基于经验 源于对比 构建概念——人教版教材四年级上册“平行四边形和梯形”教学思考与实践

□杨文杰

【课前思考】

在人教版教材四年级上册“平行四边形和梯形”单元中，教材把《认识平行四边形》和《认识梯形》分为2课时，主要学习平行四边形和梯形的概念、特征、高的画法及认识平行四边形的不稳定性。为了进行基于核心概念的单元整合教学，笔者尝试在教学核心概念“平行”后，把认识平行四边形和梯形整合在同一课时，引导学生进行对比学习，把“高”的学习调整到第4课时，认识平行四边形的不稳定性调整到第6课时，具体思考如下。

一、基于学生学习起点

为了解学生的学习起点，笔者对495名学生进行了前测，具体如下。

第1题：请在方格纸上画一个四边形。

第2题：你能说说什么是平行四边形，什么是梯形吗？

前测结果和分析如下。

学生都能画出四边形，表明学生对四边形的直观认识比较到位，90%的学生画出了特殊四边形，其中长方形占22.2%，正方形占15.3%，平行四边形占40.1%（其中菱形占2.5%），梯形占12.4%，表明部分学生已经达到了直观认识平行四边形和梯形的水平，大多数学生未达到描述水平。从边、角两个维度描述平行四边形和梯形概念的分别占22.5%和17.5%；用生活原型（梯子）描述梯形概念的占5.2%；能用“平行”概念描述平行四边形和梯形概念的分别占17.5%和3.3%；约60%的学生无应答。另外，学生已经初步掌握从边和角两个要素探究一般四边形和长方形、正方形特征的方法，具有相关基础和活动经验。

二、基于概念定义方式

概念学习过程是对概念定义属性的辨认、识别和类化，通过正反例的辨别进行巩固内化的过程。研究表明：概念学习不但要揭示概念本质，还应关注概念之间的关系，建立概念体系，甚至概念域。人教版教材中平行四边形和梯形的概念都是以“属加种差”的方式进行定义的，“属”指两者都属于四边形范畴，“种差”指两者的差异，平行四边形是“两组对边分别平行”，梯形“只有一组对边平行”。因此，把平行四边形和梯形整合在一起进行学习，学生能够更好地通过“种差”进行识别、类化，辨别正反例，能通过“属”的共性构建这两个概念和四边形之间的关系，为概念域的建构奠定基础。

三、基于“平行”核心概念

平行四边形和梯形的概念学习，是基于“平行”这一核心概念进行的。对四边形的两组对边是否平行进行判断，如果只有一组对边平行就是梯形，如果两组对边分别平行则是平行四边形。因此在学习了平行和相交后，学习平行四边形和梯形的概念，遵循了知识内在的逻辑序列和学生的认知规律，有利于学生在整体背景下构建平行四边形和梯形的概念。

