基于遗传算法的锥齿轮传动参数寻优研究

叶友东，范武胜，王小岗

(安徽理工大学机械工程学院，安徽 淮南 232001)

遗传算法是一种基于自然选择和群体进化制在全局进行搜索寻优的高效参数优化方法。由于遗传算法对非线性不连续的多峰函数和不能建立解析表达式的优化问题有很强的通用性，对目标函数具有全局优化性和稳健性，并且与神经网络、模糊推理等学科相互渗透，它在工程优化设计的许多领域获得了广泛的应用。

锥齿轮用于任意两相交轴之间的传动，其轮齿分布在截锥体上，齿形从大端到小端逐渐变小。锥齿轮传动的传统设计方法通常是按照齿面接触疲劳强度设计计算得出小齿轮分度圆直径，再结合初选齿数计算得到模数，最后校核其齿根弯曲强度[1]。这种设计方法虽能保证齿轮参数满足设计要求，但往往强度过于富裕，导致锥齿轮传动中心距较大、外廓尺寸偏大。文章基于遗传算法理论和锥齿轮传动的特点，在锥齿轮传动满足传动参数和承载能力的条件下，选择齿轮副参数使其整体尺寸(体积)最小，通过实例验证，利用MATLAB软件系统中的遗传算法工具箱(GA Toolbox)对锥齿轮传动进行优化计算，结果验证了遗传算法在锥齿轮传动优化设计中的有效性和正确性。

1 遗传算法基本步骤和流程

遗传算法的基本步骤是：首先对可行域中的点进行编码，然后从中随机选择一些编码作为进化起点的第一代编码组，并计算每一个解(编码)的目标函数值(编码的适应度)[2]。按照选择机制从编码组中挑选一些编码作为繁殖过程前的编码样本。使用遗传算法提供的交叉和变异算子对挑选出的样本进行计算，交叉算子随机交换两个编码的某些位，变异算子则对某个编码的某一位进行反转，产生新一代编码组。重复上述选择和繁殖过程，直至进化的代数超过预先的给定值，输出最后一代的编码组作为优化问题的最优解。

图1 遗传算法的基本流程

2 锥齿轮传动优化设计的数学建模

2.1 目标函数建立

在直齿锥齿轮传动设计中，人们总希望设计出体积小、重量轻及承载能力大的齿轮传动。因此在满足承载能力的条件下，以最小体积为优化目标，故目标函数可由式(1)表示。

2.2 设计变量确定

从锥齿轮副的体积计算公式可知，影响其大小的独立参数有小锥齿轮齿数z1、锥齿轮的大端模数m和齿宽系数φR，因此设计变量可由式(2)确定。

X=[z1,m,φR]T=[x1,x2,x3]T

(2)

2.3 约束条件建立

1)齿面接触疲劳强度条件[3]237

(3)

2)齿根弯曲疲劳强度条件[3]237

g2(X)=[σF]-

(4)

3)边界条件约束

小锥齿轮不根切齿数条件：z1max≥z1≥17cosδ1；齿轮副模数限制条件：mmax≥m≥2；齿轮副齿宽系数限制条件：0.35≥φR≥0.25。

2.4 模糊优化数学模型建立

1)模糊约束的处理 本文所讨论的直齿锥齿轮传动的优化数学模型，是一个具有普通模糊约束的非对称模糊优化问题，可采用最优水平截集法[5]。将各模糊约束条件转化为普通约束，这样直齿锥齿轮传动模糊优化问题，就可等价于最优水平截集上的非模糊优化问题。

2)适应度函数的构造 由上可知，该优化问题属于一个三维的非线性约束优化问题。将三维约束非线性规划问题构造外点惩罚函数形式的适应度函数，适应度函数构造如式(5)所示。

Val(X)=f(X)+p(X)

(5)

式中：X代表染色体，f(X)是优化目标函数，p(X)是惩罚项。

考虑到该锥齿轮传动为闭式传动，根据齿轮传动设计计算准则，应以齿面接触疲劳强度作为主要计算依据，再取校核其齿根弯曲疲劳强度，因此，在适应度函数的惩罚项因子中，取齿面接触疲劳强度条件的惩罚项因子为r1=1，而齿根弯曲强度条件的惩罚因子为r2=0.5[6]。因此该优化模型的惩罚函数可由式(6)表示。

