“做”数学：数学育人的创新实践探究——以“全等三角形的应用”为例

苗 苗，马云飞

(江苏省南京外国语学校淮安分校，江苏淮安，223001)

中共中央国务院《关于深化教育教学改革 全面提高义务教育质量的意见》(2019年6月23日)中提出，要“坚持知行合一，让学生成为生活和学习的主人”；要“活动育人、实践育人”.为了落实课改精神，探索初中数学实验的理论与实践，开发数学实验课程资源，江苏省中小学教学研究室董林伟副主任牵头成立课题组，开展“初中数学实验”探索.“做”数学是以“做”为支架的一种数学学习活动，是实现数学学科育人的一种范式.《义务教育数学课程标准(2011年版本)》[1](以下简称《课标》)提出了“基本活动经验”的新目标，指出“学生应有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算和推理验证等活动过程.”肯定了“做”数学也是学习数学的一种重要方式.南宋陆游曾在《冬夜读书示子聿》写道：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”“做”数学理念又与中国优秀传统文化相呼应，这引起了笔者的兴趣.于是在“做”数学的理念下设计一堂户外数学课来观察学生的学情发展，情感发展和品格发展.

1 实验题目来源与生成

苏科版小学一年级时学生认识长方体(立体图形)，二年级认识角(平面图形)，三年级认识长方形(平面图形)，四年级认识三角形、梯形(平面图形)，五年级认识平行四边形(平面图形)等.小学生的难点是从实际生活中抽象出具体图形，即从数学的角度去观察现实世界.思维难点是学生需要感悟到由空间立体图形找到平面图形的降维思想.苏科版七年级又认识了圆柱、圆锥等几何体，引入时大多数教师都会让学生经历从实际生活中建筑物的图片找到圆柱或圆锥的教学过程，通常学生会迅速且容易找到相关图形，说明学生初步获得了通过生活中物体认识基本几何图形的能力.但学生在学习图形与几何时，以苏科版八年级全等三角形和勾股定理为例，教材会设置一些引导学生“做”数学的栏目，如画三角形、折叠透明纸、拼图等数学活动，使学生通过“做”获得经验基础，从而揭示具体图形的数学本质.但课本习题已经是从实际生活提取出的实际问题然后到具体的书上模型，学生缺少经历由实际生活抽象出数学模型的建模过程，不利于培养学生的建模思想.通过长期在一线教学的实战经验，笔者发现大多数初中学生非常熟悉具体图形(三角形，长方形等)，但学生很少能解决把书本上具体图形放到实际背景意义的问题，即学生在面对真正的实际生活问题时，很难把它抽象出数学问题然后利用模型思想来解决.此时，笔者有两个疑问：(1) 几何习题大多数是具体图形呈现(平面图形)，题干是其实际意义.但学生能否注意并理解它的实际背景意义？(2) 若将学生放入实际生活大背景下，学生能否抽象出数学问题，然后灵活运用自己学过的数学知识解决实际问题？即学生脱离数学课堂，是否还具备数学建模思想和应用意识？根据以上疑点，笔者结合苏科版八年级上册第1章复习巩固习题和学校自身地理环境特点设计了两个问题.

书本上习题：

如图1，小明和小丽用下面的方法测量位于池塘两端的A、B两点的距离：先取一个可以直接到达点A和点B的点C，量得AC的长度，再沿AC方向走到点D处，使CD=AC；用同样的方法确定点E，量得的DE的长度就是A、B两点的距离，试说明理由.

