立体几何中有关交线问题的解决方式

2022-09-29舒铖蓓

新教育时代电子杂志(学生版) 2022年17期

关键词：过点代数平行

舒铖蓓

（浙江金华第八中学浙江金华 321000）

空间问题平面化是解决立体几何问题的一种重要的思想方法，而截面是重要的载体，所以立体几何中寻找和构造截面是常见的问题，实则是画出截面与几何体的表平面的交线。对于此种问题，本文给出两种解决方式。

一、理论依据

解决立体几何问题，主要用几何法和代数法。

用几何法解决平面与平面的交线问题，要用到以下几个定理：

1.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2.线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

3.面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么这两条交线平行。

4.线面垂直的性质定理：一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任意一条直线垂直。

用代数法解决平面与平面的交线问题需要用到以下知识：

2.空间中两平面交线的一般方程：已知Π1，Π2是空间中的两个相交平面，Π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，Π2：A2x+B2y+C2z+D2=0，则两平面交线的一般方程为

二、实例展示

【例1】如图1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN//AA1B1B。

【解析】要证MN//AA1B1B，只要在平面AA1B1B内找到一条直线与MN平行，难点在于：一方面在平面AA1B1B内没有明显的直线与MN平行，需作辅助线；另一方面利用条件CM=DN证明平面AA1B1B内的辅助线与MN平行。

【思路1】第一步，借助分析法，若MN//AA1B1B，则过MN构造平面与平面AA1B1B相交，所得交线与MN平行，这也是在平面AA1B1B内作出与MN平行的辅助线的方法。

第二步，如图2所示，过点N作NP//AD，过点M作MQ//BC，因为AD//BC，所以NP//MQ，NP与MQ唯一确定平面MNPQ。连接P、Q，所以平面MNPQ与平面AA1B1B的交线为PQ。

图2

第四步，由MN//PQ证出MN//AA1B1B。

【思路2】第一步同思路1。

第二步，如图3所示，MN与B1C相交于点M可唯一确定平面CMN。延长CM至CB1，连接C、N，延长CN交BA的延长线于点H，所以平面CMN延展至平面CB1H。连接B1、H，所以平面CMN与平面AA1B1B的交线为B1H。

图3

第四步，同思路1。

点评：思路1利用两条平行线构造平面，思路2利用两条交线构造平面。两种思路都用到基本事实3画出交线，思路2需要延展平面再画出交线。

【例2】（2018课标1卷理12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）

【解析】条件“每条棱所在直线与平面α所成角都相等”包括三个几何对象：棱、面、线面角。对这三个对象的处理如下：“每条棱”转化为从同一顶点出发的三条棱，平面α需要寻找和构造，线面角可用几何法或者代数法求得。

【思路1】如图4所示，第一步：每条棱所在直线与平面α所成角相等化归为以D为公共顶点的三条棱DC、DA、DD1所在直线与平面α所成角相等。

图4

第二步：因为D-ACD1是正三棱锥，所以三条棱DC、DA、DD1所在直线与平面ACD1所成角相等。

第三步：平面α是平面ACD1或者与平面ACD1平行的截面，例如平面A1BC1。下面介绍如何画出与平面ACD1平行的其它截面。

若动态平移平面ACD1，借助直观想象可得如图5和图6两种不同的截面形状。画截面实则画出截面与正方体的表平面的交线，因为截面与平面ACD1平行，又因为两个平行平面与第三个平面相交所得的交线平行，所以图5中在DD1上任取一点M依次画平行线得到截面MNP，图6中在A1D1上任取一点E依次画平行线得到截面EFGHIJ。

图5

图6

因为截面MNP的面积小于截面ACD1的面积，所以要求α截此正方体所得截面面积的最大值，只要分析截面EFGHIJ的面积何时最大。先画出截面EFGHIJ的平面图形（如图7所示），再设A1F=a，可求得截面EFGHIJ的面积为当截面面积的最大值为

图7

【思路2】第一步，与思路1相同。

第二步，用向量的坐标代数法求线面角。

代入用向量坐标表示的线面角公式可得

图8

第三步，用向量的坐标法寻找截面α。由截面α的法向量可知棱DD1所在直线与截面α有交点，例如交点为点D1=（0,0,1），设截面α上任一点M（x,y,z），由求得截面α对应的方程为x+y+z=1。由联立得y+z=1，由数到形，画出截面α与平面yoz的交线CD1。同理求出截面α与正方体的表平面的其它交线从而找到截面ACD1。若棱DD1所在直线与截面α的交点分别取在线段DD1或者线段DD1的延长线上，同第三步中的方法可画出截面α如图5、图6。

【点评】思路1的巧妙之处在于利用正三棱锥模型发现截面α的特殊情形，再用面面平行的性质定理构造出其它截面类型。思路2的难点在于截面α以及截面α与正方体的表平面的交线的坐标表示，学生在高中阶段并不熟悉该种表示，需要先铺垫再介绍该方法。

【例3】在方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P、Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E。若P、Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系。

【解析】我们可以从两方面解读条件“BP⊥A1E，BQ⊥A1E”：一方面空间中两条直线垂直可以是异面垂直，也可以是共面垂直；另一方面满足该条件的点P（点Q）不唯一，该题目难点在于求出满足条件的点P（点Q）的集合，下面介绍两种方法。

【思路1】如图9所示，第一步，借助空间想象，点P（点Q）在过点B且与A1E垂直的平面上。第二步，在正方体中画出过点B且与A1E垂直的截面，实则画出截面与正方体的表平面的交线与A1E垂直。第三步，在平面ABCD内过点B画直线与A1E垂直。这是已知结论探索条件的问题，借助分析法，A1E是平面ABCD的斜线，在平面ABCD内画直线与A1E垂直可以转化为在平面ABCD内画直线与A1E在平面ABCD内的射影垂直，所以过点B画直线与AC垂直，即为BD。同理画出交线BN，最终画出截面BDHN。

图9

满足条件“BP⊥A1E，BQ⊥A1E”的点P（点Q）的集合构成平面BDHN，同时P、Q均在平面A1B1C1D1内，所以点P（点Q）在两平面的交线HN上，且问题中两直线PQ与BD平行。

【思路2】如图10所示，以D为原点建立空间直角坐标系，过点B与A1E垂直的平面上任取一点M，设点M（x，y，z），设正方体的棱长为1。由A1E⊥BM，求出过点B与A1E垂直的平面对应的方程为。由联立求得x-y=0，由数到形，画出截面与平面xoy的交线BD；同理画出截面与正方体表平面的其它交线从而找到截面BDHN。