着非常重要的作用。

考虑到抛物轨迹运动带来的运动误差以及硬件带来的精度限制，需要采用自聚焦算法进行成像数据处理。传统的自聚焦算法有基于图像质量与相位梯度下降两类。基于图像质量的一种自聚焦算法，主要评估标准是有关图像的一般信息，评估图像质量的主要标准包括最小熵、最大对比度和最大清晰度，通过设置估计的相位值来确定相移以获得最佳图像质量。另一类自聚焦算法是相位梯度自聚焦算法，该算法使用多个目标点的相位历史来估计相位误差。第一种自聚焦处理基于整体的图像信息，具有更好的鲁棒性，适用于低信噪比与低对比度的成像处理。

传统的自聚焦算法的实现应基于以下两个条件：

（1）包络误差对图像的影响可以忽略不计；

（2）在距离的相位上的历史数据与获得的结果之间存在傅里叶变换关系。

传统BP成像算法是全时域成像算法，由于时域成像算法处理信号中不包含明显傅里叶变换关系，因此无法将两种传统的自动聚焦方法直接应用于BP成像算法。文献［15-17］对BP成像中的信号性质进行了分析，表明当BP算法在极坐标或伪极坐标格式下处理的时候，在距离的相位上的历史数据近似满足条件（2）。在此情况下，可以针对（伪）极坐标下的图像设计相应的自聚焦算法。

近年来提出的新的聚焦处理还有一类是基于机器学习算法的处理，利用机器学习中对于参数求解的思路，得到误差修正量使得某一图像质量指标达到最大。但该类算法往往需要较大的运算量，并不适用于实时BP成像处理。

为了弥补上述不足，本文提出了一种针对SAR在抛物轨迹下的BP成像聚焦算法，不依赖于傅里叶变换对关系，且可快速实时地进行时域自聚焦处理。其适用于抛物线轨迹下BP成像结果的实时处理，实现了BP图像在直角坐标系下的自动聚焦。本文首先结合抛物线轨迹介绍了BP成像算法原理，分析了成像过程中的相位误差，并用切比雪夫拟合的回波信号进行数字信号分析处理，给出了合适的表达式后对改善的BP成像聚焦效果进行了分析，最后仿真结果对比表明在抛物轨迹下BP自聚焦算法提高了成像效果。

1 BP成像误差分析与聚焦标准

1.1 BP成像误差分析

抛物线轨迹下聚束SAR的成像几何如图1所示。

图1 抛物轨迹SAR几何模型Fig.1 Parabolic trajectory SAR geometric model

雷达平台在如图1所示的笛卡尔三维坐标系内运动，在平面内沿平行于轴进行加速运动。设方位向的运动速度为v ；方位向慢时间为t ；距离向快时间为t ；合成孔径中间时刻平台所处的位置为点；定义点位置的时刻为方位零时刻；点是该天线波束覆盖区域的中心点；为点到平台的斜距；为平台高度。可以求得对应的水平距离向以及方位向的快时间函数（t，）、（t ，）。雷达平台经过点沿轨迹运动到点位置，此时对应的距离为根据惯性导航补充的信息推导出瞬时倾斜距，具体以聚束模式下成像为例，在点位置根据距离向以及方位向的瞬时距离可得

BP成像适合高分辨率低频超宽带或宽波束SAR的成像处理。不考虑幅值衰减和天线加权情况，发射的线性调频信号为

式中：t 为方位向慢时间；t为距离向快时间；为雷达信号脉冲宽度；f 为载频；为发射信号的线性调频率。接收到的回波信号由于测量成像区目标的距离产生时间延迟，在目标点的实际距离为（t，t ），回波可以表示为

式中：c为光速。经过距离为（t，t ）地面反射后，对回波信号进行脉冲压缩，即对回波脉压之后的等效匹配滤波信号为

式中：＝c／f 表示发射信号的波长。成像区域的信号经处理后获得一个×的距离方位二维数据矩阵，位于矩阵中的每一元素（M ，N ）均可以得出精准的距离历程函数。将此函数处理后，可得成像目标点的脉压回波数据对应的幅度，将回波进行相干后可获得SAR雷达图像，具体公式为

由测量距离与实际距离的差值产生的误差ΔR（）将对成像信号产生干扰：

ΔR（）带来的误差来自匹配后辛克函数的偏移以及指数函数相位偏移带来的畸变，对成像的像素矩阵产生了散焦效应。聚焦的目的主要是消除ΔR（）带来的误差，提高成像图像质量。

