一类二阶迭代微分方程周期问题解的存在性

康 慧 君

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

迭代微分方程是一类泛函微分方程, 有很强的实际应用背景, 目前已得到广泛关注[1-16]. 例如: 古典的Euler几何问题可导出方程

x(t)x′(t)=x(c+x(t));

Poisson几何问题可导出方程

x(x(t))+x(x(t))x′(x′(t))-x(x(t+x(t)x′(t)))=1.

Cooke[1]提出了生物学中的重要方程

x′(t)+ax(t-h(t,x(t)))=F(t),

该方程与遗传现象有关. 此外, 迭代微分方程在人口模型[2]、 日用品的价格波动模型[3]和血细胞的生产模型[4]中均有重要应用. 特别地, Eder[5]用压缩映射原理讨论了一阶迭代微分方程

x′(t)=x(x(t)),x(t0)=t0,t0∈[-1,1]

x′(t)=f(x(x(t))),x(0)=0

局部解的存在性. Kaufmann[7]用Schauder不动点定理研究了二阶迭代微分方程

x″(t)=f(t,x(t),x(x(t)),t∈[a,b]

(1)

在满足如下边界条件之一下解的存在唯一性:

x(a)=a,x(b)=b;

(2)

x(a)=b,x(b)=a.

(3)

其中f: [a,b]××→是连续函数.

设f满足如下条件:

(H1) 存在常数K,L>0, 使得

(H2) 存在M,N>0, 使得

|f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2)|≤M|u1-u2|+N|v1-v2|,t∈[a,b],u1,u2,v1,v2∈.

文献[7]得到如下结果:

定理1[7]若f满足条件(H1), 则问题(1)-(2)或问题(1)-(3)存在解, 若f满足条件(H2), 则问题(1)-(2)或问题(1)-(3)存在唯一解.

上述结论是在f有界情形下考虑解的存在唯一性, 本文考虑当f无界时, 二阶迭代微分方程周期边值问题是否也可建立解的存在唯一性结果, 即考虑一类二阶迭代微分方程周期边值问题

(4)

解的存在性.

本文总假设:

(H3)f: [0,T]×2→是连续函数.

1 引 理

下面用极大值原理说明单调迭代方法的正确性.

引理1设x∈E=C([0,T],)∩C2([0,T],), 若存在M>0,N>0, 使得下列条件成立：

1) -x″(t)+Mx(t)+Nx(x(t))≥0,t∈[0,T];

2)x(0)=x(T),x′(0)≤x′(T);

则∀t∈[0,T],x(t)≥0.

证明: 反设x(t)<0,t∈[0,T].考虑如下两种情形.

情形1) 设x(t)≤0,x(t)不恒为0,t∈[0,T].在该情形下, 可得x(0)=x(T),x′(0)≤x′(T),x″(t)≤0,t∈[0,T], 因此在区间[0,T]上x(t)=K<0, 其中K是常数.从而

0≤-x″(t)+Mx(t)+Nx(x(t))=(M+N)K,

与K<0矛盾.

情形2) 存在t1,t2∈[0,T], 使得x(t1)>0,x(t2)<0.此时, 又有如下两种情形.

①x(0)=x(T)>0.此时, 存在t3∈(0,T), 使得

x″(t)≤(M+N)x(ξ),t∈[0,t3).

(5)

对式(5)两边从s(ξ

-x′(s)≤(t3-s)(M+N)x(ξ),

(6)

x″(t)≤(M+N)x(ξ),t∈[0,T].

(7)

当ξ>t3时, 对式(7)两边从t3(t3

x′(s)≤(s-t3)(M+N)x(ξ),

(8)

引理2设x∈E=C([0,T],)∩C2([0,T],), 若存在M>0,N>0, 使得下列条件成立：

1) -x″(t)+Mx(t)+Nx(x(t))≥0,t∈[0,T];

2)x(0)=x(T),x′(0)≤x′(T)；

则∀t∈[0,T],x(t)≥0.

证明: 反设x(t)<0,t∈[0,T].考虑如下两种情形.

情形1) 设x(t)≤0,x(t)不恒为0,t∈[0,T].证明如引理1中情形1)的证明, 故略.

情形2) 存在t1,t2∈[0,T], 使得x(t1)>0,x(t2)<0.此时, 又有如下两种情形.

①x(0)=x(T)>0.此时, 存在t3∈(0,T), 使得

-x″(t)+Mx(t)≥-Nx(ξ),t∈[0,t3).

x′(t)=emt(v′(t)+mv(t)),x″(t)=emt(v″(t)+2mv′(t)+m2v(t)).

因此-v″(t)-2mv′(t)≥-Ne-mtx(ξ),t∈[0,t3), 即

(e2mtv′(t))′≤Nemtx(ξ),t∈[0,t3).