图1

笔者编写的习题：

(1) 有一条南北贯通的小河每天流经我们的校园，河两岸相对的树木A和树木B上分别住着啄木鸟小黄和啄木鸟小蓝(假设两家距离地面的高度相等)，有一天小黄想去小蓝家串门，求小黄至少飞行多少米？

(2) 在不起眼的校园墙角两边，有着树木C和树木D，由于墙角的阻碍，它们看不到对方，但它们很想知道双方的距离是多少？可爱的同学们，请你们帮帮它们吧！

设计说明：学生在“做”中真正体会书本知识与实际生活的异同点，揭示数学本质，激发学生兴趣.书本上的习题，大多数学生都觉得简单并可以做出来.但当面临同样的生活情境时，学生是否可以通过已经在数学书上获得的基本知识与技能，解决自己的困境呢？学生是否真正的离开数学课堂后，会用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思考世界呢？是否真正地知道数学的本质呢？

2 教学目标

(1) 促“情”，户外的数学活动，使学生真正融入实际生活.在实际生活中，通过“做”数学，感受到数学并不是枯燥的书本知识，它主要是服务于我们的生活.激发学生主动去做，积极投入数学活动，揭示数学本质；

(2) 启“智”，数学实验使学生从“听”数学变为“做”数学，从机械训练式学习变为互相合作探究式学习，启发学生思维，使学生学会思考，善于创新，培养学生的模型思想、应用和创新意识；

(3) 塑“品”，通过有序地组织学生一起合作探究实际问题，促使学生交流探讨，培养学生探索精神、理性思维和合作意识.

3 教学方案

实验对象：八年级学生；实验人数：20人(每5人一组，男女分配；一名组长，一名副组长，一名记录员，2名核心成员).

活动时间：75分钟选修课(数学实验用时比较长，为了充分让学生观察、思考、建模和总结，笔者采用的是选修课时间).

实验工具：工地皮尺100 m(每组1个皮尺).

实验计划书.

4 学生体验心得(学生原话)

第一组：这是一次神奇的体验，第一次体会到数学在生活中的运用.虽然有坎坷，但最后懂得了团队精神的重要性.在实验中，如果没有一个和谐、协调的团队，就不可能成功测量.希望以后再接再厉，共创辉煌.

第二组：刚开始，团队交流有困难.但最后大家终于齐心协力，迎刃而解.在测量河流时，运用全等三角形，化复杂为简单；在测量楼两侧时，运用勾股定理，把不可能测量化为可能测量.

第三组：第一次做数学模型，十分兴奋.我们这组没有完成，因为做第一个问题时遇到很多“未知数据”，不知道怎么处理，感觉无法用“ASA”证明全等.后来晓得了，但时间不够了.今天收获满满，很喜欢这节课，下次争取把问题做完.

第四组：通过这次数学实践活动，我们测得河水宽度及有障碍物时两点距离.虽然十分复杂，但我们获得了快乐，获得了成长，让我们在生活中感受数学的美好，让我们的思维更加敏捷.

第五组：本次实验，我们运用书上的全等知识，测量了河两对岸树木的距离和分别在墙角两点的距离.第一个问题我们忽视了细节，差点算错了数据；第二个在正确想法带领下，终于得到了正确答案.

