飞行器自适应预设性能姿态控制设计

白奕杰，孙瑞胜，陈 伟，朱 斌

（南京理工大学能源与动力工程学院，南京 210094）

1 引 言

姿态控制系统作为飞行器系统的核心之一，决定了飞行器是否可以成功完成预定的飞行任务。现有飞行器已演变出如四旋翼飞行器、高超声速飞行器、无人巡飞器、变形翼等诸多种类。它们大多具有非线性强、动力学系统复杂与难以精确建模的特性。此外，各类飞行器执行飞行任务的空域更广阔、飞行条件更加复杂，也使得相关问题更加突出。面对这种情况，国内外学者也逐渐探索出多种先进的非线性控制理论，如反馈线性化[1]、反演控制[2]、滑模控制[3]、自抗扰控制[4-5]以及自适应控制[6]方法等。它们可以使所设计的控制器容许甚至补偿系统难以建模的部分和飞行过程中的外部干扰，从而保证系统的稳态跟踪响应。

一般来说，上述非线性控制理论大多可以通过合理的设计使控制器拥有良好的稳态性能，但却难以对系统的瞬态性能进行直接约束。但若系统的瞬态跟踪性能未能被约束在允许的范围内，可能会使飞行器控制系统在达到稳态之前被破坏，而飞行器本身的灵活、机动性一定程度上依赖控制系统的响应速度。为了解决这个问题，希腊学者Bechlioulis 和Rovithakis 于2008年提出了一种新的控制方法，名为预设性能控制（Prescried Performanle lontrol，PPC）方法。该方法通过引入预设性能函数（Prescried Performanle Function，PPF）和误差转换函数来约束系统的瞬态性能与稳态性能[7-8]，并在文献[9]中首次运用这种控制方法设计实现了对单输入单输出系统的控制器设计。根据这种新的控制思想，很多学者进行了深入的研究，推进了预设性能控制的发展。现已有将PPC 方案运用于严格反馈系统[10]、伺服机构][11]、悬架系统[12]等的控制器设计中的研究。此外，文献[13]构建了一种新的切换预设性能函数，改善了单一性能函数在约束特性复杂的对象时面临的局限性问题。

为了解决难以精确建模的问题，前述经典的控制方法通常会使用函数逼近器来对系统未建模部分进行补偿和估计。然而，这在实践中会大大增加计算的复杂度。为此，Bechlioulis 等[14-15]提出了一种无需使用任何函数逼近器的PPC 方案。在此基础上，Sun 等[16]进行了导弹控制系统的设计，降低了系统的复杂度和计算量。

由于PPC 方案中误差转换函数中对数函数的计算有严格的非负性要求。但是，在传统PPC 方案的实际运用中，当预设性能函数收敛至趋近稳态误差边界时，存在潜在的误差越界风险。这种情况下，该条件显然不能被满足。一旦在控制计算中出现负值，所采用的对数函数将不能得到实数，从而引发在奇异性问题，继而导致系统的不稳定[17]。对此，Zhu 等[18]研究了PPC 方法存在的稳态振荡，并提出了一种自适应衰减增益控制方案。此外，难以预测的大扰动易带来短时间内跟踪误差的增大也容易造成误差越界现象。

为了解决上述问题，本文提出一种自适应PPF 的改进方案：跟踪误差越界可以促使PPF 自动地放宽边界，使测量跟踪误差一直被包覆，保证对数函数输入的非负性，控制系统计算过程中的所有结果落在实数域范围内，避免奇异发生。对于提出的改进方案，通过在系统进入稳态后施加大的干扰进行数值仿真验证，以验证方法的正确性与有效性。

2 问题描述

2.1 姿态动力学模型

本文面向一类具有面对称外形的飞行器系统进行姿态控制器设计，其空间姿态动力学模型为：

式中，ϑ、ψ、γ为飞行器姿态角；ωz、ωy、ω x为角速率；惯性矩Jz、Jy、Jz为常数；空气动力矩Mz、My、Mx可表示为以下非线性函数

由于飞行器姿态角的变化会引起其飞行速度、高度的变化，但相较于姿态运动，速度与高度的改变是一个较长的过程。我们可以将这些变化视作一种扰动，再综合建模时未考虑的弹性形变、系统存在的未知动力学部分，以及飞行器飞行过程中受到的外界的干扰。将它们统一等效为外部扰动d。最后，我们得到飞行器姿态动力学系统的一般形式

