一类放宽条件的三元代数不等式及统一证明

山东省邹平市第一中学(256200) 李 猛

山东省邹平双语学校(256200) 姜坤崇

关于三个正数a,b,c 的众多代数不等式,是数学中不等式分支的基础内容和重要的组成部分,也是各级各类数学竞赛特别青睐的不等式.笔者通过研究发现,在这些三元代数不等式中有一部分若把条件放宽为三个实数两两之和大于零也是成立的(这是代数不等式研究的一个新方向).本文用一种统一的代换方法结合二、三元均值不等式及舒尔不等式来证明这些条件放宽后的不等式.

对于满足a+b > 0,b+c > 0,c+a > 0 的三个实数a,b,c, 作代换: 令x =(以下称此代换为代换(*) ) , 则x,y,z > 0,a = y +z -x,b =z+x-y,c=x+y-z,a+b+c=x+y+z.

例1设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

由三元均值不等式得(x + y + z)(x2+ y2+ z2) ≥即不等式(1)成立,所以原不等式获证.

例2设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

将(x+y+z)[(y+z-x)2+(z+x-y)2+(x+y-z)2]展开整理得

由(4)式,不等式(3)可化为

由二元均值不等式易得不等式(6)成立,从而原不等式得证.

说明不等式(2)与以下4 个不等式等价(条件同不等式(2)):

例3设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),不等式(7)可化为

由于不等式(8)关于x,y,z 对称,因此不妨设x ≥y ≥z,于是x+y-z >0,z+x-y >0.若y+z-x ≤0,则不等式(8)显然成立(左边>0,右边≤0),以下设y+z-x>0.

说明(i)不等式(7)与以下4 个不等式等价(条件同不等式(7)):

(ii)将不等式(8)的右边展开后即得著名的舒尔不等式:设x,y,z >0,则

例4(《数学通报》2016年第12 期数学问题2335)设x,y,z 为实数,且其中任意两数之和大于零,求证:

证明令则a,b,c > 0, x = b +c- a,y = c+a- b,z = a+b -c,所证不等式可化

而

与

都等价于

这正是舒尔不等式,所以原不等式获证.

例5设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

将(y+z-x)3+(z+x-y)3+(x+y-z)3展开得

(y+z-x)3+(z+x-y)3+(x+y-z)3

由(12)式,不等式(11)等价于

由三元均值不等式及不等式(5)得

所以不等式(13)成立,从而原不等式获证.

例6设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),不等式(14)可化为

将

展开整理得

由(16)式, 不等式(15)可化为不等式(9), 从而不等式(14)获证.

例7设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),不等式(17)可化为

将(y+z-x)x2+(z+x-y)y2+(x+y-z)z2展开整理得

由(16)及(19)式,不等式(18)可化为不等式(9),从而不等式(17)获证.

例8设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

将(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)展开整理得

由(19)式及(22)式,不等式(21)可化为不等式(9),从而不等式(20)获证.

说明由不等式(10)、(14)及(17)可得如下不等式链:设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则

例9设a,b,c 是三个实数,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

由(4)式,不等式(23)可化为

由三元均值不等式及不等式(5)得所以不等式(24)成立,从而原不等式获证.

例10设a,b,c 是三个实数, 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

由(4)式及(19)式,不等式(25)可化为

由三元均值不等式得

即

由三元均值不等式及不等式(27)知不等式(26)成立,从而原不等式获证.

例11 设a,b,c 是三个实数, 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

因为以上不等式即不等式(27),所以原不等式获证.

例12设a,b,c 是三个实数, 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求证: (a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.

证明由代换(*),所证不等式可化为

由(4)式及(22)式,不等式(28)可化为

不等式(9)+(27)即得不等式(29),所以原不等式获证.

例13设a,b,c 是三个实数, 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求证: (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24abc.

证明由代换(*),所证不等式可化为

由(22)式知不等式(30)等价于

由不等式(9)×2+(27)即得不等式(31)成立,所以原不等式获证.

例14设a,b,c 是三个实数, 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求证: (a+b+c)[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]≥36abc.

证明由代换(*),所证不等式可化为

由(22)式知不等式(32)等价于

由不等式(9)×3+(27)即得不等式(33)成立,所以原不等式获证.

例15设a,b,c 是三个实数, 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求证:

证明将分式不等式(34)化为整式不等式得

由代换(*),不等式(35)可化为

将x(y+z-x)2+y(z+x-y)2+z(x+y-z)2展开整理得

由(12) 式及(37) 式, 不等式(36) 可化为x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2) ≥6xyz,此即不等式(6),从而原不等式获证.

说明对于不等式(34),若条件为正实数a,b,c,则为著名的Neshitt 不等式: 已知a,b,c 是正数,则+

历史上此不等式曾作为1963年莫斯科数学奥林匹克试题出现过.

例16设a,b,c 是三个实数, 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求证:

证明由代换(*),所证不等式可化为

将

展开整理得

由(39)式,不等式(38)可化为x3+y3+z3+3xyz ≥x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2,这正是不等式(9),所以原不等式获证.

最后需说明的是,以上所证不等式均当且仅当a=b=c时等号成立.