自极三角形下圆锥曲线定点问题的背景与命题探究

华南师范大学数学科学学院(510631) 黄丽纯 陈俊阳

1 “自极三角形”模型

在高考试题中,以极点极线理论为背景的圆锥曲线定点问题屡见不鲜,蕴含了丰富的解题思想、方法、工具和技巧,是常见的解析几何难题之一.综合来看,这些题目可以归结在如下的“自极三角形”模型中.

定义[1]对圆锥曲线Γ: Ax2+ By2+ Cx + Dy + E =0(A2+ B2≠ 0),点Q为不在Γ上的点,过点Q引两条割线依次交Γ于点M,N,M′,N′,连接M′M, NN′交于点P,连接MN′,M′N交于点S,则称ΔPQS为自极三角形.其中,ΔPQS的每个顶点和对边所在直线为极点和极线的关系(如图1).

图1

特殊地,若点Q是Γ上的点,则过点Q的切线即为极线;若点Q是Γ的焦点,则点Q对应的极线为准线.代数上,与点Q(x0,y0)(非Γ的中心)对应的极线方程为Ax0x + By0y +++ E = 0.

2 命题背景

以“自极三角形”模型为背景的题目大多与极点极线的两个基本定理(定理1, 2)及两个特殊定理(定理3, 4)有关,下面给出相关命题背景.

定理1[2]点Q和直线l是圆锥曲线Γ的一对极点和极线,M′N′是过点Q的割线, MN是另一条割线, M′M和NN′相交于点P.则点P在l上的充要条件是MN过点Q(如图2).

图2

切线是割线的极限情形,于是有定理2.

定理2点Q和直线l是圆锥曲线Γ的一对极点和极线, MN是曲线Γ的割线,Γ在M, N两点处的切线相交于点P.则点P在l上的充要条件是MN过点Q(如图3).

图3

实际上,由射影几何中的配极原则,定理2中过点Q的割线MN也是点P对应的极线.

除了上述基本定理外,下面探究两类特殊关系:一是当极点为圆锥曲线的焦点时的垂直关系;二是当圆锥曲线的两个极点互为另一点对应极线与曲线对称轴的交点时的等角关系,并利用圆锥曲线定义的统一性及图象性质的统一性进行简洁、统一的证明.

定理3点F是圆锥曲线Γ的一个焦点,直线l是与点F对应的准线,点P在l上, MN是过点F的割线.则PM,PN是Γ的切线的充要条件是FP⊥MN(如图4).

图4

证明不失一般性,不妨设圆锥曲线的焦点F为原点,与点F对应的准线方程为l : x = -p.由圆锥曲线的统一定义有= e,整理得(1 - e2)x2-2e2px+y2-e2p2=0.因为点P在l上,设P (-p,y0),则点P对应的极线为px - y0y = 0.

(1)充分性:因为MN过点F且PM,PN是Γ的切线,所以MN是点P对应的极线.当y0= 0时, FP : y = 0,MN : x = 0,可得FP⊥MN;当y0≠ 0时,,可得kFP·kMN= -1,所以FP⊥MN.

(2)必要性:当y0= 0时, FP : y = 0,点P对应的极线为x = 0.因为MN过点F且FP⊥MN,所以MN : x = 0,即MN是点P对应的极线;当y0≠ 0时, kFP·kMN= -1.因为kFP= -,可得kMN=.又因为MN过点F,所以MN : y =,即MN是点P对应的极线.综上,PM,PN是Γ的切线.

由(1) (2)可得, PM,PN是Γ的切线的充要条件是FP⊥MN.证毕.

定理4点P,Q是圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上),且点P,Q分别在点Q,P对应的极线上, M,N是Γ上两点.则MN过点Q的充要条件是∠MPQ =∠NPQ(如图5).

图5

证明对任意圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点P,Q,延长PM,PN交曲线Γ于M′,N′,如图6.

图6

(1)充分性:因为MN过点Q,点P在点Q对应的极线上, M′M与NN′相交于点P,由定理1, M′N′过点Q.又因为点P,Q在Γ的对称轴l上,所以M′,N和M,N′分别关于l对称,即∠MPQ =∠NPQ.

(2)必要性:因为∠MPQ =∠NPQ,所以M′,N和M,N′分别关于l对称,即M′N′与MN的交点S在l上.又因为S在点P的极线上,所以点S与点Q重合,即MN过点Q.

由(1) (2)可得, MN过点Q的充要条件是∠MPQ =∠NPQ.证毕.

实际上,对定理3、4的证明也可以通过代数法联立直线与椭圆、双曲线、抛物线的一般方程逐个论述,但运算量较大且过程繁杂,留给读者自行探究.此外,除垂直关系和等角关系外,定理3、4的结论也可以等价得到斜率关系、向量积关系、线段比关系等.综上,定理1至4的条件与结论间有如图7的关系.

图7

3 命题实践

为实现《中国高考评价体系》[2]“一核”“四层”“四翼”的评价要求,加强对学生创新能力的考查,采取多样化的条件呈现方式与设问方式命制开放性试题、结构不良试题等创新题型成为了新高考的命题趋势.