式中，状态向量定义为：x1=[ϑ,ψ,γ]T，x2=而向量

为方便控制器设计，对所研究的动力学系统做出如下公认假设：

非线性函数fi(·),i=1,2是连续的，且存在未知常数G1,G2＞0，使函数满足不等式此外，认为为严格的正或负。该假设是非线性控制设计中公认的可控条件，为使该假设成立，则对于t＞0 时的控制输入增益必须非零。在不失一般性的前提下，本文假设它们是严格为正的。

2.2 PPC 控制方案

与其他经典的非线性控制方案相比，PPC 的优越性体现在可以同时约束系统的瞬态与稳态性能，这得益于设计的PPF 与误差转换函数。图1为无逼近PPC 方法的基本控制结构。

图1 PPC 控制框图Fig.1 Block diagram of the PPC scheme

从图可1 知，PPC 控制器设计的核心主要为以下三点。

（1）为了同时约束跟踪误差的收敛速度、最大超调和稳态误差，引入一个始终为正且随时间衰减的连续函数作为 PPF 规定误差边界：ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞[7]。式中ρ0，ρ∞，l均为正常数，分别决定了初始误差边界、最终误差边界以及跟踪误差收敛速度下界。

（2）将跟踪误差e转换为归一化

（3）为使跟踪响应满足要求，e应满足不等式为常数。为了避免直接对不等式约束条件进行处理，定义一个光滑且严格递增的函数S[ε]作为误差转换函数，ε∈ℜ为变换误差，将不等式约束条件转换为等效的“无约束”条件。对S[ε]求逆可得转换误差εi

但是按照上述传统无逼近PPC 方案设计的控制器在工程实践中存在一定的问题。

（1）在实际的工程运用中，由于飞行器飞行的外部环境对控制系统的影响的大小与时机都是我们无法预测的，并且飞行器执行机构控制能力有限，一些突然的大扰动可能带来短时间内跟踪误差的增大。

（2）在理想的仿真情况下，我们可以通过选取合适的控制参数来保证系统的跟踪误差在性能函数规定的区间内。但上述情况下，跟踪误差e很可能会突然超出边界，则或导致项不满足非负性的条件，进而造成误差转换中的对数函数在计算过程中产生奇异性。这样，根据转换误差计算得到的控制输入u不能被有效执行，整个系统将会如图2所示，处于不稳定的状态，甚至最终崩溃。

图2 跟踪误差越界Fig.2 Tracking error out of bounds

本文主要的贡献在提出了一种控制改进方案，使上述奇异性问题可以得到解决，同时保证系统的瞬态与稳态控制响应。

3 控制器设计

3.1 自适应PPF

针对2.2 节中提及的跟踪误差越出预定的误差边界导致的奇异性问题，本文提出一种自适应误差边界的方案，对设计的PPF 做出一定的改进，使得PPF 可以在归一化误差λ达到规定阈值、存在越界风险时能够自动重置并刷新初值来适应突变的跟踪误差，避免λ=e/ρ≥或λ=e/ρ≤-的情况出现。以下为提出的自适应PPF 形式

式中，n记录控制系统运行至t时刻，该性能函数重新收敛的次数：当扰动致使归一化误差λ达到阈值，即μ∈ (0,1)时，PPF 将以ρn0为初值重置，n=n+1；tn对应每次PPF 重置的时间点。PPF 第n次重新收敛时的初始边界ρn0是关于该时刻跟踪误差en的比例函数