整合后，本内容的教学目标定位如下。

1.利用平行的概念，理解平行四边形和梯形的概念，掌握它们的特征。

2.经历比较、想象、分析、沟通的过程，感悟平行四边形、梯形、四边形之间的关系，发展抽象能力和空间意识。

3.结合平行四边形和梯形概念学习过程，体验数学概念的严密性和简洁性。

【教学实践】

一、基于经验，初步感悟概念

（一）依据学生起点，尝试建立表象

教师选取前测中具有代表性的四边形，在大屏幕上呈现（如图1）。

图1

师：请你仔细观察这些四边形。你觉得哪个比较特殊？说说理由。

生：我认为②号四边形比较特殊，它一组平行的对边都没有。

生：我认为①③⑤⑧比较特殊，它们都是平行四边形，都有两组平行的对边。

生：我的想法与这个同学一样，这些图形都有两组平行的对边。（指出了每个平行四边形两组平行的对边）

生：我认为④⑥⑦⑨比较特殊，它们都是梯形，只有一组平行的对边。

（二）归纳整理，明确学习目标

教师根据学生上述想法，归纳整理，并在大屏幕上呈现（如图2）。

图2

师：大家想研究平行四边形和梯形的哪些知识？

生：怎样的图形分别是平行四边形和梯形？

生：平行四边形的边、角有什么特点？

生：它们的周长、面积怎么求？

师：今天我们主要研究什么是平行四边形、梯形，以及它们的特征。

二、比较分析，理解概念本质

（一）观察、比较，构建平行四边形和梯形的概念

1.借助屏幕上呈现的平行四边形和梯形（如图2），引导学生说说什么是平行四边形和梯形。

师：请大家仔细观察两组图形，说一说，什么是平行四边形？什么是梯形？

生：有两组对边相互平行的四边形叫平行四边形；有一组对边平行的四边形叫梯形。

生：我基本同意他的想法，平行四边形有两组平行线，所以我想把“相互”换成“分别”；梯形只有一组对边平行。所以我认为两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫梯形。

生：我也同意同学们的想法，都是根据“平行”来说明什么是平行四边形和梯形。

2.请同桌合作，任选一个平行四边形、梯形，说一说什么是平行四边形，什么是梯形，并指出它们的平行线。

3.讨论：平行四边形和梯形有什么相同点和不同点？

师：平行四边形和梯形有什么相同点和不同点？

生：它们都是四边形。

生：是的，它们都是特殊的四边形。

生：在平行四边形和梯形上都能找到平行线。

生：不同点是平行四边形有两组平行线，而梯形只有一组平行线。

（二）想象对比，巩固概念

教师出示要求：在一组平行线间已有一条直线（如图3），请再添上一条线围成平行四边形或梯形，并说明添线的方法。

图3

生：在直线l的右边添一条与它平行的直线就围成了一个平行四边形。

生：不一定在右边，也可以在左边，只要与直线l平行就可以，这样的线有无数条。

生：因为已经有一组平行线了，只要再增加一组平行线就一定能围成平行四边形。

师：如何围成梯形呢？

生：添上去的直线与l不平行就围成一个梯形。

生：是的，因为已经有一组平行线了，添上去的线要与l不平行，组成的四边形就是梯形。这样的线有无数条。

三、自主迁移，探究图形特征

（一）自主迁移，合作探究

1.教师引导学生回顾研究长方形和正方形特征的方法，让研究平行四边形和梯形的特征。

师：怎样研究平行四边形和梯形的特征？

生：我想找几个平行四边形和梯形进行观察比较，看看它们有什么共同点。

生：我想量一量边的长短和角的大小。

生：我想研究边和角有什么特征。

生：以前我们学习长方形和正方形的时候就是研究它们的边和角的。

2.教师组织学生从边和角两个维度研究平行四边形和梯形的特征并将其记录在作业纸上（如图4）。

图4

（二）汇报交流，概括特征

教师组织学生交流研究方法和结果。

生：我们组用三角尺量了平行四边形的4条边，发现对边相等，用量角器量了平行四边形的4个角，发现对角相等。

生：一般梯形4条边都不相等，特殊的梯形有一组对边相等，这样的梯形叫作等腰梯形。

生：一般梯形没有直角，特殊的梯形有两个直角，这样的梯形叫作直角梯形。

生：平行四边形和梯形四个角的和都是360度。

四、动态想象，感悟图形关系

（一）动态变化，感悟一般平行四边形和特殊平行四边形之间的关系

1.教师借助几何画板演示（如图5），引导学生观察并思考：“你发现了什么？”

图5

生：AD和BC的长度没变，AB和DC的长度由9厘米变成了6厘米。

生：是的，这样4条边长度都相等了，变成了菱形。

生：它的两组对边分别平行，4条边都相等，是特殊的平行四边形。

2.教师用几何画板演示（如图6），引导学生观察并思考：“你又发现了什么？”

图6

生：边的长度没有变化。

生：角度发生了变化，变成4个直角，这是个长方形。

生：长方形是特殊的平行四边形。

3.教师组织学生想象思考：“如果要把这个平行四边形变成正方形，该怎么变化？”