因此,本节依据第2节的4个充要条件,给出命制圆锥曲线定点问题从常规问题(题1)到结构不良问题(题2, 3, 4)、开放创新问题(题5)这3种不同层次试题的命题范式.

原创题1已知椭圆E := 1(a＞b＞0)的焦距等于短轴长的倍,长轴右端点为A, M (1,0)为线段OA的中点.

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点M任作一条直线,与椭圆E相交于P,Q两点.试问在x轴上是否存在定点N,使得若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.

答案(1) E :+ y2= 1; (2)存在, N(4,0).

评析本问题依据定理4,从线段比的方式对等角条件进行表征进行命题.实际上,依据定理1至4,可以命制一系列圆锥曲线定点问题,如2020年全国I卷理科第20题(依据定理1)、2015年全国I卷理科第20题(依据定理4)、2012年福建卷理科第19题(依据定理3)等.

原创题2已知A,B是坐标轴上的点, M (x,y)是平面上一点.记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,______,点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

(2)设动直线l(斜率存在)与曲线E相切于点P,且l与直线x = -2相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点N,使得以PQ为直径的圆恒过点N?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.

注从下面三个条件中选一个补充到横线中,并求解此题. ①A,B分别为圆x2+ y2= 2与x轴的两个交点,k1·k2= -;②A,B分别为圆x2+y2= 6与x轴的两个交点, k1·k2=;③,圆心在x轴上移动的圆经过点C (-8,0),且与x轴、y轴分别交于点A(x,0), B (0,y)两个动点.

答案(1)①E :=1(y ≠ 0); ③E : y2= 8x; (2)无论在(1)中选①或②或③,x = -2均为曲线E的准线,记E中与x = -2对应的焦点为F.因为QP是曲线E的切线,由定理3,有PF⊥FQ,即以PQ为直径的圆恒过点F.故对①,定点N (-1,0);对②,定点N (-3,0);对③,定点N (2,0).

评析本问题依据定理3进行命题,第(1)问对所研究的曲线方程设置了多样化的条件呈现方式;第(2)问将不同的圆锥曲线方程统一到探究焦点与准线的关系中,体现了极点极线理论“居高临下”的作用.

原创题3(改编自2022年深圳二模第21题)已知椭圆E := 1(a＞b＞0)的左右顶点为A,B,上下顶点为C,D,左焦点为F,且ΔFCD是边长为2的等边三角形.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若M (s,t)是平面上的动点,从下面的两个条件中任选一个,证明:直线PQ经过定点.

①s = 4,t∈R,直线MA,MB与椭圆E的另一交点分别为P,Q;

②t = 2,s∈R,直线MC,MD与椭圆E的另一交点分别为P,Q.

答案(1) E := 1; (2)若选①,即点M在直线x = 4上,对应的极点为(1,0),故AB和PQ交于定点(1,0).若选②,即点M在直线y = 2上,对应的极点为,故CD和PQ交于定点

评析本问题依据自极三角形的定义,第(1)问为常规的求椭圆一般方程的问题,第(2)问设置了不同的极线,为学生解题时选择不同的设直线方程方法提供空间.

原创题4已知椭圆E := 1(a＞1)的右焦点为点F, F到直线l : x = 4的距离为a2- 1, M,N在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程;

(2)从以下①, ②, ③中选取两个作为条件,另外一个作为结论,形成一个真命题,并证明之.

注①点P在l上; ②E在M,N两点处的切线相交于点P; ③MN过点F.

答案(1) E := 1; (2) ①③⇒②为假命题,①②⇒③以及②③⇒①均为真命题,证明略.

评析本问题依据定理2进行命题,是初始条件及求解目标均不定的结构不良试题,如2022年新高考II卷第21题,2021年全国甲卷理科第18题等均采用了此种试题呈现方式,对学生逻辑推理的素养要求较高,是贯彻新高考要求的一种创新命题方式.

原创题5已知椭圆E := 1,点直线l : y = kx + m与E交于M,N两点,请写出满足条件“PA平分∠MPN”的一条直线MN方程______.

答案直线MN斜率存在且不为零,并过点即可.

评析本问题依据定理4进行命题.学生既可以一般性地利用MN : y = kx + m,分析条件推导出+ m = 0,即MN恒过点;特殊地,学生也可以先任意取定点M的坐标,再利用条件计算得出点N的坐标,同样可以得到满足题意的直线MN的方程.因此,本题具有较强的灵活性、开放性和创新性.

4 结语

本文基于射影几何中自极三角形的定义,探究圆锥曲线定点问题的问题背景,得到了4个重要的充要条件.以此为基础,给出了命制常规问题、结构不良问题、开放创新问题这3种不同层次创新试题的命题范式.为此,教师可以类似地针对不同知识模块,通过高观点的角度挖掘一类问题的本质和命题背景,从不同层次命制创新试题,充分考查学生的关键能力与核心素养.