2022年全国新高考Ⅰ卷第7题解法研究

季佳雯 李昌成

(1.江苏省海门中学 226199；2.新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

比较大小的高考题比比皆是，通常考查指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数的大小.一般可以通过函数性质、特殊点、特殊值牵线搭桥，并适度放缩就可以判定大小.但是近两年高考、模考中比较大小的试题风格发生了翻天覆地的变化，难度陡然上升，甚至作为压轴题出现，很多考生见到考题茫然失措.2022年全国新高考Ⅰ卷第7题就是一个典型例子，下面研究它的解法.

1 题目再现

A.a

C.c

2 分析题目

从a=0.1e0.1，c=-ln0.9看，本题应该是考查利用导数比较大小.但从三个数的形式看，很难发现它们之间的深层次的具体关系,所以我们应打破常规，不能单一考虑某个知识、某个技巧，希望速战速决，这已经不现实.只有综合考虑高中数学的知识，在数据形式上做足文章，还可以联系相关高数知识，多方联合作战也许能突破这个难题.

3 解法探究

策略1 以0.1为媒介，联系三个数，作差构造函数.

=ln0.1+lne0.1-ln0.1+ln(1-0.1)

=0.1+ln(1-0.1)，

所以构造函数p(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],

故p(x)在(0,0.1] 上单调递减.

可得p(0.1)

即lna-lnb<0.所以a

因为a-c=0.1e0.1+ln0.9=0.1e0.1+ln(1-0.1)，

所以构造函数m(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1].

令n(x)=(1-x2)ex-1，

所以n′(x)=(1-x2-2x)ex>0.

所以n(x)在(0,0.1]上单调递增.

即m′(x)>0.

所以m(x)在(0,0.1] 上单调递增.

可得n(x)>n(0)>0.

可得m(0.1)>m(0)=0.

即a-c>0.所以a>c.

故c

评注本解法充分利用了0.1，将其上升为自变量，构造出高中生利用导数能够处理的函数.通过两次作差比较，判定出三者的大小.这是高考中最常见的处理的办法.

解析2 首先研究正数a,b.

所以令h(x)=(1-x)ex.则h′(x)=-xex.

那么h(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减.所以h(x)≤h(0)=1.

所以a

其次研究b,c.

所以构造函数m(x)=ln(1+x)-x(x>0)，

于是m(x)在(0，+∞)上单调递减.

所以m(x)

因此b>c.

最后研究a,c.以下同解法1.

评注本解法三次构造函数，过程稍长，但是函数思维符合学生的认知，在解题过程中真实存在.对于自变量的认定，灵活多变，这也是函数的一个特征.对于培养学生的创新意识大有裨益.

策略3 利用教材结论，辅以切线放缩和对数均值关系.

引理1ex>1+x(x≠0).

引理2 lnx≤x-1(x>0)，当且仅当x=1时等号成立.

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.

于是f(x)≤f(1)=0.

所以lnx≤x-1(x>0)，当且仅当x=1时等号成立.

故f(t)在(1,+∞)上单调递减.

所以f(t)

解析3由引理1，得

a=0.1e0.1>0.1(0.1+1)=0.11.

综上c

评注本解法利用了教材习题结论以及教材外的二级结论.我们在教学中要高度重视教材上的习题，这是我们学习的基本要求，也是知识衍生的基础.

策略4 高数助力，用泰勒展开式估算.

对于一些参加过奥赛培训的学生而言，他们知道泰勒展开式可以近似计算一些常见函数值：

……

所以a=0.1e0.1≈0.1×1.105=0.1105.

所以c

评注本解法可以感觉到高等数学视角下的高考题显得那么自然，那么“渺小”.高考要为高校选拔优秀人才，所以有一定的高数基础在考试中受益也是符合人才选拔要求的，也是有利于学生在大学的深造和发展.

4 解后反思

高中数学知识点是有限的，但是由有限的知识点发掘出的创新命题点是无限的.只有养成自觉思考、深入研究、善于总结的习惯，才能把握问题的本质，才能提高学生的数学核心素养，才能在高考中展示自己的能力.这类考题有以下几个关键点：一是通过观察、运算、拆分找到数据的链接点(某个常数)；二是合理构造函数，函数并不唯一，能解决问题的都是科学的；三是积累一些结论，包括高中教材二级结论、简单高等数学基础等；四是需要坚强的自信心，遇事沉着冷静，培养适应新环境，处理新问题的能力.