基于前测 由表及里 深刻感悟——“方程的意义”本质探析与教学路径思考

浙江宁波市奉化区居敬小学（315500）王培幼

浙江宁波市奉化区西坞街道中心小学（315500）丁玉成

方程是一种认识与思维方式的巨大转变——学生首次由算术思维转向代数思维。但方程教学往往只注重描述性定义的理解，即只抓住“有未知数”“是等式”两个特征来引导学生认识方程，没有深入挖掘方程的本质，导致教学效果不理想。因此，在教学之前，教师需要重视以下两个核心问题。

问题一：方程教学如何从“表象”走向“内涵”？

概念描述与真正理解运用之间的距离到底有多远？作为教师，如何帮助学生跨越这个距离，从而帮助学生实现对方程意义的真正建构？如何将教学的重心由对方程概念的“静态”定义，转向让学生主动地“动态”建构对方程的认识？

首先要对方程的内涵做深入挖掘；其次，思考怎样的素材能更好地建构方程的意义；再次，根据方程的内涵设计合理的活动帮助学生理解；最后，让方程的内涵和表象完美统一，完成教学。

问题二：如何在多种等量关系中突出顺向思维的优势？

对于“8-5=x”“x=3”是不是方程，从定义上看这两个式子是“等式”又有“未知数”，所以是方程，但从方程内涵来看它们已经失去了方程的意义，所以教师在列方程时都不会选择这种类型。

对于“5+x=8”和“8-x=5”哪个好的问题，很多教师会说两种都可以，但用方程解答的优势在于用顺向思维来解决问题，倒推式的逆向思维与算术思维并无区别，应该优化。怎样在多种等量关系中突出顺向思维的优势？这值得思考。

一、基于方程本质的前测题及结果分析

1.前测题

第一组：用一个式子表示图1中天平的平衡情况。

图1

【设计意图：凸显左右相等才能列出等式，对学生能否用等式来表示天平的平衡情况进行摸底。】

第二组：图2中的两个天平都是平衡的，请你从数学的角度把图的意思表示出来。

图2

【设计意图：平衡的天平的等量关系比较明显，学生可能会以文字形式表述。不管是文字还是方程，都说明学生有等量关系的意识。本题还考查学生是否有将未知量设为未知数并作为已知信息参与列式的意识。】

第三组：你能找到下面两题的等量关系吗？用一个式子表示出来。

图3

【设计意图：这两道题有比较复杂的数量关系，为的是凸显顺向思维的优势。】

2.前测结果分析

通过分析前测结果，可以确定学生的起点：（1）对于等式的认识不存在困难，对不等式感觉陌生；（2）思维停留在算术层面，本单元前半部分的“用字母表示数”没能很好地帮助学生积累代数思维的经验；（3）对等量关系的认识模糊，提取有困难；（4）对方程的优越性没有任何体验。

二、基于前测的教学路径设定与实施

学生往往能依据方程的两要素——“是等式”和“有未知数”从一组式子中识别出方程，但看图列方程却存在困难。这是由于教材编排的“方程的意义”“等式的性质”等练习中出现过很多看图列方程的题，这些题的要求都是“请你用方程表示下面的数量关系”或“根据题中的数量关系列出方程，并求出方程的解”。

“数量关系”和“等量关系”是有区别的，但教材对列方程的要求并没有以“等量关系”的字眼出现。教材第一次真正出现等量关系的式子是在“实际问题与方程”的例1中，但为时已晚。

根据对教材的分析与方程的教学现状，笔者将以“整体教学”的思想为指导，以“寻找等量关系”为抓手，突破方程意义教学的难点。

【教学片段1】平衡中初识等量关系，认识等式和不等式

师（出示前测题第一组）：两个天平的平衡情况是怎样的？可以用怎样的式子把天平的平衡情况表示出来？对于第（1）题，大家为什么用50+50=100这个式子来表示？

生1：因为天平是平衡的，所以左右两边的质量相等，一个50克的苹果加上一个50克砝码等于一个100克的砝码质量，所以我用50+50=100这个式子来表示。

师：是的，天平是平衡的，说明天平的左右两边质量相等，我们就说左边的质量等于右边的质量，它们之间存在着相等的关系。这样的相等关系在数学中就是等量关系，表示这种等量关系的算式“50+50=100”叫作等式。

师：第（2）题的天平的左右两边存在等量关系吗？

生2：不存在的，因为天平是倾斜的。

师：还能用等式来表示天平的情况吗？

生3：不能用“=”，要用“＞”，x+50＞100。

师：左边比右边重，就用x+50＞100这个不等式来表示。这里为什么有个x？

生4：因为这个箱子上就写着“xg”。

生5：箱子重量不知道，所以用“x”来表示。

前测结果显示，学生对于等式和不等式的认识不存在困难，这个环节的教学目的在于通过引出等式和不等式，让学生初步知道左右两边相等时就存在等量关系。

【教学片段2】天平中提取等量关系，触摸方程“外衣”

