一类具有导数型非线性记忆项和变系数耗散的广义Tricomi方程全局解的非存在性

欧阳柏平

(广州华商学院 数据科学学院, 广州 511300)

0 引 言

考虑如下导数型非线性记忆项和变系数耗散的广义Tricomi方程全局解的非存在性问题：

(1)

其中

Γ为第二类Euler积分,p>1,ε>0,l≥0, Δ是Laplace算子,μ为非负实数.目前具有如下形式的Tricomi方程解的爆破等性态研究受到广泛关注[1-5]:

(2)

当1pcrit时, 其存在全局解[6-11].文献[12]讨论了如下衰减型波动方程解的爆破问题:

(4)

证明了当

时其Cauchy问题解的爆破, 并得到了生命跨度估计：

其中k∈[0,1),μ为非负数.文献[13]研究了更一般的Euler-Poisson-Darboux-Tricomi方程解的爆破问题：

(5)

给出了问题(5)中具有衰减性的阻尼项和质量项对解爆破的影响, 同时得到了其Cauchy问题解的生命跨度估计, 其中p>1,ε>0,l>-1, Δ是Laplace算子,μ,ν2均为非负实数.

本文采用基于Bessel方程和迭代方法以及相关的泛函分析方法, 首先考虑问题(5)中当ν=0、 右边项为导数型非线性记忆项时解的爆破问题, 主要研究导数型非线性记忆项对其Cauchy问题爆破解的非局部影响以及变系数对其爆破解的影响.根据实际应用, 在非局部影响中, 本文侧重于越近的信息影响越大, 故其影响因子取为(t-s)-γ.其次, 由于问题(4)中t-2k(k∈[0,1)), 故文献[12]研究了衰减情形下其Cauchy问题解的爆破问题.本文考虑t2l(l≥0), 即增长情形下问题(1)解的爆破问题.并考虑对解的非局部影响.即通过构造若干泛函, 用基本的泛函分析技巧, 先给出该泛函需要满足的基本不等式框架, 再利用迭代方法得到其解的爆破及其生命跨度估计.记

1 主要结果

定义1假设(u0,u1)∈H1(n)×L2(n).若对于u∈C([1,T),H1(n))∩C1([1,T),L2(n))并且n), 有

应用分部积分, 进一步化简式(6)为

本文主要结果如下：

定理1设(u0,u1)∈H1(n)×L2(n)为非负紧致函数, 支集包含于半径为R(R>0)的球BR上, 1

p2((l+1)(n-1)+μ-l)-p(2(1-γ)+μ+3+(l+1)(n-4))-2(l+1)=0.

2 定理1的证明

本文主要采用迭代的思路完成定理1的证明.为此需先构造若干能量泛函U(t),F(t),G(t), 然后利用这些能量泛函得到问题(1)的迭代框架和第一下界, 进而得到本文结果.设

其中Φ=Φ(s,x)是下列方程的正解:

Φss+μs-2Φ=s2lΔΦ+μs-1Φs.

(11)

式(7)中, 取φ=φ(s,x)=1, 其中(s,x)∈[1,t]×n且|x|≤R+Al(s), 可推出

由式(8)和式(12), 有

(13)

对式(13)关于t求导数, 进一步化简得

(14)

积分式(14), 有

借助已知条件和Hölder不等式, 可得

(16)

其中c0=c0(n,p,l)>0.结合式(15),(16), 得到U(t)的迭代框架.即

其中c1>0.

下面研究U(t)的第一下界.为此, 首先给出正光滑函数[14]：

Ψ(x)有下列性质：

取Φ=Φ(s,x)=λ(s)Ψ(x), 结合式(11), 易得

λ″+μs-2λ=s2lλ+μs-1λ′.

(18)

做变换η=wl(s), 化简式(18)有

(19)

再做变换

化简整理得

(20)

λ(s)=s(μ+1)/2Km(wl(s)).

(21)

由此得方程(11)的正解为

Φ(s,x)=λ(s)Ψ(x)=s(μ+1)/2Km(wl(s))Ψ(x).

(22)

由波方程的有限传播速度可知,u具有紧支集, 因此Φ的支集条件可以去掉.将式(7)中Φ替换φ, 并注意到式(9), 可得

记

下面证明I>0.

由式(21), 有

λ′(t)=μt(μ-1)/2Km(wl(t))-t(1+μ)/2+lKm+1(wl(t)).

(24)

由第二类Bessel函数关系式

得

λ′(1)=μKm(wl(1))-Km+1(wl(1)),

μλ(1)-λ′(1)=Km+1(wl(1))>0,

λ(1)=Km(wl(1))>0.

故I>0.

重写式(23), 得

(25)

(26)

对式(26)积分, 并化简可得

(27)

(28)

因此, 存在t0>1,m1,m2>0,t≥t0, 使得

m1e-2wl(t)tμ-l≤λ2(s)≤m2e-2wl(t)tμ-l.

(29)

由式(27),(29), 得

其中c1为正数,t≥2t0.

由Φ(s,x),F(t),G(t)的定义, 有

(31)

结合式(23),(31), 得

(32)

对式(32)关于t求导数, 得

利用式(18), 进一步化简式(33)得

(34)

(35)

对式(35)进行积分, 有

结合式(29),(36), 当t≥2t0时, 有

其中c2,c3>0.

对式(10)泛函G(t), 并应用Hölder不等式, 有

(38)

(39)

又由Φ的渐近性[14], 可得

其中C0,C1,C2>0.

将式(40)代入式(39), 并化简整理得

其中C3>0,t≥2t0.联立式(15),(41), 对于t≥t1,t1=2t0, 可推出U(t)的第一下界, 即

取

重写式(42), 得

U(t)≥K0t-α0(t-t1)σ0.

(43)

下面由式(17)的迭代框架及式(43)的第一下界, 再利用对U(t)进行迭代完成定理1的证明.令

U(t)≥Kjt-αj(t-Ljt1)σj,

(44)

其中{Kj}j∈′,{αj}j∈′,{σj}j∈为非负实序列,t≥Ljt1.序列{Lj}j∈定义为

联立式(17),(44), 有

其中t≥Lj+1t1.式(45)表明式(44)对j+1成立.同时, 由式(45)得

由式(47),(48)可推出αj,σj的表达式, 即

(50)

由式(50), 易知

(51)

又

(52)

下面结合式(50)～(52)及式(46)估计Kj, 即

(53)

对式(53)两边取对数, 并结合递推关系, 可得

取j0∈, 使得

于是, 当j≥j0时, 由式(54)可推出

(55)

其中E=E(u0,u1,n,p,l,μ,γ)>0.

由对数的性质和式(55), 易得

Kj≥exp{pjlog(Eεp)}.

(56)

由Lj和L定义, 当j→∞时有Lj→L.从而下式成立:

U(t)≥Kjt-αj(t-Lt1)σj.

(57)

联立式(49),(50)及(56),(57), 对于j≥j0,t≥t1, 有

式(59)对数函数中t的指数为

取10.

令ε0=ε0(u0,u1,n,p,l,μ,γ)>0, 使得

于是当j→∞时, 可推出式(59)中U(t)的下界爆破.从而可得问题(1)不存在全局解.同时, 可得问题(1)的另一个结果, 即u的生命跨度估计为