把握图象特征 巧解“三次”问题

徐维武 朱贤良

(安徽省枞阳县教育教学研究室 246700)

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中数学中的一类重要函数，可与函数、导数、方程、不等式等诸多知识点交汇融合.以三次函数为载体的试题已成为高考命题中的热点与亮点，主要涉及三次函数的图象、单调性、对称性、零点、最值与值域等类型.掌握有关三次函数图象规律，有利于指导我们高效且有趣地进行解题.

1 三次函数性质

性质1 (单调性)导函数f′(x)=3ax2+2bx+c，其零点的判别式Δ=4(b2-3ac).

(1)当a>0时,若Δ≤0，则f′(x)≥0，故f(x)在R上单调递增；

若Δ>0，则方程f′(x)=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1

x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f '(x)+-+f(x)↗↘↗

(2)当a<0时,若Δ≤0，则f′(x)≤0，故f(x)在R上单调递减；

若Δ>0，则方程f′(x)=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1

x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f '(x)-+-f(x)↘↗↘

性质2 (极值)由性质1可知，当a>0且Δ>0时，f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2；

当a<0且Δ>0时，f(x)有一个极小值点x1和一个极大值点x2；

当Δ≤0时，f(x)无极值点.

性质4 (零点)由性质1，2，3可知，f(x)有一个零点

性质6 (图象)根据上述性质，三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象有四种类型(如图1，2，3，4).

图1 图2 图3 图4

把握住三次函数的图象特征，我们可以由此来轻松求解高考中“三次”问题.

2 三次函数性质应用

2.1 图象问题

例1(2015年高考安徽卷·文10)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图5所示，则下列结论正确的是( ).

图5

A.a>0,b<0,c>0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c>0,d>0

D.a>0,b>0,c>0,d<0

解析由三次函数的图象可知，a>0，且f′(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不等正根x1,x2，故

从而b<0，c>0.又d=f(0)>0，故正确选项为A.

点评三次函数的导数为二次函数，本题在求解时要注意借助二次方程中根与系数的关系来判定b与c的符号.

2.2 单调性问题

例2(2013年高考全国Ⅱ卷·理10文11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( ).

A.∃x0∈R，f(x0)=0

B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形

C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减

D.若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0

解析显然A,B，D项均正确；对于C项，若x0是f(x)=x3+ax2+bx+c的极小值点，则f(x)的大致图象如图1所示，f(x)在区间(-∞,x0)上先递增后递减，即C项错误.

点评三次函数的单调性分为“增”“减”“增减增”“减增减”四种情形，只需结合其图象即可得出正确的判断.

2.3 极值问题

例3(2021年高考全国乙卷·理10文12)设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则( ).

A.abC.aba2

解析令f(x)=0，解得x=a或x=b，即x=a与x=b是f(x)的两个零点.

(1)当a>0时，由三次函数的性质可知，f(x)的单调性为“增减增”，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如图6所示，故0a2；

图6 图7

(2)当a<0时，由三次函数的性质可知，f(x)的单调性为“减增减”，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如图7所示，故ba2.

综上，ab>a2，即正确选项为D.

点评本题在绘制三次函数的图象时，需要注意x=a既是函数f(x)的极大值点，又是f(x)的零点，同时a的正负情况还决定了函数的单调性.

例4(2013年高考安徽卷·理10)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

解析因为f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，则方程f′(x)=3x2+2ax+b=0的两根为x1,x2，故方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0等价于f(x)=x1或f(x)=x2.

因此，问题转化为判定直线y=x1，y=x2与曲线y=f(x)交点的个数.

(1)若x1>x2，注意到f(x1)=x1，故f(x)的大致图象如图8所示，此时直线y=x1，y=x2与曲线y=f(x)共有三个交点；

图8 图9

(2)若x1

综上，不论x1,x2的大小关系如何，关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根个数都是3，故选A.

点评本题中三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c的单调性为“增减增”，分类讨论的标准在于区分x1,x2中哪个是极大值点、哪个是极小值点.

2.4 零点问题

例5(2015年高考安徽卷·理15)设x3+ax+b=0，其中a,b均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是____(写出所有正确条件的编号).

①a=-3,b=-3；②a=-3,b=2；③a=-3,b>2；④a=0,b=2；⑤a=1,b=2.

解析设函数f(x)=x3+ax+b，因为仅有一个零点，故其图象有三种可能：

(1)当f′(x)=3x2+a的零点的判别式Δ=-12a≤0时，f(x)在R上单调递增，恰好一个零点，故④⑤正确；

综上，使得该三次方程仅有一个实根的条件是①③④⑤.

点评本题主要考查三次函数y=x3+ax+b的零点个数，结合三次函数的图象特征即可轻松破解.

例6(2012年高考全国大纲卷·理10)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于( ).

A.-2或2 B.-9或3

C.-1或1 D.-3或1

解析由y=x3-3x+c得y′=3x2-3，其导数的零点为x=±1，此即y=x3-3x+c的极值点.

因为函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，即有两个零点，故y极大=y|x=-1=2+c=0或y极小=y|x=1=-2+c=0，即c=-2或2.

点评三次函数恰有两个零点，有两种情形：极大值为零或极小值为零，解题时要注意考虑全面.

例7(2020年高考浙江卷·9)已知a,b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0，则( ).

A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

解析设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)，显然其零点为x=a，x=b与x=2a+b.

注意到ab≠0，故b≠2a+b.下面就零点是两个还是三个来展开讨论，并绘制函数图象：

(1)若三个零点两两不相等，则由x≥0时恒有f(x)≥0可知f(x)的图象如图10所示，其三个零点a<0，b<0，2a+b<0；

图10 图11 图12

(2)若a=b，则f(x)=(x-a)2(x-3a)，符合题意的图象如图11所示，此时a=b<0；

(3)若a=2a+b，则a+b=0，故有f(x)=(x-a)2(x+a)，符合题意的图象如图12所示，此时a>0，b<0.

综上，b<0，正确选项为C.

点评本题中，当函数f(x)恰有两个零点时，要注意x=a为非变号零点，这对绘制函数图象至关重要.