(6)

3 实例验证

设计一轴交角Σ=90°的工业用闭式锥齿轮传动，已知主动小锥齿轮传递的功率是P1=9.2kW，转速n1=970r/min，传动比i=3，精度等级为7级，电机驱动，工作机载荷平稳，小锥齿轮悬臂布置，大锥齿轮两端支承，设计寿命为10 000h。小锥齿轮材料为40Cr，调质处理至硬度为260HBS，大锥齿轮材料为45钢，调质处理至硬度为230HBS。试对该直齿锥齿轮传动进行优化设计。

3.1 遗传算法的M文件编制

部分遗传函数代码如下

function[sol,y]=GA_yzhcl(sol,options)

x(1)=sol(1);x(2)=sol(2);x(3)=sol(3);

u=3;

d1=x(1)*x(2)/2;

d2=u*d1;

R=d1*sqrt(1+u^2);

b=x(3)*R;

sdelta1=x(1)*x(2)/(2*R);

cdelta1=sqrt(1-sdelta1^2);

sdelta2=u*sdelta1;

cdelta2=sqrt(1-sdelta2^2);

v1=cdelta1*(d1^2+d1*((R-b)*d1/R)+((R-b)*d1/R)^2);

v2=cdelta2*(d2^2+d2*((R-b)*d2/R)+((R-b)*d2/R)^2);

f=pi/3*b*(v1+v2);

K=2.0;T1=90.6;

SigmaH=640;SigmaF=250;

zv1=x(1)/cdelta1;

Yfs=zv1/(0.269118*zv1-0.840687);

g1= SigmaH-949*sqrt(K*T1/(x(3)*(1-0.5*x(3))^2*d1^3*u));

g2= SigmaF-4*K*T1* Yfs/(x(3)*(1-0.5*x(3))^2*x(1)^2*x(2)^3*sqrt(1+u^2));

r1=1;r2=0.5;

p=r1*g1.^2+r2*g2.^2;

if(g1>=0)&(g2>=0)

y=-f;

else

y=-(f+p);

end

调用遗传优化算法函数文件initializega[7]，初始种群规模太小会导致精度不足且解不稳定，太大会导致计算收敛变慢，运行时间变长，初始种群规模一般可选10～160[8]，这里选取30个，进化繁殖100代，其他参数默认。

%生成初始种群，个体数目取30

bounds=[17 35;2 10;0.25 0.35];

startpop=initializega(30,bounds, 'GA_yzhcl',[]);

%遗传优化算法搜索

[xf,endpop,beestsSols,trace]=ga(bounds,'GA_yzhcl',[],[],[],'maxgenterm',100);

vpa(beestsSols,4)

vpa(xf,4)

3.2 优化前后结果对比

通过运行优化算法程序，繁殖到第72代时，目标函数值基本保持不变，其最优解为

(7)

目标函数结果f(X*)=-y=7.699 2×105

对于小锥齿轮的齿数，须将设计变量x1优化结果18.87圆整为19，优化前后锥齿轮传动各设计参数对比如表1所示。

表1 优化前后结果对比

由表1可以看出，采用遗传算法优化设计出的锥齿轮副体积为7.699 2×105mm3，而采用传统方法设计的锥齿轮副体积为9.196 9×105mm3，经计算、对比，遗传算法优化后的锥齿轮传动副体积较常规设计下降了16.3%，优化效果较好。

4 结论

论文采用遗传算法解决了锥齿轮副追求体积最小的三维非线性约束优化问题，配合使用MATLAB的优化工具箱获得了锥齿轮的最优参数，通过实例验证了优化效果。应用优化设计方法进行设计比用传统方法进行设计提高了设计水平、节省了金属材料、降低了成本，为产品的改进设计提供了理论依据，同时本文所用遗传算法优化方法为其他齿轮传动的优化设计提供了参考。