渗透模型思想 让计算教学生根

江苏宿迁市宿豫区庐山路小学（223800）陈 慧

数的运算是小学数学教学的重要内容，数学概念的形成、数学结论的获得、数学问题的解决都依赖于计算活动的参与，运算技能是学生必备的一项重要能力。因此，计算教学也一直受到广大数学教师的高度关注，从“双基”下的运算技能到“四基”下的运算能力，再到数学核心素养下的运算素养，如何践行课改理念，如何有效开展计算教学，如何培养学生运算能力成为教育的热点问题。

一、问题缘起：发现计算教学的症结

我校的计算教学一直是全区的典范，编有校本教材《计算手册》，但在一次全区调研测试中，有两道填空题的得分率只有84.6%和63.3%。题目如下：

9.列竖式计算24÷15，商是_______，竖式中的90表示_______。

11.根据986÷29=34直接写得数：98.6÷29=____，0.986÷34=_______。

由此，我们对全校五年级共419名学生在整份试卷的三处计算的得分情况进行了统计，详见表1。

表1

调研发现：对于像第四大题这样的纯计算题，学生的正确率很高，达到95.4%。而填空第9题主要考查学生对竖式计算过程的理解，结果显示，这道题的正确率明显下降，仅84.6%。而对于填空第11题这样需要逻辑推理的题，学生正确率就更低了。

这就说明，在解答纯计算的单一程序性题目时，学生能够根据竖式正确进行运算。但相比之下，对于算理表达类或逻辑推理类的题目，学生并不能完全看懂，或是无法理解不同的算式表征方式以及前后知识之间的迁移和联系。也就是说，学生对运算的意义、算理和算法还不能全面、透彻地理解。

调研结果也反映了学生学习计算的一种现状：精于计算，对运算技能的掌握好于对算理的理解；对计算知识点的掌握是零散的，缺乏整体的知识结构。运算技能不等于运算能力，“仅仅会计算”也与学生的计算素养要求相差甚远。“技能强、理解弱、素养缺”这一现象究竟是怎样在课堂教学中逐步累积而成的？带着这些问题，笔者回到计算课堂，试图寻找学生运算能力缺失的原因。

二、寻根溯源：分析计算问题的成因

笔者选择苏教版教材五年级上册“小数加减法”这一教学内容，观摩了两位教师的课堂教学，教学片段如下。

【教师A】

教师创设情境并列出算式4.75+3.4，提问：“你会列竖式计算吗？”

学生尝试列竖式计算。教师在巡视中发现学生列竖式时出现末位对齐的现象，于是介入：“计算4.75+3.4时应该是小数点对齐……”

接下来，教师先讲解怎样列竖式计算，再引导学生计算减法，理解算理，总结算法，然后通过大量练习帮助学生巩固小数加减法的计算。

【教师B】

前测：钢笔5.3元，本子0.8元，两样一共多少元？请你列竖式计算。

提问：列竖式时，你为什么会把小点对齐？（学生的回答情况见表2）

表2

课堂教学：创设情境，引导学生列出算式4.75+3.4，教师提问：“你能先估一估大概要花多少元吗？”

学生估算出大概7元多或8元多。教师提问：“你会用竖式计算吗？”

学生尝试列竖式计算。教师在巡视中发现学生在列竖式时出现末位对齐的现象，于是指名两位学生（一个对一个错）上黑板板演。

教师组织学生讨论对错，从不同角度证明了小数点对齐的正确算法，即小数点对齐也就保证了相同数位对齐、相同数位相加减。

在此基础之上，让学生借助小数加法的计算经验，独立尝试解决小数减法的计算问题（4.75-3.4）；通过分析算式的计算过程，总结小数加减法的计算方法；与整数加减法进行比较，说一说小数加减法与整数加减法的不同与相同之处。

通过以上案例不难发现：教师A的计算教学的落脚点仍旧放在了计算方法上，学生也许能够熟记计算法则，也能正确计算，但对于算理的敏感度并不高，而且教师教学的着眼点仅仅是这节课的教学内容，完全没有前后知识的衔接与沟通，学生掌握的知识呈点状散落，没有形成知识网络，没有建构计算模型，没有形成认知体系。教师B通过前测准确把握学生的认知起点，学生能够借助直观模型更好地理解计算的算理。如借助现实情境模型和人民币模型，学生在已有生活经验的基础上更容易理解“为什么要这样算”，并通过小数加减法的对比总结计算方法，通过整数和小数加减法的对比促进算理的沟通，建构计算模型。

分析这两个教学片段，不难发现教师的教学行为也是学生计算能力缺失的成因之一。于是笔者对本校及周边几所小学的部分数学教师进行问卷调查和个别访谈，从教师对模型思想的认识、理解、落实三个方面进行了调查和分析，归纳出当前小学计算教学中存在的主要问题：（1）部分教师对计算教学的目标定位存在偏差，没有将计算中蕴含的模型思想融入教学，只是将“怎样算、为什么这样算”当作程序性知识进行讲解。（2）部分教师教育教学能力不足。如对教材的整合能力不足、对学情的了解不足，不能设计多样化的教学活动和有层次的探究活动，导致课堂教学效率较低。（3）学生对计算不够重视，轻视口算和估算，缺乏对未知的探究兴趣和能力。

