广义对偶犹豫模糊软集及其在决策中的应用
2022-09-13江立辉陈华友马成芸
江立辉, 陈华友, 马成芸
(1.合肥学院 人工智能与大数据学院,安徽 合肥 230601; 2.安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230039)
0 引言
实际生活中存在着大量不确定信息所表述的问题，模糊集理论作为解决这类问题的有效工具得到了广泛的关注，尤其是在与软集理论结合后，关于模糊软集的研究产生了大量的成果。Hu等人在直觉模糊软集基础上提出了一种新的相似度来确定专家权重，同时利用直觉模糊软集Bonferroni平均算子对评价信息进行集成，建立了一种用于医学诊断的群体决策模型[1]。Chen等人依据决策者认知有限的特点，利用Bonferroni平均算子进行信息集结，提出了一种基于模糊软集的群决策方法[2]。Murat等人将毕达哥拉斯模糊集和软集相结合，提出了毕达哥拉斯模糊软集的概念[3]。Zhang和Shu将软集与对偶犹豫模糊集相融合，提出了对偶犹豫模糊软集的概念，并研究其运算及性质[4]。考虑到专家在进行决策时，对于不同属性会有不同偏好，Majumdar等人对传统软集进行了拓展，补充了属性偏好这一参数，提出了广义模糊软集的概念，并将其应用于疾病诊断问题中[5]。相关系数作为衡量变量间相关程度的指标常被用于决策判断，在模糊集和软集中都有大量的研究[6～9]。Ye[6]和Tyagi[7]在犹豫模糊集相关系数基础上提出了对偶犹豫模糊集的相关系数。Das等人提出了犹豫模糊软集和区间值犹豫模糊软集的相关系数[8]。汤静提出了对偶犹豫模糊集加权相关系数的概念[9]。
基于上述分析，考虑到人们在实际决策过程中，往往会注意到不同属性间的差异，为其赋予不同的权重。同时我们还注意到，对偶犹豫模糊集因为增加了非隶属犹豫函数，能够更加准确的表达实际问题中的数据信息。因此，本文将广义模糊软集和对偶犹豫模糊集相结合，提出了广义对偶犹豫模糊软集的概念，研究其相关运算及性质。此外，本文还提出了广义对偶犹豫模糊软集相关系数的概念，给出了基于广义对偶犹豫模糊软集的多属性决策方法，同时结合医疗卫生资源优化配置问题对其进行了实证分析。
1 基本概念
定义1设U是一个初始论域，E是一个参数集，P(U)表示U的幂集，A⊆E，定义映射F:A→P(U)，则称序对(F,A)是软论域(U,E)上的软集。
定义2[5]设U是一个初始论域，E是一个参数集，P(U)表示U的幂集，F:A→P(U)是一个映射，μλ是E的模糊子集，即μλ:A→[0,1]。定义映射Fλ:A→P(U)×[0,1]，对∀e∈A，有Fλ(e)=(F(e),μλ(e))。其中F(e)∈P,μλ(e)∈[0,1]，则称Fλ是软论域(U,E)上的广义模糊软集。
定义3[11]设X是一个非空集合，X上的对偶犹豫模糊集(Dual Hesitant Fuzzy Set，简记为DHFS)定义为:D={
其中hD(x)⊂[0,1]是x的隶属度可能值的集合，g(x)⊂[0,1]是x的非隶属度可能值的集合。为方便书写，将对偶犹豫模糊元(h(xi),g(xi))记为d(xi)。
定义4[11]设X是一个非空集合，定义空值对偶犹豫模糊集、满值对偶犹豫模糊集、完全未知集和无意义集如下：
空值对偶犹豫模糊集：D={<0,1>}；
满值对偶犹豫模糊集：D={<1,0>}；
完全未知集(所有可能集)：D=[0,1]；
无意义集：D=φ(h=φ,g=φ)。
通常情况下不同对偶犹豫模糊集的对偶犹豫模糊元的值是不同的，也是无序的。记X是非空集合,D1={