生：边和角都要变。

生：要使4条边都相等，4个角都是直角。

生：正方形也是特殊的平行四边形。

学生汇报后，教师用几何画板演示（如图7）。

图7

4.教师组织学生交流小结。

生：当平行四边形4条边相等的时候，它就变成了特殊平行四边形——菱形。

生：当平行四边形4个角都是直角的时候，它就变成了特殊平行四边形——长方形。

生：当平行四边形4条边相等，4个角都是直角的时候，它就变成了特殊平行四边形——正方形。

生：菱形、长方形和正方形都是特殊平行四边形。

（二）动态想象，感悟平行四边形和梯形的本质

教师通过几何画板出示一个平行四边形（如图8-1），引导学生想象：“怎样改变平行四边形边的位置，使改变后的图形成为梯形？”

生：改变AB（DC）的位置，让它与DC（AB）不平行。

生：也可以改变AD（BC）的位置，只要与BC（AD）不平行就行。

生：要改变边的位置，其实只要移动一个点的位置就行，比如D点。

学生用手势比画，教师用几何画板演示（如图8-1、图8-2）。

图8 -1

图8 -2

生：从刚才的移动过程中，我发现只有把D点放在一个位置，才可以使图形变成平行四边形，其他位置都是梯形。

生：当AD和DC互相垂直时，图形是直角梯形；当梯形的腰AD和BC相等时，图形是等腰梯形。

教师用几何画板演示（如图9）。

图9

【教学反思】

一、比较分析，理解两个概念的本质

比较是找出平行四边形和梯形内在联系、共同规律和特殊本质的好方法。课始，依托前测中学生画的四边形，教师引导学生在“哪个四边形比较特殊”这一核心问题的引领下，经历观察、比较等过程，借助方格图，利用“平行”的意义，直观体验平行四边形（有两组对边分别平行）和梯形（只有一组对边平行）都是特殊的四边形，感悟特殊与一般、下位概念与上位概念之间的关系，从而建立平行四边形和梯形概念的表象。然后，教师引导学生分别观察平行四边形和梯形，抽象出这两个概念的本质特征，初步构建概念，并组织学生讨论：“平行四边形和梯形有什么相同点和不同点？”明确平行四边形和梯形的共性和区别，从而理解这两个概念的本质。最后，引导学生在已有一条直线的一组平行线间，再添一条线围成平行四边形或梯形，通过想象比较，总结出添线方法，既深化了对这两个概念的理解，又使理解过程可视化，让教学更有针对性。以上三个环节，对平行四边形和梯形两个概念进行了比较、分析，学生逐步理解平行四边形和梯形的概念本质。

二、自主迁移，探究两个图形的特征

在探究平行四边形和梯形特征的过程中，教师引导学生回顾研究长方形和正方形特征的方法，并思考：“怎样研究平行四边形和梯形的特征？”这样激活了学生学习长方形和正方形特征的经验和方法，进一步明确以边和角为基本要素，根据边的位置、长短，角的大小探究图形特征的方法，自主迁移探究平行四边形和梯形的特征。学生通过汇报交流研究方法和结果，掌握了平行四边形和梯形的特征，同时认识了两种特殊梯形：等腰梯形和直角梯形。这样的学习活动，既引领学生通过方法的迁移主动探究平行四边形和梯形的特征，又丰富了学生探究图形特征的经验。

三、动态想象，感悟各种四边形的关系

动态想象是厘清图形和图形关系的重要手段之一。教学中安排了两个动态想象活动。一是通过平行四边形边的变化得到特殊平行四边形——菱形；通过平行四边形角的变化得到特殊平行四边形——长方形；通过边和角的变化得到特殊平行四边形——正方形。这一活动能让学生感悟平行四边形和特殊平行四边形（菱形、长方形、正方形）之间的关系，丰富平行四边形的表象，渗透事物之间都是相互联系的哲学观。二是通过改变平行四边形一组对边的位置，使改变后的图形成为梯形。这一活动凸显了平行四边形和梯形的本质区别，让学生感悟平行四边形和梯形、梯形和特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）之间的关系。上述两次想象活动既让学生感悟了图形之间的关系，又发展了学生的空间意识。