1.2 聚焦处理标准

对于BP成像算法而言，现有的成像后聚焦采用的标准是以成像图特征为标准，例如最大对比度、最大标准差等。自聚焦处理一般做法是遍历所有成像处理后的聚焦点，判断成像图的性质，使得成像停留在图像性质最高的聚焦位置上。相位梯度自聚焦（phase gradient autofocus，PGA）算法需要完整的成像矩阵信号来进行处理，需要进行多次迭代。以图像特征为标准的聚焦处理忽略了成像信号中相位所包含的误差信息，为成像后处理（即在生成图像后进行针对图像的处理），文中采用针对成像信号的聚焦算法可以贴合雷达成像算法实现实时处理。对于本文提出对成像信号进行的聚焦处理，采用针对单点信号处理前后的积分旁瓣比（integral side lobe ratio，ISLR）以及峰值旁瓣比（peak side lobe ratio，PSLR）进行聚焦效果的衡量，并且加以反演面目标的聚焦前后的图像指标分析，予以聚焦算法有效性的佐证。

由式（7）可知，误差ΔR（）存在于成像信号Z的辛克函数以及其指数函数中。为了获得ΔR（）从而消除干扰以实现聚焦，选择Z中包含ΔR（）的相位信息作为聚焦处理目标，基于成像信号的自聚焦是通过分析相位函数性质估计每一方位向的相位误差ϕ的处理。雷达成像为方位向与距离向对成像目标的脉冲压缩处理，故可以采用PSLR与ISLR为聚焦标准，PSLR定义为主瓣峰值与10倍主瓣宽度范围内最大旁瓣的功率比值，用于信号脉冲压缩后对信号的评估。ISLR是主瓣能量与旁瓣能量之比，单位以分贝表示，同样用于衡量脉压之后信号的评估。图像熵（image entropy，IE）代表整个图像的能量聚焦度，熵越小图像的聚焦度越高。而图像空间频率（image spatial frequency，ISF）和图像平均梯度（image average gradient，IAG）则表明了图像的细节，图像标准差（image standard deviation，ISD）表征了图像离散度。

Z为所有方位时刻一个像素点的相干累积结果，所有方位时刻与网格距离补偿结果进行叠加等效于对该点方位向的函数进行脉冲压缩。ΔR（）的存在会影响方位向的等效脉压，从而导致方位向的散焦较严重。对每一时刻的像素点叠加进行补偿，即对BP算法进行内部算法修正实现聚焦处理。

辛克信号在成像区间内符号不一致会影响距离误差ΔR （）的估计精度，为消除其影响，同时保留了指数函数中的ΔR （），构造信号估计函数G：

对于每一方位时刻像素点，在BP算法进行方位时刻累加前，即脉冲压缩后存在：

经处理后得到的ΔR（）相关的相位构造补偿相位矩阵，与每一方位时刻成像矩阵进行数乘再进行时刻累积，即得到消去ΔR（）干扰的聚焦图像。同时根据距离误差与补偿相位参数关系，考虑匹配之后的辛克函数以及指数相位函数的性质，可以构造补偿参数Z（）。在补偿相位误差的同时，提高成像之后辛克函数的PSLR，解决散焦现象，加强成像点区分度。

2 BP成像算法的自聚焦算法

图2 方位向函数复数域投影Fig.2 Azimuth function complex number domain projection

图3 切比雪夫拟合余弦函数图Fig.3 Chebyshev fitted cosine function graphs

由阶数与拟合效果可见，低阶拟合误差过大、高阶造成过拟合，同时考虑处理的数据量以及时效性，二者主要由拟合的阶数决定，拟合阶数越高，所需的拟合数据量越大，涉及运算越复杂、时效性越低。具体参数如表1所示。

表1 切比雪夫拟合处理时间Table 1 Chebyshev fitting processing time

通过切比雪夫拟合定义的多项式正交，当ϕ满足限定条件［-π，π］时，求解四阶切比雪夫系数，得到对应的多项式系数可以表示为

研究对应ϕ的四次函数需要将已知数据即X 与Y 与未知数据ϕ拆分开来，转化为仅与ϕ有关的四次函数，式（14）与式（15）通过转化可以得到如式（16）的四次函数（ϕ）：

得出经过切比雪夫拟合后的四次函数满足对称条件。对于四次对称函数而言，根据文献［26］中定义可知：

结合式（21）、式（17）、式（18）可得对应的参数，具体表示为

由文献［27］中所提的四次函数性质可知，对于＜0，需要根据与0的关系判别拟合后四次函数的最值点位置关系。根据之前所得的拟合多项式的四次函数形式，由性质可得，最值点位置为

将得到的补偿函数代回每一方位时刻中，通过补偿函数的辛克函数对误差产生的旁瓣进行抑制，同时补偿函数中的指数函数补偿由距离误差产生的相位畸变，结合补偿函数的辛克函数与指数函数得到修正后信号，进行方位时刻积累得到成图数据：

为了说明聚焦算法处理的有效性，雷达接收数据进行成像及自聚焦处理的流程如图4所示，通过雷达运行平台装备的导航器件对距离误差进行修正，修正得到的数据进行切比雪夫拟合，对拟合后四次方形式的函数进行信号分析，处理得到误差参量，代回修正函数与运动补偿后数据，进行相乘后进行方位向累加，得到聚焦雷达成像图。