5 教师总结

测量初期，笔者发现每组成员是比较懵的，因为他们要解决的是真正的实际问题，他们的工具只有一把工地皮尺和一些纸笔.学生要解决的不再是试卷上的一道题.学生需要以小组为单位，亲自去观察、去测量、去讨论、去建模、去得出结论.但令笔者欣慰的是，学生并没有被吓到，反而更加地想解决这个问题.数学最美丽的地方来源于它自身的“奇”，它会让人产生好奇心，让人愿意去研究它.《课标》提出“学生的学习应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.”从情感发展角度来讲，学生对亲身经历建模过程感到新奇，产生强烈好奇心，他们想去做；学生不再是单纯地在教室里听，这时需要多感官参与，他们乐于去做.尤其对部分擅长动手操作而不擅长倾听与阅读的学生来说，满足他们的学习需要，重新唤醒他们学习数学的热情，完成了促“情”的目标.从启发学生智力的角度来讲，笔者通过对比学生完成两个任务用时，发现学生决策分析能力和空间想象能力有很大提升.学生在刚开始第一个任务时没有学会用数学的眼光观察生活，从而想不到将河岸相对的两棵树抽象成一条线段，进而无法联想到三角形全等.经过大量的观察、思考和讨论，学生才分析出这个问题的本质，试着运用已学的知识建立数学模型，最后解决问题.而在做第二个任务时，学生学会用数学的眼光看待问题，数学的思维思考现实世界，掌握分析这类问题的主线(两棵树抽象成线，测量线放入全等三角形或直角三角形)，很快建立模型并解决实际问题，完成布鲁姆教育目标中的认知、领会、应用、分析、综合与评价.从塑造必备品格的角度来看，学生的理性精神、探索精神和合作精神得到了充分发展.笔者在这里主要谈谈学生A的变化.学生A酷爱数学，成绩优异，平时喜欢独自思考数学题，不喜欢与其他同学交流.活动开始时，学生A独坐角落思考，不与组员交流.大约过了20分钟，学生A被憋得面红耳赤，才慢慢靠近队伍，竖起耳朵听听其他人想法，逐渐参与讨论，最后受到启发，带领这个小组完成任务.当学生A交给笔者计划书时，他非常激动，这种团队模式的成功给他一种全新体验.笔者认为，本节课学生不仅完成了四基目标，也很好地完成了四能目标，并且充分培养了学生的模型思想.

6 教师感悟

数学学习包括数学概念、数学定理、数学思想方法等方面的学习，数学实验引导学生从生活经验和已有知识背景出发，从现实中寻找实物模型，通过观察、实验等手段，形成感性认识，从而掌握数学概念与结论.[2]美国教育心理学家布鲁纳认为学习知识的最好方式是发现学习，即探究性学习或学科研究性学习.“做”数学的学习方式符合布鲁纳倡导的学习模式.笔者长期处于一线教学，理解学生的苦.此苦表现为时间长和衡量标准单一.时间长即学生从幼儿园到高中一直在学校，从早到晚学习，长达15年.衡量标准单一即社会、学校和家庭目前只能用成绩来衡量学生的学习成果和现阶段个人发展.大多数目光会关注小数据人群(如成绩在年级或班级第一、第二、第三的学生).很少人注意到大数据人群后千千万万参与学习的学生，他们是“灰色”的.因此，对于一直在学习但又一直处于“灰色地带”的大数据人群来说，学习可能是单调与痛苦的，随着年龄的增长，痛苦会被越来越放大；对于小数据的人群来说，学生更关注的是自己的“位置”，因此可能会越来越关注成绩本身，缺少对学习实际的感悟.且学习数学可能给大多数学生的感受是枯燥的，是抽象的，是深奥的，导致大数据的人群感到更加痛苦.那作为中小学一线数学教师的我们应该怎么来缓解这种现状？笔者觉得董林伟团队的“做”数学理念下的学习方式是学习方式转变的典型代表.学生由机械接受学习转变为发现学习，亲身经历数学建构的过程，学会利用已获得的数学知识和经验去解决实际问题，这会增加学生学习数学的兴趣度和成就感.因此笔者觉得一线教学工作者一方面可以在日常教学中注重数学实验课的探究与实践，使数学课堂变得有趣.一线教学工作者可以组内认真研读数学实验手册，总结数学实验的实施方式，实现数学实验的校本开发.另一方面要善于总结数学实验后的效果，适当进行评价，实现数学实验的效能分析，如通过数学实验课，学生是否对学习数学的兴趣度增高；学生是否对学习数学的自信心有所提高；学生再次面临实际问题时，是否可以理性分析并找到突破口，即是否初步具备数学核心素养等.笔者希望在“做”数学理念的影响下，不同层次的学生在数学课堂中能得到相应的发展，同时也希望数学教育能达到学科育人的目标，在数学实验过程中学生学会与人处事，理解与他们合作的重要性.