式中，τ＞1，为常数。

式(8)中，其余控制参数含义与传统PPF 相同。显然，这样归一化误差λ=e/ρn可以保持在边界内。此时，变换误差满足

3.2 无逼近控制器设计

利用3.1 节中给出的改进预设性能函数，以及文献[14]中提出的无逼近PPC 控制方案的思想，可以得到飞行器姿态动力学系统PPC 制器的设计过程。

步骤1：定义姿态角跟踪误差

然后，我们利用误差转换函数将姿态角误差转换为无约束形式

通过比例形式得到虚拟中间控制指令（角速率）

式中，k1＞0为控制增益。

步骤2：定义角速率跟踪误差

与步骤1 相似，可以得到转换后角速率跟踪误差

然后可以得到最终的控制输入

式中，k2＞0为控制增益。

3.3 稳定性分析

本文提出的控制系统稳定性可总结如下。

定理1：对于非线性系统（3），我们设计了无逼近控制（14），其初始条件满足ei(0)＜δρi(0)，则对于控制系统中的所有信号在每一阶段t∈[tn,tn+1),n=0,1,2,...内都有界，且输出跟踪误差ei(t)可保持在式(6)规定的集合内。

证明：考虑式(4)、(9)和(12)可定义任一阶段t∈[tn,tn+1),n=1,2,...内转换误差λi(t)导数为

接下来，根据式(12)、(15)可以计算得到转换误差的时间导数为

定义Lyapunov 函数Vi=0.5εi2，对其求导

由于fi(·) 连续，可由中值定理得到

基于式(20)、(21)可得：

4 仿真及分析

4.1 仿真条件

为了验证本文提出的改进PPC 方案，我们将在模型(1)的基础上进行谐波输入轨迹信号跟踪的数值仿真验证。

假设系统(1)中每组方程均在时刻t=5 s 开始受到阶跃形式的外部扰动[19]:d1x=

表1 PPC 控制方案参数Table 1 PPC control scheme parameters

4.2 仿真结果

仿真结果如图3～14 所示，图3～5 给出了各姿态角的响应曲线。图6～8 为姿态角速率的响应曲线，图9～11 为相应的跟踪误差曲线及预设的误差边界。从图9～11 可以看出，在t=4 s时，性能函数已逐渐收敛至稳态，但由于在t=5 s 时刻加入的干扰d，造成了误差超越原始误差边界的情况，促使传统PPC 方案下，控制回路运算过程中归一化误差λ=e/ρ≥或，对数函数计算得复数，控制系统遭到了破坏，姿态控制系统失效，而提出的改进方案中预设性能函数通过重启的方式扩展了边界，避免了奇异性的发生，系统可以在保证预设性能的前提下正常运行。

图3 俯仰角ϑ 响应曲线Fig.3 Tracking response of angleϑ

图4 偏航角ψ 响应曲线Fig.4 Tracking response of angleψ

图5 滚转角γ 响应曲线Fig.5 Tracking response of angle γ

图6 ωz 响应曲线Fig.6 Tracking response of angular rateωz

图7 ωy 响应曲线Fig.7 Tracking response of angular rate ωy

图8 ωx 响应曲线Fig.8 Tracking response of angular rateωx

同时，在图9～11 中还可以看出，在误差越界传统方法崩溃之前，两种方案得到的误差跟踪曲线完全重合，由图12～14 展示的舵偏信号也是重合的，这就证明本文提出的改进方案在奇异性问题出现之前，可以保证不影响原始的设计性能。

图9 ωz 跟踪误差曲线Fig.9 Tracking error ofωz

图10 ωy 跟踪误差曲线Fig.10 Tracking error of ωy

图11 ωx 跟踪误差曲线Fig.11 Tracking error of ωx

图12 δz 曲线Fig.12 Control inputδz

图13 δy 曲线Fig.13 Control inputδy

图14 δx 曲线Fig.14 Control inputδx

5 结 论

本文通过一种无逼近PPC 控制方法，研究了具有未知动态和扰动的非线性面对称飞行器系统的三通道姿态控制器设计问题。为了解决传统PPC 方案在工程运用中可能存在的因跟踪误差越界引起的奇异性问题，提出一种自适应预设性能函数改进方案。数值仿真结果验证了改进PPC 方案的正确性和有效性，该方法可以在跟踪误差越界的情况下保持系统的稳定运行，同时满足初始设计的跟踪性能要求。