舵机动态响应下导弹阻尼回路稳定性

2022-10-10周志明易建强姚晓先

系统工程与电子技术 2022年10期

周志明，刘振，*，易建强，姚晓先

（1.中国科学院自动化研究所，北京 100081；2.北京理工大学宇航学院，北京 100081）

0 引言

导弹一般气动阻尼不足，欠阻尼特性导致弹轴长时间摆动，对导引回路的工作将产生不利影响。因此，采用阻尼补偿回路增强弹体阻尼性能的方法普遍应用于各类导弹的控制系统中［1-3］。但是，控制与制导回路的作用也引起了一系列导弹稳定性问题。

目前，国内外对各类导弹的动态稳定性研究已有很多成果，尤其在旋转导弹领域［4-10］。特别地，针对控制回路，Yan等首先研究了阻尼回路对旋转弹角运动的影响，指出旋转弹阻尼回路增益上限比非旋转弹低很多［11］，随后推导了使用姿态驾驶仪满足锥形运动稳定条件时，阻尼反馈增益和姿态反馈增益需满足的动态关系［12］。Li等人更进一步推导了采用两回路和三回路过载驾驶仪的旋转弹角运动稳定性条件［13-15］。Zhou等人从飞行试验中的异常现象出发，研究发现铰链力矩作用下的舵机响应有可能会诱导不稳定的锥形运动［16-17］，并且进一步研究分析了舵机传动间隙对旋转弹锥形运动稳定性的影响［18］。针对制导回路稳定性的分析同样有许多可借鉴的工作［19-23］，Hu等人重点分析了采用寻的三维比例导引的旋转弹稳定性准则，并且分析指出转速越大，脱靶量越大［24］。Zheng等人和Tian等人在此基础上，研究了采用比例导引，并考虑导引头隔离度寄生回路下旋转弹的锥形运动稳定性［25-26］。Hu等人特别地考虑了捷联式导引头响应滞后引起的旋转弹稳定性条件变化情况［27］。然而上述文献在制导控制回路建模中，均仅考虑了舵机的稳态响应，没有考虑舵机动态响应过程，这样所得到的导弹的稳定性条件可能与真实情况存在一定的偏差。在研究无控段舵机铰链力矩对旋转弹动态稳定性的影响时，Yousof等人首次指出舵机的动态响应使得控制参数稳定域会发生偏移［28］，修正了Zhou等人的结果，具有一定的启示意义［16］。近期，Fan等人考虑舵机的动态响应，给出了各参数对两回路过载驾驶仪参数稳定域的影响［29］，具有很大参考意义。综上，虽然对于导弹制导控制回路稳定性分析的文献很多，但是考虑舵机的动态响应对制导与控制回路的作用，并对导弹的动态稳定性的研究依然较少。

本文建立了阻尼驾驶仪控制的导弹动力学方程以及舵机的动力学方程，采用劳斯判据，对比研究了非旋转导弹在舵机稳态与动态响应下阻尼反馈增益的稳定区域，进一步采用复姿态角方法和Lyapunov稳定性判据，研究了旋转弹阻尼回路动态稳定性条件，对工程实践具有一定的指导意义。

1 导弹动力学与舵机模型

旋转导弹的动力学方程参照相关文献［15，29］可以描述如下，其中非旋转导弹认为转速＝0。

舵机模型参照周伟［18］建模方式建立，考虑舵机系统常用的比例微分（proportional derivative，PD）控制器，其中比例系数为KP，微分系数为KD，记舵机的指令为δc，舵机的响应为δ，即U＝（K P＋K Ds）（δc-δ），可以得到舵机的响应与指令之间的传递函数为

一般的舵机系统为避免系统因反馈噪声信号引起震荡，K D取值通常较小，在K D＝0时，系统为简单的比例控制器，则舵机的响应与指令间的传递函数化简为

式中：Jm为电机转轴转动惯量；J l为舵片转动惯量；N为减速器的减速比；R为电阻；K e为反电动势系数；K m为电磁力矩系数。可以看到，舵机响应为被建模成一个二阶环节。

