高中数学抽象函数解题策略探究

杨 阳

（甘肃省灵台县第一中学，甘肃 灵台 744400）

抽象函数不仅是整个高中数学教学中的一条重要脉络，同时，也是为后续数学学习打下基础的关键环节，并且能够考查学生对于函数的理解能力和应用能力。在高中数学中，抽象函数不仅仅是专项教学内容，也是比较分散、零散的数学内容，教学难度比较大，学生在理解与解题上难度都比较大。高中生要想快速、高效解决抽象函数题型，需要选择科学、合理的解题方法，才能更精准地解题，提高解题的正确率。因此，经常在高考试题中出现很多学生在面对抽象函数时都会觉得束手无策，甚至会在未解题时就已经出现了畏惧心理，这对于数学学习是不利的。因此，对于高中数学抽象函数解题策略进行探究是有积极意义的。

一、类比模型能够促使解题思路更加具体

在高中数学抽象函数的解题过程中，可以借助类比模型进行解题。什么是类比模型呢？高中数学课堂教学中，数学教师根据题干中已知的数量关系，进行大胆地猜想，进一步形成抽象函数的原始模型，将抽象函数的原始模型作为目标猜想。在经过分析模型函数所具备的性质之后，对求解的问题的相关解题方法进行探索、分析。尤其是在求解抽象函数类型的选择题或者填空题的时候，学生通过借助类比模型进行推理作答，帮助他们在答题过程中提升了自身的逻辑思维能力，对于最后的结果起到一定的验证作用。

例如，已知f(x)是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)。如果f(1)=2，那么f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=（）

A.-50 B.0 C.2 D.50

从这个题目中得知，可设f(x)=2sin(π/2)，做出f(x)在定义域内图像，如下图所示：

基于这个f(x)的图像可以得知，f(x)的一个周期为4，

因此，f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2，所以，得出最后的答案为2，基于以上，本道题选择C。

对于抽象函数图像中双对称问题，一般可以使用正弦函数和余弦函数的图像以及性质为基本数学模型，求解抽象函数的数学问题，将抽象的函数问题转化成为具体的问题，从特殊问题转化成为一般问题的数学思想。使用联想类比思想，促使学生能够更好地解决抽象函数问题。

例如，某函数f(x)是定义域为R的函数，对于任意实数x和y都满足f(x+y)=f(x)·f(y)，并且在x1≠x2的时候，f(x1)≠f(x2)。求解f(0)的值是多少？并对函数f(x)的奇偶性进行判断，说明理由。

当实数x和实数y都等于0 的时候，那么f(0)=[f(0)+f(0)]=2f(0)，所以f(0)的值为0 或者为1。

当f(0) 的值为 0 的时候，由于f(x+y)=f(x)·f(y)，假设x为0，y为1，那么f(0)=0.

但是这并不满足已知条件在x1≠x2的时候，f(x1)≠f(x2)。

因此，f(0)≠0。

由此可知，f(0)=1，此函数正好满足指数函数图像中点（0,1）的特点。

又因为f(0)≠0，函数的定义域又为R，

因此，f(x)不是奇函数。

而且在x≠0 的时候，-x≠x，f(-x)≠f(x)，

所以，f(x)不是偶函数。

由此可得，f(x)不具备奇偶性。

可见该模型的结构特征满足于指数函数，所以学生在解决抽象函数问题的过程中，可以通过类比指数函数的性质轻松得到最后的答案。另如，函数f(xy)=f(x)+f(y)，这一数学模型的基本结构特征满足对数函数的基本性质，学生们在解决这一类型的抽象函数时，可以通过类比对数函数的性质，求得最后的答案。

基于以上分析可知，使用类比思想解决抽象函数问题的时候，学生需要了解各种函数的基本性质特征，便于深度挖掘题干中的隐藏信息，使复杂抽象问题简单化。

二、树立数学意识，使用配方法解决抽象函数问题

数学中抽象函数问题的解决需要建立相应的数学意识，同时和相应的数学思维也存在一定的关联性。不能简单地依靠数学公式的套用，还需要学会举一反三，灵活、自由地使用数学公式、定理，做好数学公式的多变处理，通过使用扎实的基础知识解决更多的抽象函数问题。而这其中，学生通过配方法的运用，灵活自由地对高中数学中抽象函数问题进行解决。