三、建构模型：探寻计算教学的策略

基于以上思考，笔者积极探寻计算教学的策略，开展了基于模型思想的计算教学实践研究。笔者从模型思想出发研读教材、分析学情，对教材内容进行整体分析和重新组合，设计教学活动，让学生在探究计算的过程中，掌握学科的核心知识，整体理解所学的主题内容，在知识建构和方法迁移中构建高阶思维，提高运算能力，形成核心素养。可见，计算教学要重在迁移，落脚理解，聚焦内容，建构模型，关联整体，形成系统。

1.立足学生已有经验，找准现实模型

数学知识是螺旋上升式结构，如果没有学生的已有知识和认知经验作为学习的基础，学生的数学学习将会是无源之水、无本之木。

如苏教版教材五年级上册“小数乘整数”的教学导入时可创设现实情境：夏季西瓜0.8元/千克，买3千克要多少元？学生或将0.8×3转化成3个0.8相加来计算，或将0.8转化成8角再乘3来计算，不管是根据乘法的意义转化成加法来算，还是依据元角的关系转化成整数乘法来算，都是充分利用学生的生活经验来建构运算模型。创设真实的生活情境，是教学计算问题的关键，而很多教师往往忽略了这一步，认为它无关紧要。有的教师创设的情境不能承载计算的现实意义，有的甚至干脆跳过情境直接给出算式。其实，学生头脑中不缺乏解决这类问题的有关知识，缺乏的是将数学问题转化为数学模型的能力。而现实情境可以使抽象的计算转化为具体、可感的问题，有效激活学生认知结构中相关的数学模型，帮助学生弄清问题的本质，把握探究的正确方向。

计算教学一定要准确把握学生的学习起点，找准新知的生长点，在新旧知识之间架起一座桥梁，促进学生顺利经由旧知走向新知学习。复习教学也不能仅仅停留在知识层面，更多的应是激活，激活与复习内容相联系的概念、原理、法则等数学模型。一旦学生认知结构中的某个结点被激活，就有可能触动该知识的相关网络，从而有效帮助学生找到解题策略。如在教学异分母分数加减法时，可先让学生复习同分母分数加减法口算，并说说怎么算得这么快，为什么可以这样算，加深学生对“分母相同，即分数单位相同，分子可以直接相加减”的认知。当遇到新问题“时，学生自然能想到如果这两个分数的分数单位相同就好算了。

2.引导学生实际操作，理解直观模型

在小学生的认知结构中，数和形是紧密联系的，数形结合可以将抽象的数学知识与直观的图形结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

“孩子的智慧在手指尖上。”让学生在具身操作中丰富知识表象、建构知识模型是行之有效的方法。在数的认识中，可利用小棒、方块、计数器、数射线等直观模型帮助学生理解数的意义和组成。在数的运算中，利用直观模型更能帮助学生理解算理和算法。如在苏教版教材五年级下册“异分母分数加减法”的教学中，板书算式“之后，教师鼓励学生独立思考后尝试计算。有学生通过折纸涂色的方法得出结果，有学生通过通分算出结果。笔者让学生对比这两种方法，说说发现了什么，引导学生去观察、思考、比较、联系。学生发现原来的再折一次就出现了，两种方法其实是一致的，它们分别从数与形的角度展示了异分母分数加法的算理。

通过比较各种版本的教材，笔者发现在明确算理的环节中，各版本的教材都注重借助几何直观来展示。一来可以让抽象的计算过程具体化、直观化、形象化；二来可以让学生在操作过程中边操作边思考，从而探究方法，沟通算理。如借助方块模型理解三位数加减法算理，借助分小棒理解首位不能整除的除法笔算，借助图形涂色理解分数乘分数的算理，借助点子图理解小数除以整数的算理……

3.紧密关联前后知识，建构系统模型

教师在教学中要切忌就教材教教材，坚决破除“教材上有什么就教什么”的思想。首先，教师要有整体意识，研读教材了解前后知识编排体系，形成系统的知识结构，只有这样才能帮助学生开展有意义的学习，进而建构模型，形成知识结构。在教学时，教师要引导学生梳理新旧知识之间的关联，弄清知识的来龙去脉，并把新知识与旧知识进行对比，在顺应和同化中将新知融入原有的知识系统。如“异分母分数加减法”教学的全课总结阶段，在学生总结出异分母分数加减法的计算法则之后，笔者设计了这样的追问：“整数加减法是怎样计算的？小数加减法是怎样计算的？它们有什么相同之处？分数加减法又是如何计算的？它与整数、小数加减法又有什么相通之处？”通过梳理、比较，学生逐步认识到：整数加减法是末位对齐，小数加减法是小数点对齐，本质都是相同数位对齐，相同计数单位相加减；分数加减法也同样是相同的分数单位才能相加减，所以要先通分。这样做，可促进学生更深层次地理解、掌握计算模型，建构起新的、相对完整的知识网络。因此，计算教学一定要着眼整体，不能仅仅聚焦于零散的知识点，要充分按照数学知识的逻辑结构、学生的认知发展顺序，以相关活动为主线对教材内容进行整合设计，及时组织学生展开回顾与反思，使学生“既见树木又见森林”，在各种变化的情境中逐步体会不变的模型。

综上所述，运用数学模型进行计算探究，是模型思想在小学计算教学中的重要体现。教师要通过整合教材体系，把计算教学的一个个知识点组成块、串成链，以模型思想组织计算教学，帮助学生建构好数学模型，体会数学模型的应用价值，形成结构化的知识，引导学生以更广阔的视野、站在更高的层面建构新的认知体系。当在教学中渗透模型思想成为教师的自觉行为时，必然能让计算教学向下扎根、向上生长，促进学生的思维走向自主建构，整体提高学生的运算能力和数学素养。