(9)

对式(9)两边从s(ξ

v′(t3)=e-mt3x′(t3)-mv(t3)=-mv(t3)>0,

可得

即

(10)

对式(10)两边从ξ到t3积分, 得

即

而

从而

与条件3)矛盾.

②x(0)=x(T)≤0.此时, 存在t3∈[0,T], 使得

-x″(t)+Mx(t)≥Nx(ξ),t∈[0,T].

当ξ

(e2mtv′(t))′≤Nemtx(ξ),t∈[0,T].

(11)

对式(11)两边从t3(t3

即

(12)

对式(12)两边从t3到ξ积分, 得

即

而

从而

与条件3)矛盾.证毕.

2 主要结果

为在问题(4)中利用单调迭代方法, 考虑如下线性周期边值问题：

(13)

其中σ∈C([0,T],).

若存在α∈E满足

则α称为问题(13)的一个下解； 反之, 若存在β∈E满足

则β称为问题(13)的一个上解.

对于α,β∈E, 如果α(t)≤β(t),t∈[0,T], 则有如下表示:

[α,β]={x∈E:α≤x≤β}.

定理2假设问题(13)存在一个下解α和一个上解β, 满足α≤β, 且引理1中条件3)成立, 则问题(13)有唯一解x∈[α,β].

证明: 考虑周期边值问题

(14)

其中

易验证p: [0,T]×→是连续的.

定义算子Φ:E→E为

(15)

其中

m=M1/2.则算子Φ:E→E是全连续算子.

由于-Np(t,x(x(t)))+σ(t)在[0,T]上有界, 则Φ在E上也有界.根据Schauder不动点定理知, 存在算子Φ的一个不动点x, 使得x∈E是问题(14)的一个解.

下面证明x∈[α,β].首先证明x≥α.设u(t)=x(t)-α(t).由于p(t,x(x(t)))-α(x(t))≤max{u(x(t)),0},t∈[0,T], 则由下解的定义可得:

(i) -u″(t)+Mu(t)+Nmax{u(x(t)),0}≥0,t∈[0,T];

(ii)x(0)=x(T),x′(0)≤x′(T);

反设x(t)<α(t),t∈[0,T].考虑如下两种情形.

情形1) 设u(t)≤0,u(t)不恒为0,t∈[0,T].此时可得u(0)=u(T),u(0)′≤u′(T),u″(t)≤0,t∈[0,T], 因此在区间[0,T]上u(t)=K<0, 其中K是常数.从而

0≤-u″(t)+Mu(t)+Nmax{u(x(t)),0}=MK,

与K<0矛盾.

情形2) 存在t1,t2∈[0,T], 使得u(t1)>0,u(t2)<0.此时, 又有如下两种情形.

u″(t)≤(M+N)u(ξ),t∈[0,t3).

u″(t)≤(M+N)u(ξ),t∈[0,T].

若存在α∈E满足

则α称为问题(4)的一个下解； 反之, 若存在β∈E满足

则β称为问题(4)的一个上解.

定理3假设存在问题(4)的一个上解α和一个下解β, 使得在[0,T]上α≤β.并存在常数M>0,N>0, 满足下列条件：

1)f(t,u2,v2)-f(t,u1,v1)≥-M(u2-u1)-N(v2-v1),t∈[0,T],α(t)≤u1≤u2≤β(t),α(x(t))≤v1≤v2≤β(x(t));

则存在序列{αn}非减、 {βn}非增, 使得其在[α,β]上单调一致收敛于问题(4)的极值解, 其中α0=α,β0=β.

证明: 对于η∈[α,β], 考虑如下问题：

σ(t)=ση(t)=f(t,η(t),η(x(t)))+Mη(t)+Nη(x(t)).

(16)

由于η∈[α,β], 由条件1)和上下解的定义知

-β″(t)+Mβ(t)+Nβ(x(t))≥ση(t).

因此,α和β分别是问题(16)的一个上解和下解.根据定理2, 定义算子A: [α,β]→[α,β],Aη是问题(16)的唯一解.由引理1可知A是[α,β]上的单调增算子, 即η1,η2∈[α,β],η1≤η2,Aη1≤Aη2.

定义序列{αn},{βn}, 其中αn+1=Aαn,βn+1=Aβn,α0=α,β0=β.则有

α0=α≤α1≤…≤αn≤βn≤…≤β0=β.

在[0,T]上单调一致有界, 从而α*(t),β*(t)是问题(4)的解.

进一步, 若x∈[α,β]是问题式(4)的解, 则由归纳法可知,αn(t)≤x(t)≤βn(t),t∈[0,T],n=0,1,2,…, 因此x∈[α*,β*].于是α*(t),β*(t)分别是问题(4)在[α,β]上的极小值解和极大值解.证毕.