表1 参数定义表Table 1 Nomenclature

2 非旋转弹阻尼驾驶仪稳定性

当＝0，弹体不旋转，马格努斯力和力矩以及惯性力矩参数项均为零，非旋转弹俯仰和偏航没有耦合，以俯仰方向为例，非旋转弹的动力学方程为

非旋转弹俯仰方向阻尼回路如图1所示。

图1 非旋转弹阻尼回路结构图Fig.1 Structure of non-spinning missile damping circuit

据图1可得，非旋转弹姿态角在阻尼回路作用下的动态响应为

若忽略舵机的动态响应过程，只考虑稳态响应的情况下有

则舵机稳态响应下的攻角响应为

式（7）为一个二阶方程，其特征根为

当特征根的解的实部为负数时，姿态角成收敛状态。上述方程根具有负实部的充要条件是

因为静稳定弹体本身具有弱阻尼作用，即使在没有阻尼回路情况下依然可以保证姿态角稳定性，甚至在一定的正反馈情况下依然可以保持稳定性。实际导弹的控制系统中，由于弹体弱阻尼的特性，一般设置kω＞0提高弹体阻尼，获得更良好的控制性能。当弹体为静不稳定时，即b11＞0，此时阻尼回路能稳定满足-a1b22＋b3a1kω＞b11条件的静不稳定弹体。可以看到，静不稳定度越大，即b11越大，对应的kω下限值越大，意味着只要反馈增益设计得足够大，阻尼回路也能稳定静不稳定弹体姿态，但是实际上kω的取值是有限制的，作为姿态驾驶仪或者过载驾驶仪的内回路，kω的上限值受限于舵机等硬件资源。因此，仅依靠阻尼回路对静不稳定弹体的稳定范围极其有限，甚至可能完全无法稳定。

根据劳斯判据可得系统收敛的条件为

观察可知，α1＞0和α4＞0两式一般情况下恒成立，所以决定系统稳定性的是中间两式。其中，Ts和μs是关于舵机控制参数K P的函数，所以舵机控制参数与阻尼驾驶仪控制参数kω具有一定的关系，具体动态变化关系参见仿真算例。

由于仅依靠阻尼回路控制静不稳定弹体局限性较大，其所能控制的弹体最大静不稳定度与等效舵机的带宽成正比［30］，工程上多采用过载回路来改善弹体特性，这里以两回路过载驾驶仪为例分析，其组成框图如图2所示。

图2 非旋转弹两回路过载驾驶仪结构图Fig.2 Structure of non-spinning missile two-loop autopilot

在近似条件b22≈0下，可以计算得到两回路过载驾驶仪作用下弹体自振频率和阻尼为

3 旋转弹阻尼驾驶仪稳定性

旋转弹阻尼驾驶仪框图如图3所示。

图3 旋转弹阻尼回路结构图Fig.3 Structure of spinning missile damping circuit

当仅考虑舵机系统的稳态响应时，指令到舵偏角的响应是一个简单的初等矩阵，与舵机的控制参数以及转速相关。定义复舵偏角δ＝δy＋iδz，复攻角ξ＝β＋iα，复姿态角速度，根据旋转弹阻尼驾驶仪框图3可得

将式（17）代入旋转弹动力学方程中，并将其写成复姿态角形式可得

参照相关文献［32］可得二阶复系数微分方程的稳定性条件为

当考虑舵机系统的动态响应时，指令到舵偏角的响应不再是一个简单的初等矩阵，而是存在一个二阶响应环节，系统阶次将变为8阶，采用复姿态角方法可以降阶为4阶，根据卡尔丹定理，存在稳定性判据的解析表达式［29］，但是从解析表达式中难以看出各项参数对稳定区域的影响，为使用成熟的线性矩阵不等式求解工具包，本节采用Lyapunov稳定性判据。将式（16）代入式（1）中，并选取状态变量为则系统的状态空间方程为

根据李雅普诺夫稳定性理论，上述系统稳定当且仅当A的所有特征值的实部为负数。为了考察上述系统的稳定性，考虑李雅普诺夫方程

系统稳定的充要条件是存在一个正定矩阵M使得

当存在正定矩阵M使得式（22）成立时，计算可以得到，所以系统稳定。针对每一组舵机控制参数以及阻尼反馈增益，可以通过求解线性矩阵不等式（22）的可行性从而判别系统稳定性。舵机的动态响应对阻尼反馈增益的影响参见仿真案例。