(2) 对于对偶犹豫模糊集D1和D2，当l(hD1(x))≠l(hD2(x)),l(gD1(x))≠l(gD2(x))时，可以通个增加对偶犹豫模糊元中元素的个数来使得D1和D2达到同样的长度。依据乐观原则，增加元素中的最大值，即l(hD1(x)) 定义5[11]设X是一个非空集合，D，D1，D2是对偶犹豫模糊集，定义对偶犹豫模糊集的交、并、补运算，如下： 定义6[6]设D是初始论域X={x1,x2,…,xn}上的对偶犹豫模糊集，D={xi,hD(xi),gD(x)>|x∈X}，则D的信息能量为: 其中ki=k(hD(xi))和li=l(gD(xi))分别表示hD(xi)和gD(xi)中元素的个数。 定义7[6]设D1、D2是初始论域X={x1,x2,…,xn}上两个不同的对偶犹豫模糊集，D1={ 对∀xi∈X有ki=max{k(hD1(xi)),k(hD2(xi))},li=max{l(gD1(xi)),l(gD2(xi))},其中k(hD1(xi))、k(hD2(xi))分别表示hD1(xi)和hD2(xi)中元素的个数，l(gD1(xi))、l(gD2(xi))分别代表gD1(xi)和gD2(xi)中元素的个数。 易得:(1)CDHFS(D,D)=EDHFS(D)； (2)CDHFS(D1,D2)=CHDFS(D2,D1)。 定义8[6]设D1、D2是初始论域X={x1,x2,…,xn}上两个不同的对偶犹豫模糊集，D1={ u3/<{0.6,0.8},{0.1,0.2}>},<0.5,0.4>)) u3/<{0.6,0.8},{0.1,0.2}>},<0.7,0.2>) u3/<{0.4,0.5},{0.1,0.3,0.5}>},<0.6,0.3>) (1)A⊆B； u3/<{0.6,0.7},{0.1,0.3}>},<0.4,0.6>) u3/<{0.6,0.7},{0.1,0.3}>},<0.5,0.4>) (1) (2) (3) (1)ρGDHFSS1(α,β)=ρGDHFSS1(β,α) (2)0≤ρGDHFSS1(α,β)≤1 (3)若α=β，则ρGDHFSS1(α,β)=1。 此外，还可以给出相关系数的另一个定义。 (4) 其具有定理7同样的性质。 步骤1根据实际情形，将理想方案α和备选方案βk用广义对偶犹豫模糊软集表示； 步骤2利用公式(3)或(4)计算每个方案与理想方案之间的相关系数； 步骤3根据相关系数的大小排序，选择最优方案。 表1 比照样本A*的评估结果 表2 医院A1的评估结果 表3 医院A2的评估结果 表4 医院A3的评估结果 表5 医院A4的评估结果 步骤1如表1所示，专家给出的比照样本； 步骤2根据表2～5，利用公式(3)计算其与比照样本之间的相关系数分别为 ρGDHFSS1(A*,A1)=0.8523 步骤3对结果进行排序得A3≻A1≻A2≻A4。 根据排序结果，我们发现医院A3在优化资源配置和加强资源投入与产出收益之间的平衡方面所采取的措施最为有效。 软集和模糊集都是用来处理不确定性问题的数学工具，近年来这两种理论的融合引起越来越多学者的关注。广义模糊软集由于考虑了不同参数对决策对象的影响，相比于传统的模糊软集更加符合实际情况。对偶犹豫模糊集由于兼顾了犹豫性以及模糊信息表述时的隶属度和非隶属，在实际问题中能够更加准确的表示数据信息。因此，本文将对偶犹豫模糊集引入软集理论，定义了广义对偶犹豫模糊软集的概念，拓展了软集理论。模糊集理论内容多、范围广，包括直觉模糊集、概率模糊集、二型模糊集、粗糙模糊集、Vague集、区间值模糊集等多种类别。具体到本文涉及的犹豫模糊集，则包括区间直觉犹豫模糊集、对偶犹豫模糊集、区间值犹豫模糊集、毕达哥拉斯犹豫模糊集、灰色犹豫模糊集等多种形式。因此我们可以在犹豫模糊集与广义模糊软集的融合问题上进一步开展研究，例如，考虑区间数与对偶犹豫模糊数的结合，并将其引入到软集理论中，构建广义区间数对偶犹豫模糊软集，延拓软集理论，为实际应用奠定理论基础。 此外，本文在决策模型构建上仅考虑了相关系数这一个指标，后继可以进一步研究广义对偶犹豫模糊软集的距离测度、相似度量等相关性指标，构建基于这些指标的多属性决策模型，结合医疗卫生资源配置、水资源调度、教育资源分配、供应商评价等实际问题开展应用研究。
2 广义对偶犹豫模糊软集
3 广义对偶犹豫模糊软集的相关系数
4 基于广义对偶犹豫模糊软集的多属性决策方法及实证分析
ρGDHFSS1(A*,A2)=0.8156
ρGDHFSS1(A*,A3)=0.9947
ρGDHFSS1(A*,A4)=0.59255 小结
