基于传递矩阵法的电主轴建模与实验分析

王小东，王会良，2，苏建新，2

(1.河南科技大学机电工程学院，河南洛阳 471003；2.机械装备先进制造河南省协同创新中心，河南洛阳 471003)

0 前言

随着“中国制造2025”计划的顺利展开，国家对机械制造行业提出了更高的要求，相应的零件加工设备水平也随之提高。电主轴是一种新型的机床加工传动设备，它摒弃了皮带、齿轮等传统的传动方式，直接将电动机与传动主轴通过结构改进耦合在一起，大大缩短了传动链，将电动机的动能直接传递给主轴，提高了传动精度。

但在实际加工过程中，由于电主轴系统整体处于高速旋转中，受到不可避免因素如：主轴自身不平衡量、轴承的摩擦以及加工磨削力的影响，转动体会在各方向产生微小的振动位移偏量。这对齿轮类零件的磨削修齿质量影响非常大，在工件的被加工表面上会以条痕或布纹痕显现出来，最终影响整体零件的装配质量。因此，研究磨齿机电主轴的振动特性很有必要。

目前针对数控加工用电主轴的振动问题研究方向主要有主轴的振动幅度、固有频率、临界转速等。国内外学者在这些方面开展了深入的研究并取得了可观的研究成果。在整体运动方面，刘志松等在立式加工中心的基础上对电主轴动态误差进行了测试；崔方圆等建立了电主轴静态的运动误差动力学模型。零部件方面，高峰等人建立了电主轴转子偏心模型,通过推理得到了转子偏心振动方程；白向娟等针对振动切削过程中电主轴轴端的振动问题，研究了轴承弹性支撑单元的传递矩阵。以上对电主轴动态特性的研究大多数是基于转动主轴的仿真分析和零部件结构仿真优化两方面，而对于主轴-转子、轴承系统整体数学模型的分析尚不够深入。

为此，本文作者针对YK7350B型摆线轮成型磨齿机展开研究，利用实际参数对磨削电主轴系统进行数学建模和有限元分析，得到理论固有频率和振型，最后通过实验测量实际加工状态下的振动数据。这在实际生产中具有很重要的应用需求，也为后续的振动原理分析、电主轴结构优化提供了参考。

1 电主轴系统的整体建模

1.1 电主轴结构分析

磨削电主轴的结构如图1所示，主轴直接安装在电动机内部，与转子耦合在一起，定子固定在电主轴外壳内部。主轴前端伸出长度用来配合不同作用的砂轮以及安装配重环。4个滚动轴承起支撑作用以及减小转动摩擦力；冷却水套负责控制温度，减小转动产生的热能。

图1 磨削电主轴三维截面图

由于电主轴系统内部结构较为复杂，因此需对其结构进行简化，选取其中对数学模型参数有影响的结构进行分析。针对此问题，作者将系统简化为主轴-转子、滚珠轴承3个部件作为理论建模的基础。

1.2 传递矩阵法电主轴建模

传递矩阵法目前是计算转动体结构的振动特性较为通用的方法。它能将复杂的多自由度系统分解为单自由度系统或基本的质量和弹性元件。在各子系统的端面两两相互连接，通过单元传递矩阵从系统的起点推送至终点位置，利用边界条件求解矩阵方程。

主轴-转子系统是固定在一起的质量均匀的实体，按传递矩阵理论可将系统简化为个无体积的等厚刚性圆盘和-1个等质量的弹性轴段，每两个圆盘用弹性轴段隔开并分别与轴段的两个端面进行连接，由于轴段也是无体积的理想状态，所以将轴段的质量平均分配在两端的截面上使其固定，轴段的抗弯刚度的值为截面处的平均值。

轴承在系统中起到固定作用，在实际的磨削加工中，受转速变化的影响，其刚度呈非线性变化，应作为弹性支承进行分析。所以在此作者将轴承简化为一个受力弹簧，其径向刚度为，角刚度为，如图2所示。

图2 电主轴结构简化模型

将离散得到的电主轴模型简化为总质量集成模型，取带弹性支承的第(=1,2,…,-1)个圆盘和第个轴段进行分析。由经典动力学可知，典型单元的传递矩阵为

=

(1)

其中轴段的单元传递矩阵为

(2)

刚性圆盘的单元传递矩阵为

(3)

其中：为单元轴段长度，mm；为材料弹性模量，N/mm；为截面惯性力矩，mm；为进动角速度，r/min；为节点处质量，kg；为自转速度，r/min；为直径转动惯量，为极转动惯量， kg/mm；与剪切弹性模量和截面形状有关，查阅相关资料后经过推算，取0.886；在此模型中圆盘没有支承，和都为0。

对于中间的转子和主轴耦合轴段，将转子自身所受的重力转化为内部轴段所受的力，并使轴段中的各个圆盘都受到同样大小的力以达到受力平衡，设力的大小为′。取转子轴段中任意典型单元进行动力学分析，则转子轴段中刚性圆盘的传递矩阵为

(4)

其对应的轴段的单元传递矩阵为

(5)

其总的传递矩阵方程为

(6)

其整个轴系的频率方程为

(7)