4 仿真验证

本节将进行上述稳定性条件的验证，给出仿真所需数据，如表2和表3所示，其中对于非旋转弹，˙γ为零，并且马格努斯力和力矩以及惯性力矩参数项均为零。

表2 舵机仿真参数表Table 2 Actuator parameters used in the simulation

表3 仿真中某旋转弹飞行参数表Table 3 Spinning missile flight parameters used in the simulation

首先对非旋转弹进行仿真，给出舵机动态和稳态响应下控制参数稳定域的对比，如图4所示。

图4 静稳定非旋转弹阻尼参数稳定域Fig.4 Parameter stability region of damping parameters for statically stable non-spinning missile

通过计算分析可知，当忽略弹体舵偏升力的影响时可得稳定边界条件为kω＞-0.009-569-89，而考虑弹体舵偏升力的影响时可得稳定边界条件为kω＞-0.009-569-83，对比可知舵面升力项对稳定性边界影响极小，可以忽略。马格努斯力项与舵偏升力量级差异不大，因此下面仿真分析中均忽略虑马格努斯力和舵面升力的影响。考虑舵机的动态响应时，参数K P与kω的稳定域如图4所示。随着舵机控制参数的增大，考虑舵机动态与稳态响应下的阻尼驾驶仪参数稳定域趋于相同，即舵机的比例控制参数越大，其响应时间T s越小，舵机的动态响应对弹体运动影响越小。

上例是一个静稳定的非旋转弹，现考虑一个静不稳定的弹体，保持其余参数不变，仅改变b11＝40，可得舵机控制参数与阻尼回路参数稳定域关系如图5所示。

图5 静不稳定非旋转弹阻尼参数稳定域Fig.5 Parameters stability region of damping parameters for statically unstable non-spinning missile

考虑舵机的稳态响应时，阻尼回路的下限分别是-（-b11-a1b22／b3a1）与-（-b22＋a1／b3）项，考虑舵机动态响应情况下，随着舵机控制参数的增大，阻尼回路参数取值有严格的上下界限制。对比可知，仅考虑舵机的稳态响应求得的阻尼回路控制参数很可能会使系统不稳定。因此，静不稳定的导弹仅依靠阻尼驾驶仪稳定弹体时，应重点考虑舵机的动态响应对其影响。此外，观察可知考虑舵机动态响应下，静不稳定的导弹仅依靠阻尼驾驶仪稳定弹体参数稳定区域取值范围较为有限，这也是工程上较少单独采用阻尼驾驶仪控制静不稳定弹体的原因。

旋转弹阻尼回路反馈参数与舵机参数之间的动态关系如图6所示。

图6 不同舵机时间常数旋转弹阻尼参数稳定域Fig.6 Parameters stability region of damping parameters of spinning missile under different actuator time constant

图6显示，在弹体静稳定情况下，仅考虑舵机稳态响应时，kω存在下限值，没有上限值；当考虑舵机动态响应时，使得系统稳定的kω取值范围与仅考虑舵机稳态响应时接近，并且舵机时间常数越小，取值范围越接近，同时kω的取值上限随着舵机时间常数的增大快速减小。随着舵机时间常数的减小，舵机响应速度越来越快，舵机的动态响应对弹体的影响也越来越小，表现在图6中，即舵机时间常数趋于零时，舵机动态和稳态响应下的kω的稳定域趋于相同。

现分析不同静稳定度旋转弹的阻尼系数取值范围。保持其余旋转弹飞行参数不变，仅改变b11，分析旋转弹阻尼反馈参数的变化，结果如图7所示。

图7 不同静稳定度旋转弹阻尼参数稳定域Fig.7 Parameter stability region of damping parameters for spinning missile with different static stabilities

图7显示，仅考虑舵机稳态响应时，当b11＜0，即弹体静稳定，kω的下限值为负数，且随着静稳定度减小，kω下限值缓慢增大，当b11＞0，kω的下限值为正数，且随着静不稳定度增大，kω下限值迅速增大，这与非旋转弹阻尼回路保持一致，同时也与Yan等人［11］的结果相符。当考虑舵机动态响应时，kω的下限值与舵机稳态响应时接近，并且略有增大，但是仅考虑舵机稳态响应时，kω没有上限值，考虑舵机动态响应时，kω的上限值被严格限制，并且随着静稳定度减小略微增大，当弹体静不稳定度到达一定程度时，不存在使得弹体稳定的kω参数。