师（出示前测题第二组）：这两幅图中平衡的天平都存在着什么关系？

生1：等量关系。

出示学生前测作业：

师：你能看懂这两个算式吗？

生2：他是把不知道的看作x，用算式来记录左边和右边相等。

师：谁能具体说说这两个等式的意思？（学生答略）

出示用算术方法解答的学生前测作业：

师：这两个算式是什么意思？

生3：这是把母鸡的重量和箱子的重量求出来了。

师：请比较这两个算式与刚才表示等量关系的式子有什么相同点和不同点。说说这四个等式都是怎么写出来的。

生4：图4是把天平的左边和右边抄下来，图5是先算出右边的总数，再算出左边的其中一个。

图4

图5

师：图4就是今天要学习的方程。如果今天有位同学因为有事没来上学，你打算怎样向他介绍方程？

师：对，含有未知数的等式叫作方程，方程可以像故事发展顺序那样用等式把事情表达出来，不知道的数据就用字母表示。

这个环节的定位是通过天平上显而易见的等量关系来帮助学生初步认识方程。借助前测中学生的作业，让学生进一步学会如何提取等量关系，并在方程与算术方法的对比中，发现相同点与不同点，为学习方程的定义做好准备。在教师有针对性的追问下，方程神秘的面纱被一层层揭开，学生在你一言我一语中基本能把方程的特征说完整。

【教学片段3】对比中优化等量关系，感受方程内涵

师（出示图6-1、6-2、6-3）：这三幅图中没有天平了，你能把“心中的天平”拿出来吗？独立想一想，再跟同桌说一说。（学生活动）

图6-1

图6-2

图6-3

师：谁能用手势表示天平，并把图上的物体放在天平上？（学生答略）

师：能用方程表示这三幅图吗？（学生写方程）

师：对于图6-1，有三种不同的列法，分别是325+x=1280、1280-x=325、1280-325=x，请大家对比哪种好。（学生答略）

师：心中的天平建好后，只要把天平上的重量按左右相等写下来是最方便的方法。那么再来看看1280-325=x，为什么没有人说这个好？

生1：这个不是照天平抄下来的，而且这个算式能直接算出结果，用x没有什么用。

师：这个等式从特征上看也是个方程，但像刚才这位同学说的，x没什么用处，不用也能算出来，这样列式就没有意义了。因此我们要让x去参与运算，方程才会有意义。

表面上看，这个环节是脱离天平找等量关系，但事实上是教师让学生搬出“心中的天平”的形式来寻找等量关系，这个阶段的“天平”是起到“扶”的作用。方程的优势在于顺向思考问题，可以避开用算术方法的逆向思维，直击方程的本质。在六年级用方程解决分数应用问题时，对于“求单位‘1’是多少”的题目，就经常有学生写出诸如“120÷x=1/2”的方程，显然这不是最优方程。对于“1280-325=x”是不是方程的疑问，笔者认为是学生对方程本质理解欠缺造成的。为此安排一个对比环节，促使学生在初步认识方程的基础上对方程的内涵有进一步的感受。

【教学片段4】体会算术思维向代数思维的过渡，突出方程的优越性

师（出示前测题第三组）：这两道题中没有了天平，你能找到等量关系吗？也可以试着放到“心中的天平”上。

生1：茶壶的2000毫升水-1杯200毫升的水=2个热水瓶的水。

生2：如果把它们放到“心中的天平”上，应该是1杯200毫升的水+2个热水瓶的水=茶壶的2000毫升水。

师：两位同学从不同角度找到了等量关系，第一位同学是按照事情发展顺序来找等量关系的，第二位同学是根据心中的天平来列的，两种等量关系都可以。第（2）题能找到等量关系吗？

生3：一个数×5+3=378。

师：请大家用方程表示。

师（出示图7）：课前有同学是这么做的。请大家对比一下这与刚刚列出的方程有什么不同？

图7

生4：列方程时想法比较简单，只要想好了等量关系，可以照抄。写这两道算式要难一些。

师：难在哪里？

生4：378-3算出了什么还需要想一想。

师（出示图8）：这位同学做得对吗？

图8

生5：不对，一个数的5倍加上3得到378，应该是378先减去3才能得到一个数的5倍，再除以5才能算出这个数。

师：你的思路很清晰，但为什么不能先除以5呢？可以试着画一幅线段图来帮助理解（线段图略）。方程确实比以前列算式的方法要简单，题目怎么描述，等量关系就是怎样的，不用颠来倒去的。方程还是有很大的优势呢。

前测题第三组比较复杂，目的是让学生初步体会方程的优越性，但是在前测中大部分的学生用算术方法解答，只有3位学生用了方程。这说明学生的算术思维需要教师的引领才能向代数思维过渡。教师在教学中先基于学生在前面几个环节积累的找等量关系的经验，让学生找到等量关系并列方程，在学生正确列出方程后，再出示算术方法引导学生对比，特别抓住错解来凸显方程的优势。这样一来，学生在学习方程的第一课就对方程有比较深刻的印象，为列方程解决问题打下基础。

综上，整节课以“寻找等量关系”为抓手，帮助学生切实理解方程的本质含义，让学生建立“方程就是照等量关系写出来”的意识，从而顺利过渡到用方程解决问题，切实感受方程的优越性。