配方法指的是将数学式子通过定向变形，配成完全平方的形式，这种数学解题技巧一般都是通过找寻题目中的已知条件、隐藏条件，探讨二者其中的联系，通过化繁为简，有效降低抽象函数难度，提升学生函数解题率。如何使用配方法、在什么样的数学条件之下使用配方法？需要做好相应的分析、预测，通过科学、合理地分析尝试，运用添项等方法完成配方。通常情况之下，配方法一般适用于恒等变形以及二次方程以及二次不等式之中，有的平移、交换问题也可以使用配方法。配方法的使用是按照完全平方公式，得到最后基本配方形式，一般在抽象函数相关习题解题之中使用的比较多，基于其他的数学知识、基本定理、基本性质，通过使用配方法，使问题顺利得到解决。

三、合理赋值，尝试转化

在高中数学课堂教学过程中，抽象函数是比较重要的教学内容，学生在学习抽象函数的时候，要合理地把握函数的定义域、单调性、周期等基本性质，了解基本性质之后，将简单的数值代入，以此来解决抽象函数的难点问题。赋值法指的是已知函数满足所有性质，也就是一般性条件，赋予比较特殊的数值，从而得出抽象函数最终需要满足的基本性质。高中数学教师在给学生们讲解抽象函数知识的时候，可使用赋值法解决抽象函数问题。

例如，已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，而且f(3)=0，对任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(6)成立，那么f(2007)=（）。

A.2006 B.2007 C.2008 D.0

从这个题目中可以了解到：f(-3)=0，取x=-3 代入f(x+6)=f(x)+f(6)，得出f(6)=0，f(x+6)=f(x)，周期为6，从而就得到最后的答案，那么这道题就选择D。

再比如，已知定义域为R 的函数f(x)满足f（f(x)-x2+x）=f(x)-x2+x，假设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求得f(x)的解析表达式。满足f（x0）=x0的实数x0唯一，由f（f(x)-x2+x）=f(x)-x2+x可以解：

对任意x∈R，有f(x)-x2+x=x0，

在上式之中，令x=x0有f（x0）-x02+x0=x0。

又f（x0）=x0得x0-x02=0，

所以，x0=0 或者x0=1。

如果x0=0，方程f(x)=x有两个根，所以x0≠0；

如果x0=1，那么f(x)=x2-x+1。

最后验证这一函数，满足题干已知条件。

四、给变量赋予特殊值，简化函数

在解决抽象函数问题时，首先要了解函数的概念和性质，众所周知，函数指的是在一个变化过程中，发生变化的量为变量，而有些数值是不会随着变量而改变的，称为常量，通常变量设置为x，而y 会随着x 值的变化而产生变化。并且函数具有对称性、周期性、单调性、奇偶性等性质，通过对于题目的观察，进行细致地分析，并且给变量赋予特殊值，从而达到简化函数的目的，将已知条件进行转化，解决函数问题。

例如，如果奇函数 f(x)(x∈R)，满足 f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(1)等于多少？这时候，给变量赋予特殊值，则解题步骤如下：

对于f(x+2)=f(x)+f(2)，令x=-1，得出f=(-1)+f(2),也就是f(1)=-f(1)+1，得出2f(1)=1，所以f(1)=1/2。

五、根据函数的单调性，穿脱符号

在抽象函数中，“穿”指的是加上函数符号，“脱”则指的是去掉函数符号，由于函数本身具有单调性。因此，在解决函数问题时，为了能够有效简化函数的难度，加上函数符号或者去掉函数符号，从而达到解决问题的目的。

例如，已知函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足对于任意的正实数x、y，都有f(x·y)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，解不等式f(x)＞f（x-2）+3。利用函数的单调性，解题步骤如下：

f(x)＞f（x-2）即f(x)＞f（x-2）+f(8)，即f(x)＞f[8(x-2)],由于函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，则x＞8(x-2)，也就是 x＜16/7，依据题目中的内容，有x＞0，x-2＞0，从而得出不等式的解集为（2，16/7）。