图4 聚焦处理算法流程图Fig.4 Focus processing algorithm flow chart

3 仿真结果与分析

本文算法的有效性通过点目标聚焦处理前后的PSLR以及对仿真场景的面聚焦结果对比来说明。仿真雷达系统的参数如表2所示。

表2 仿真参数Table 2 Simulation parameters

3.1 聚焦算法有效性验证

本文提出的聚焦算法是对成像信号Z存在ΔR情况下，基于信号分析进行的处理。需要通过算法信号得到对应方位补偿参数（），并构造修正函数，进而消除ΔR干扰，去除相位模糊，并提高PSLR，以三方位向点目标的成像信号为例进行算法分析比较。

对成像算法信号进行聚焦，经过信号处理为基础的聚焦运算后得到的成像信号与未经过处理的成像信号如图5所示。点目标经处理之后的方位向归一化旁瓣比见图6，可以看出处理前后的峰值与旁瓣间有明显的差异，信号处理加强了PSLR从而提高了BP算法对成像信号的方位向脉压效果，成像信号的PSLR有所提升，对于单点目标的回波信号质量有改进。根据点目标结果进行聚焦处理前后成像信号参数对比，聚焦运算处理后的PSLR以及ISLR明显提高，可以看出经切比雪夫拟合以及信号处理的相位补偿函数有效地抑制了方位向散焦，PSLR及ISLR的改进效果如表3所示。表3表明了在聚焦处理评价标准下，本文提出的算法处理效果较好。

表3 仿真结果Table 3 Simulation results d B

图5 聚焦算法处理前后点目标对比Fig.5 Comparison of point target before and after focus algorithm processing

图6 点目标聚焦前后归一化幅度Fig.6 Normalized amplitude of point target before and after focusing

3.2 聚焦算法对比

本文算法对BP算法所成的图像可有效地进行估计补偿，图7为在表2参数设计下的雷达仿真平台，采用高分三号的雷达图进行反演得到面目标回波信号，并用其对算法进行对比运算。对反演面目标进行的仿真结果，成像区域大小为256×256 m，运行速度与加速度同表2中一致，面目标成像采用本文的聚焦算法处理后图像质量有所改善。对于面成像的评价指标依据IE、ISF、IAG、ISD，具体结果如表4所示。

图7 聚焦算法处理前后面目标对比Fig.7 Comparison of surface targets before and after focus algorithm processing

表4 面成像评价指标Table 4 Surface imaging evaluation indicators

如表4所示，聚焦处理后的IE更低，表明处理后的图像聚焦度高于处理前；IAG在处理后增加，表明像素间能量差异变陡峭，更好地显示细节；ISF同理，表明处理后的图像具有更好的细节。与其他基于BP算法的自聚焦处理算法对比，文献［28-29］中的自聚焦算法虽可以理想地聚焦处理，但相比于本文所提算法，具有较高的计算量，对于要求实时处理的抛物轨迹的雷达系统并不适用。对于文中提及的聚焦处理，运算复杂度低于PGA算法，且本算法处理嵌合于BP算法处理流程中，并不属于图像后处理，生成图像后还可以进行后续的基于图像的聚焦算法处理。处理面目标结果如图8所示，与PGA算法处理结果参数对比如表5所示。

表5 聚焦算法对比Table 5 Focus algorithm comparison

图8 聚焦算法对比图Fig.8 Focus algorithm comparison graphs

对比传统自聚焦算法，以参考文献［30-31］中的PGA聚焦算法为例，PGA算法以最小二乘法对误差相位梯度估计，利用傅里叶关系求导且需要较高的信杂比。算法运行中需要多次的迭代，运算量较大，PGA属于后处理算法，不能加在成像过程中实时处理。对比于以机器学习算法为基础的新聚焦算法，本文提出的聚焦处理更加适合实时性实现，与传统的聚焦算法相比，本文的聚焦算法效果有更好的补偿精确性。

4 结束语

自聚焦算法是复杂轨迹下SAR成像过程中不可缺少的处理过程。对于采用BP算法生成的SAR系统，提出了一种适合于抛物轨迹下基于切比雪夫参数拟合的成像自聚焦算法。首先对相位误差在BP算法中的存在形式进行了分析，然后基于数字信号分析给出了聚焦处理修正函数的优化模型。算法结合信号分析以及数值分析的切比雪夫多项式拟合，在BP成像的数字信号处理流程条件下，可以有效地提高成像的质量，本文提供了算法的数学推导和仿真结果。根据理论结果，对成像目标分别采用点目标以及反演面目标回波验证算法，证明聚焦算法提升了图像效果。下一步将考虑进一步提高运算效率以及聚焦算法性能，并考虑实现应用于三维成像算法的聚焦处理中。