一类多调和方程边值问题的可解性研究

周子豪，钟金标

（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）

1 问题的提出

多调和方程边值问题的研究，是椭圆型方程组边值问题研究的重要内容之一。文献[1]研究了问题

的广义解，并在Sobolev空间中利用嵌入定理等理论，证明了广义解在一定条件下的存在性。针对问题

文献[2]利用多层S位势，推出了问题（2）的唯一积分表示解，其中，D⊂R2是一个有界的Lipschitz区域。文献[3-5]亦对多调和方程边值问题解的存在性进行了研究。相比于双调和方程或者其他方程而言，多调和方程边值问题的研究具有一般性，问题考察的领域更广泛。因此，本文考察多调和方程边值问题：

的可解性，这里Ω⊂Rn是一个有界光滑区域。引入新变量

本文利用不动点定理和上下解方法，证明了问题（3）存在古典正解。文献[1-2]中研究的问题和所给的条件较为复杂，不具有一般性。本文所讨论问题的非线性项与文献[1]中研究的问题（1）和文献[2]中讨论的问题（2）所给条件不同，解决问题的方法也不同。

2 相关引理

本文主要使用了以下引理。

引理2设条件(H1)成立，若问题（3）存在解，则解非负。

证明通过变量转换将问题（3）转化为问题（4）。由条件(H1)知-Δu2m=f(x,u1)≥0，即-Δu2m≥0。由引理1 可知，即u2m≥0。于是可以依次推出-Δu2m-1=u2m≥0，-Δu2m-2=u2m-1≥0，-Δu2m-3=u2m-2≥0，…，-Δu1=u2≥0。由引理1可知uk≥0(k=1,2,3,…,2m)，所以问题（4）的解非负，从而问题（3）的解非负。

引理3[7]（Leray-Schauder 不动点定理）设T是Banach 空间B到自身的紧映射，假设存在一个常数M，使得‖x‖B＜M对所有满足x=σTx，x∈B，σ∈[0,1]的x成立，则T有一个不动点。

3 多调和方程边值问题解的存在性

定理1设条件(H4)成立，则对σ∈[0,1]而言，向量方程

只有零解。

证明问题（8）等价于

在问题（9）中，对第一个方程两边乘以u1，第二个方程两边乘以u2，第三个方程两边乘以u3，…，第2m个方程两边乘以u2m，并均在Ω上积分，得

利用Green恒等式和Cauchy不等式，得

再利用Poincare不等式，得

定理2设条件(H1)、(H2)、(H4)成立，则问题（5）存在正解，即问题（3）存在正解。

证明设U=TV是问题

4 多调和方程边值问题解的唯一性

非线性偏微分方程边值问题解的唯一性很难确定，下面针对m=1这个特殊情形，讨论问题（3）解的唯一性。当m=1时，问题（3）可转换成

定理3设条件(H3)成立，则问题（14）最多只有一个解。

证明设u和v是问题（14）的两个解，则分别成立

将上述两个方程相减，得到-Δ2(u-v)=f(x,u)-f(x,v)。将此式两边同时乘以(u-v)，并在Ω上积分，得

从而u=v，即问题（14）最多只有一个解。

5 应用举例

综上所述，本文所讨论的问题（3）是较为一般的多调和方程边值问题，非线性项f(x,u)要求满足的条件也比较普通，从而其所讨论的范围比较广，下面举例说明。

例1考察问题

解的存在性，其中Ω⊂Rn是一个有界光滑区域，并且-Δ 算子在区域Ω中0-Dirichlet边值问题的第一特征值λ1＞1。

解此例中f(x,u)=，易验证f(x,u)满足条件(H1)和(H2)，且m(x)=因此，根据定理2可知问题（15）存在正解。

例2考察问题

解的唯一性。

解此例中f(x,u)=u2，易验证f(x,u)满足条件(H3)。因此，根据定理3可知问题（16）最多只有一个解。