六、化函数为原始模型，展开思路

由于抽象函数本身具有一定的抽象性，直接解答题目相对来说比较困难。为了能够简化问题，可以采用模型化策略，也就是结合题目给出的关系进行猜想，生成函数的原始模型，再与函数的性质相结合，对于解题的方式进行探索。当遇到选择题或者填空题时可以利用这种方法解决，遇到解答题无法直接用模型函数解决的，也可以帮助学生展开思路，并且在进行验证时也可以使用这一方法。

例如，设定义在R 上的函数f(x)对于任意x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=-2，当x＞0 时，f(x)＜0，判断f(x)的奇偶性，并加以证明。题目中说明了对于任意x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，可以以此为基础猜想抽象函数f(x)生成的原始模型，f(x)=kx，由于x＞0 时，f(x)＜0，可以得知k＜0。因此，这个问题可以进行大胆地猜想，函数f(x)是奇函数。虽然这只是结合题目进行的猜想，并不能作为证明，但是当有了猜想时，也就有了解题思路，在此基础上进行解答，能够有效简化函数的难度。解题步骤如下：

令x=y=0,可以得出f(0)=0，令y=-x，则f(0)=f(-x)+f(x)，即f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。

七、明确抽象函数的定义域与值域，展开解题

通常来说，函数的定义域本质上是为了表述一个抽象函数自身的变量取值的范围，尤其对于一个函数从实际的问题初决定时，就需要能够根据实际的情况，确定自变量的取值范围。但是，当题目没有明确地在一个函数解析式中指出其定义域，那么针对整个解析式来说，定义域能够帮助这个函数有意义的自变量取值范围。

例如，当题目给出已知（1,3）是函数y＝f（x3）这一定义域时，要求y＝f（x）的定义域，那么，在解题时，就可以将（1,3）是函数y＝f（x3）的定义域，即1≤x≤3，由此可知，1≤x3≤27，这样能够直接得出，函数f（x）的定义域就是（1,27）。

而一个函数由内部的所有函数值组成的值域，函数的值域则是由定义域以及对应法展开确定，这时不论使用任何解题的方式，都需要提高对于定义域以及对应法则的重视。在展开函数值解题的过程中，对题目进行性质上的分析，最后再将特殊值代入特定的变量之中，以此完成对于数值的计算。

而在开展x＝y＝0 的解题当中，当已知f（0）＝f（0）·f（0）＝f2（0），所以f（0）＝0，就需要能够根据题意有f（x）＝f（x+0）＝f（x）·f（0）＝0，这时，继续解题就需要能够将任意的实数x 都成立，折旧和已知条件存在x2≠x1，使f（x2）≠f（x1），矛盾了，所以，f（0）≠0，即是f（0）＝1。又因为f（x+y）＝f（x）·f（y）对于任意实数x，y 都能够成立，所以，对于任意的实数x 都有：f（x）等于f（x/2+x/2）＝f（x/2）··f（x/2）＝f2（x/2）≥0，现在就只需要反证法证明f（x）≠0 对于任意实数x 都能够成立。

如若存在实数x0，使f（x0）＝0，那么对于f（0）＝f（x0—x0）＝f（x0）·f（-x0）等于0，这就与f（0）≠0 之间产生矛盾，可以证得f（x）≠0 对于任意的实数x 都能够成立，所以，f（x）＞0。综上所述，函数的f（x）的值域为（0，+∞）。

八、结语

综上所述，在高中数学抽象函数教学中，学生可以运用赋值法、构造模型法、数形结合法等相应的解题方法，能够更妥善地解决抽象函数问题，提升解题的正确效率。除此之外，高中数学教师还应该不断追踪抽象函数图像等命题角度，尊重命题的基本规律，帮助学生们解决抽象函数问题。在学习抽象函数的时候，高中生就需要培养自身的思维意识，掌握多种解题方法，举一反三，才能在面对不同抽象函数问题的时候灵活自由地解题。不仅如此，在开展实际的教学活动中，教师应深入观察学生的学习情况，采用多媒体等教学方式，帮助学生提升自身的思维能力以及培养学生的协作式学习，要从实际出发，充分运用已有的教学工具，帮助学生提高解答抽象函数的能力以及提升学生解题的质量，让学生能够在正确方向的解题思路上不断前行。