基于外汇汇率的期权定价及其实证分析

李文汉, 钟 盈, 吕桂稳

(1,河北地质大学 数理教学部,河北 石家庄 050031; 2.石家庄铁道大学 数理系,河北 石家庄 050043)

0 引言

随着经济全球化的发展，在国与国之间的经济、金融贸易中，外汇汇率扮演着越来越重要的角色。由于汇率具有随机波动性，因此风险常常存在。作为金融衍生品的重要组成部分，汇率期权常用来进行套期保值，规避汇率风险，如何给出汇率的外汇期权的价格逐渐成为一个热点问题。

在外汇期权定价研究中， German和Kolhage[1]基于Black-Scholes模型，首次给出了外汇期权的G-K模型，并得到了欧式外汇汇率期权的定价公式。他们假定外币的收益率和波动率二者不是随机的，而是给定的常数。随后， Niklas等[2]对 G-K模型进行了推广，提出了一个修正的方法，深入研究了外汇期权的定价问题。薄立军等[3]、Swishchuket等[4]在马尔科夫机制转换(Markov-modulated)条件下，研究了具有跳-扩散过程的外汇期权的定价问题。考虑到实证分析，郑振龙等[5]基于汇率的历史数据，采用全样本和分区样本的实证分析，研究了有关外汇期权的隐含波动率报价问题，并提取了相关数据，进行了跨国资产配置方面的研究。胡潇予[6]通过设定案例，利用外汇期权实现风险对冲，稳定外贸交易成本，提出了解决方案。

亚式期权又称为平均期权，一般而言此类期权价格相对便宜，有利于套期保值，已经成为金融衍生品市场比较活跃的金融产品之一。从理论上讲，可以分成算术平均亚式期权和几何平均亚式期权。但是，算术平均亚式期权没有明确的表达式，而几何平均亚式期权具有明确的解析表达式。同时，按照执行价格可以分为固定执行价格和浮动执行价格。在此，本文主要讨论按照固定执行价格执行的外汇汇率的几何平均亚式期权的定价问题。

在实证分析中，选取了美元/人民币真实的历史数据进行分析，研究了本文给出的外汇幂期权、外汇几何平均亚式期权的定价问题，并讨论这些期权的一些性质。

1 模型假设与期权定价

1.1 模型假设

假设Ft表示t时刻以国内货币计价的一单位外币，即为t时刻的即期汇率，满足如下的随机微分方程:

(1)

(2)

解式(2)得

(3)

1.2 基于外汇汇率的幂期权定价

假定α，K3，K0和K4是常数，并且在期权的到期日T，基于外汇汇率的幂期权的收益函数为:

(4)

其中K0>0,K4≥K3>0,I{·}表示示性函数。

性质若外汇汇率的幂期权的收益函数满足式(4)，则

(1)若K0>K4，则C3(T)=0；

下面给出外汇汇率的幂期权定价公式。

定理 1如果外汇汇率的微分方程为式(2)，且其幂期权的在执行时刻T收益函数满足式(4)。在目前时刻t，若外汇汇率的期权价格表示为C1(t,T),则:

(i)若K0>K4，则C1(t,T)=0;

(ii)若K3≤K0≤K4，则

(5)

其中

Φ(·)表示标准正态分布的分布函数。

(iii)若K0≤K3，则

(6)

其中

注:结合定理1中式 (5)，可知：

(I)若K3≤K0,K4=∞和α=1，则式(5)是Black-Scholes(简记“BS”)模型定价公式。

(II)若K3≤K0，K4=∞和α≠1，则式(5)是基于BS模型的幂期权(表示为 “PBS”)定价公式。

1.3 基于外汇汇率的几何平均亚式期权定价

(7)

在期权的到期日T，假定按照固定执行价格执行的外汇汇率的几何平均亚式期权的收益函数为

(8)

其中K1是执行价格。

定理2如果外汇汇率的微分方程为式(2)，按照固定执行价格执行的外汇汇率的几何平均亚式期权在时刻T收益函数满足式 (8)。在目前时刻t，若外汇汇率的期权价格表示为C2(t,T)，则:

(9)

2 实证分析

2.1 期权价格过程

本部分重点讨论期权定价问题。在本小节中，假定定理1 中的基于外汇汇率的幂期权(取α=1，简记为：FP)、定理2中的外汇汇率的几何平均亚式期权(简记为:AS)以及Black-Scholes 外汇期权定价模型(简记为： BS)的执行价格均为相同的值，经过编写程序进行运算，分别得到了三类期权的价格，期权价格见表1。

表1 期权的价格

由表1可知，在同等条件下，尽管定理1中外汇汇率幂期权的收益函数限定了汇率的范围，可是外汇汇率的几何平均亚式期权价格还是最低，BS模型下期权价格最高。这个结论说明，在幂期权的收益函数中，设定汇率在某一范围变化后，所求期权价格介于以上二者期权价格之间，因此，构造给定示性函数的外汇幂期权具有一定的实际意义。

在外汇市场，汇率一般是在一定的范围内波动，否则，会给本国经济带来严重的不良后果。基于此，在实际生活中，任何国家不会放任本币的汇率过大或者过小，那么对以汇率为标的资产的金融衍生品进行相关理论研究时，特别对外汇期权进行定价时，把汇率设定在某一执行区间更加合理。同时，构造汇率的幂函数的形式来研究幂期权，投资风险会随着幂指数的增大而增强，因此可以通过选取不同的幂指数来调节投资风险。当然，当幂指数为1，并且没有增加执行区间时，就是BS模型下期权价格，显然表1中FP模型下的期权价格较低。另外，研究汇率的几何平均亚式期权定价过程中，通过构造外汇汇率的几何平均表达式可以看出，其波动率变小了。总之，相比以上两类期权(α=1)的价格，几何平均亚式期权的价格较低，事实也是如此。

2.2隐含波动率(Implied Volatility)是把所求期权的价格代入期权定价模型中反算出来的，反映的是对标的资产价格波动率的预期。事实上，在金融衍生品市场上期权的隐含波动率是与期权的执行价格和到期时间密切相关的。对于相同的到期时间，隐含波动率随着期权的执行价格而变动。隐含波动率越大，说明存在的风险也越大。

本部分主要讨论外汇汇率幂期权关于幂指数α的隐含波动率。由以上假定K4=7.3，分别取α=1.1,1.2,1.3，通过编写程序，得到了有关的隐含波动率图像(见图2)。在图2中，隐含波动率随着执行价格的增加而减小，并且标的资产(汇率)的幂指数α值越大，波动率变化越大，反应了风险越大，这个结论与实际相一致。

3 结论

本文给出具有连续扩散过程的外汇汇率的微分方程，在此基础上得到了一类新形式下具有外汇汇率的示性函数的幂期权和几何平均亚式期权的价格显示解，并对美元/人民币汇率的历史数据进行了统计分析。在此基础上，讨论了基于美元/人民币汇率的两类期权价格过程，分析了隐含波动率。本文只是研究了具有连续性扩散过程外汇汇率的期权定价问题，模型还可以进一步扩展到具有跳扩散过程情形的微分方程，以及利率和波动率具有随机性的外汇汇率微分方程形式。