Geogebra课件制作中的高考数学知识点*
——制作斜截圆柱展开图与高考数学
2022-10-09广东省中山市小榄中学528415刘晓聪
广东省中山市小榄中学(528415) 刘晓聪
数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”Geogebra 已经走进了高中数学课本,运用Geogebra 教学有几点优势.第一: 无论是在平面几何还是立体几何中, 运用软件都能将数与形完美结合;第二: 学生在学习数学最大的难点就是抽象,如果通过Geogebra 作图能帮助学生更好的理解相关知识点;第三: 鼓励学生掌握Geogebra 运用技术可以提升学生的学习兴趣.我们尝试在教授学生Geogebra 制作时与高考相关考点一并展示给学生,让学生能从多角度理解、应用高考的相关知识点.下面将以制作斜截圆柱展开图课件为例,介绍在制作Geogebra(下面简称GGB)课件时与高中数学知识的关联.
第一步: 创建滑动条r,h,a.定义r 为圆柱底面圆半径,r 的范围为[0,5].定义h 为圆柱的高,h 的范围为[0,5].a 为控制斜截圆柱平面倾斜度的控制参数,a 的范围[-5,5].
第二步: 作底面圆.因为我们作的是变化的圆,或者说是能随参数变化而变化的圆一部分,所以采用平面曲线的画法.
GGB 语法简介: 平面曲线参数方程: 曲线(
GGB 指令: 运用圆的参数方程作图,在指令栏输入: 曲线(r*cos t,r*sin t,t,0,2pi)(注: pi 为π 的快捷输入法).若采用圆的极坐标方程,在指令栏输入,曲线((r;t),t,0,2pi).(注: 指令除中文部分外,其余部分需在英文状态键入)在展开图中,需要的是底面圆的一部分,只需改变参数t 的范围即可得到,后面的作图中都先作出完整的斜截圆柱.作图结果如下图:
高考试题链接: (2018年全国卷III 文数高考试题)在平面直角坐标系xOy 中, ⊙O 的参数方程为为参数),过点(0,-且倾斜角为α 的直线l 与⊙O 交于A,B 两点.
(1)求α 的取值范围;
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.
第三步: 斜截圆柱其截面为椭圆,但这里并不是直接通过椭圆方程来画出斜截圆柱的截面,而是通过平移的方式得到.
GGB 语法简介: 空间曲线参数方程: 曲线(
课本知识点: 设底面圆上的动点为A, 平移后斜截圆柱上底面对点为B, 可由向量加法求B 点坐标,
GGB 指令: 与课本中沙摆实验类似,斜截圆柱上底面展开图为正弦曲线,当然也可以是余弦曲线,区别是后面在展开时,展开的起始点不同.底面圆作图结果已被GGB 自动命名为b,b 为底面圆上动点,受函数中参数t 的改变而改变,可记底面圆上的动点为b(t) =(
由向量加法,b(t)+(0,0,h+a*sin t),指令栏输入: 曲面(b(t)+(0,0,h+a*sin t),t,0,2pi).
如果a 的取值过大,斜截面可能与上下底面都相交,作图结果如下:
高考试题链接: (2019年新课标II 文数高考试题)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
第三步: 作出上下底面对应动点A,B 线段上所有点,并旋转360°得到斜截圆柱体.
GGB 语法简介: 曲面参数方程: 曲面(
曲面作图也有多种形式,这里使用的是第三种.函数中前三个变量对应空间中点坐标的x,y,z.曲面的构成原理是,先有曲线,再将曲线旋转360°得到.因此,这里会用到两个变量,连接AB 的线段一个变量,再将线段AB 旋转再有一个变量.
GGB 指令: GGB 自动将下底面动点命名为b(t) 这里记为点A,斜截面动点命名为c(t)这里记为点B,因此AB间动点P,由三点共线结论可知GGB 指令表达式为(1-s)*b(t)+s*c(t).指令栏输入: 曲面((1-s)*b(t)+s*c(t),s,0,1,t,0,2pi).作图结果如下:
(2015年新课标I 理数高考试题)设D 为ΔABC 所在平面内一点,若则下列关系中正确的是( )
第四步: 引入角度变量α ∈[0,360°],将α 替换GGB 命名为b,c,d 中参数t 的2pi,通过改变α 的大小得到斜截圆柱展开中剩余的部分.作图结果如下:
第五步: 先找到展开图中,上下底曲线展开时的动点.要形成展开时的动态效果需要按下底面圆的切线方向柱体展开.
GGB 语法简介: 带路径的描点式: 描点(<几何对象>,<路径值>)
例如,对象b 为下底面的一部分,若起点为A,终点为B,C 点为对象b 上需要描的点,则= x,x 就是路径值,其原理与向量类似.若输入描点(b,1/2),则得到的是曲线AB的中点.
GGB 指令: 指令栏分别输入,描点(b,1),描点(c,1),得到展开时动点,GGB 这里已自动命名为A、B 点.运用工具栏工具过点A 作圆的切线或指令栏输入切线(A,b),GGB 已命名为对象f.输入单位向量(f),GGB 命名为对象u.展开部分可按单位向量u 的方向平移即可.作图结果如下:
第六步: 将点A 按单位向量u 的方向平移,其长度为底面圆的展开弧长.再将平移后的动点向上平移得到上底面展开部分曲线.
课本知识点: 展开图中下底部分展开弧长为扇形,弧长公式为: l =|α|r.
展开图中上底部分满足三角函数: y =a sin(t+α)+h GGB 指令: 由向量公式, 记A 点平移后动点为C, 则展开扇形的弧度角为变量为2π-α,因此即t*r*u,t 为变量范围是[0,2π-α].在指令栏输入:
曲线(A+r*u*t,t,0,2pi-α),这里自动命名为对象e.第三步中已指出上底截面部分纵坐标满足三角函数,但展开部分不是从0 开始,而是从变量α 开始.在指令栏输入:
曲线(e(t)+(0,0,h+a*sin(α+t)),t,0,2pi-α),已自动命名为对象g.作图结果如下:
高考试题链接: (2020年浙江高考试题)已知圆锥的侧面积(单位: cm2)为2π,且它的侧面积展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位: cm)是____.
第七步: 同第三步原理相同,由展开图部分的对象e(t)与g(t)运用三点共线原理作出动态线段,再平移展开部分得到展开曲面图.
GGB 指令: 指令栏输入: 曲面(s*e(t) + (1 - s)*g(t),s,0,1,t,0,2pi-α),作图结果如下:
到此斜截圆柱的展开图制作完成,改变的取值即可得展开图动画,后期只需对点线的状态进行一系列美化.史宁忠教授指出数学从小学到大学其重要的变化是抽象程度越来越高,而数学学习困难的同学也正是数学太过抽象而难以理解.在教学中需要由浅入深,由具体的、直观的慢慢过渡,这样能帮助更多的同学在数学学习上走上正轨.Geogebra,在数与形的结合上非常完美,并在制作相关课例时会用到大量的高考考点.因此,在GGB 课例的制作中不仅体验到数学应用的乐趣,还能强化与之相关的知识点,真正体会到数与形的结合.