1.3 传递矩阵的验证

通过前面传递矩阵公式可以看出当为定值时，可求得整个系统的多阶频率和振型分布。在此设定=1，此时可求得轴系方程的固有频率，进而算出临界转速。通过查阅电主轴相关型号以及测量相关数据，得出电主轴系统部分参数如表1所示。

表1 电主轴系统参数

利用MATLAB有限元软件进行矩阵计算和分析，输入结构参数和频率范围，约定边界条件。将电主轴系统离散为14个节点，转子受约束产生的载荷和变形作用在中间分段，节点5和节点9两端作用力分别为′2，如图3所示。

图3 电主轴离散有限元模型

将离散模型的左端面作为计算开始的初始截面。按规定顺序连乘，计算整体的传递矩阵。

(8)

则整体计算为

(9)

为计算方便将初始截面设置为主轴的左端面，从标号1开始(见图2)，利用MATLAB软件进行整体的矩阵运算，选择合适的频率范围以及边界约束条件，将电主轴参数代入最终方程可计算出电主轴的固有频率约为180.6 Hz。通过转换公式：

=60

(10)

算出此电主轴的临界转速为10 836 r/min。后续会对此结果进行进一步的研究和验证。

2 电主轴系统的有限元分析

利用三维绘图和ANSYS软件，首先将电主轴模型导入ANSYS进行布尔和运算，目的是对模型进行简化。通过添加约束将转子和主轴固定在一起，对主轴、转子以及轴承分别施加接触关系、约束以及对应的材料属性，最后对整个电主轴系统进行四面体单元网格处理，确定单元数4 243个、节点数8 628个。有限元模型如图4所示。

图4 电主轴简化结构有限元模型

选用迭代算法分析该模型的模态振型，截取前5阶振动的振型图及对应的振动频率图(见图5)进行分析。

从图5—图6可以看出：1～3阶电主轴左端面的变形量都很小，较为稳定，满足了动静刚度的设计需求。模态一阶振动频率188.64 Hz与第1节数学计算固有频率结果180.6 Hz大致相同，验证了传递矩阵理论建模结果的正确性。存在误差的原因在于有限元分析时的约束和接触分析与实际情况还是有所偏差。1、2阶模态频率值相同，振型表现为正交，视为一对重根。4阶及以上由于频率过高，变形量较大，电主轴结构实际已损坏。同时此临界转速=60×188.64=11 318 r/min相对于磨齿机正常工作下的转速(小于5 000 r/min)来说差距较大，说明实际加工中能够避开固有频率振动区，保证了加工过程中的安全。

图5 电主轴5阶模态振型

图6 电主轴前5阶振动频率

3 实验验证及结果分析

3.1 实验平台搭建

以YK7350型数控摆线轮磨齿机为实验平台，测试其电主轴在正常加工环境下的振动情况。其他硬件设施包含：M+P振动测仪一台、数据采集卡以及若干带线路的振动加速度传感器。实验测点的位置分布如图7所示。

图7 实际磨削实验现场图片

作者分别对磨齿机整机在、方向的振动特性进行分析，方向有电主轴专用固定架，在实际加工中轴向窜动可以忽略不计。对两个方向采集到的不同时域振动信号和频域信号进行分析。

3.2 数据采集处理及分析

利用MATLAB7.1软件编写傅里叶函数变换程序，对采集到的电主轴振动频率的成分进行处理，得到、方向上的频谱图。分别进行了两种工况下的测量以提高实验结果的准确性，工况一设定电主轴转速为2 500 r/min，工况二设为3 000 r/min，加工磨削深度都为0.003 mm，如图8所示。

图8 工况一下机床振动频谱

图9 工况二下机床振动频谱

从图8(a)(b)对比可以看出：在频率为189 Hz时，振动加速度都出现了最大峰值。该频率与前两章计算出的固有频率接近，同时在频率40 Hz处也出现了峰值，与实验工作频率(=2 500/60=42 Hz)十分接近，说明该处的峰值与电主轴的工作频率有一定的关联，方向的整体振动与方向相比较大。

工况二中同样是在189 Hz处产生最大峰值，可以判断189 Hz可能已接近电主轴的固有频率值。同时在51 Hz处也产生与工况一类似的情况(=3 000/60=50 Hz)，数值较工况一有所增加，对方向的振动影响也较为明显。其后高阶频率的振动加速度峰值可能与电主轴固定倍频有关。

4 结论

(1)通过对电主轴数学建模、有限元分析以及实际实验，完成了该款电主轴的一系列校核，得出其固有频率接近189 Hz。在实际加工中要使运行转速对应的频率尽量远离固有频率，保证加工的安全性。

(2)通过两次实验对比，得出电主轴的振动加速度与实际工作频率有较大的联系，原因是在该频率处砂轮与工件接触，受到不断变化的磨削力的影响，振幅也会随着工作频率的增加而不断增加。

(3)通过对频谱图进行分析，得到固有频率处的振动加速度值最大，最大为0.004 92。同一条件下方向的整体振动要比方向大，原因是受到较大惯性转动力矩及砂轮配重环重力的影响，为后续电主轴精度的提高提供了理论支撑。