WBK方程的分岔与行波解

2022-09-07韩青秀刘红霞

昆明理工大学学报(自然科学版) 2022年4期

关键词：将式行波命题

韩青秀，刘红霞，伍芸

(贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳 550025)

1 研究背景和预备知识

考虑如下的WBK方程[1-2]：

(1)

这是一个浅水波方程，已经被广泛地应用于物理学的许多分岔，在物理和数学中都有很大的作用，特别是它的解，可以帮助人们解释一些物理现象.许多学者已用不同的方法经研究了(1+1)维的WBK方程，例如扩展的辅助方程方法[3]、其次平衡法[4]、最优同伦渐近方法(OHAM)[5]、广义统一方法(GUM)[6]求解变系数等，在这里主要运用动力系统定性理论和分岔方法[7-13]研究.

为了研究式(1)的行波解，设c是波速且c>0，令u(x,t)=φ(ξ)，H(x,t)=ψ(ξ)，ξ=x-ct并代入式(1)可得：

(2)

对式(2)中的第1个方程积分，得：

(3)

积分常数为g.将式(3)代入式(2)中的第2个方程：

2(a+b2)φ‴-3φ2φ′+6cφφ′-2(c2-g)φ′=0

积分上式，并令积分常数为零，得到：

(4)

令φ′=y，得到下面的平面系统：

(5)

很明显，系统(5)的Hamiltonian函数为：

(6)

令：

f(φ)=φ3-3cφ2+2(c2-g)φ，Δ=c2+8g

显然，有下面的结果:

(1)当Δ>0时，f(φ)有3个零点φ0，φ1，φ2，它们的表达式为:

(2)当Δ=0时，f(φ)有2个零点φ0，φ*，它们的表达式为:

(3)当Δ<0时，f(φ)有1个零点φ0，它的表达式为：φ0=0.

其中θ=a+b2.根据动力系统定性理论[6]，有如下结论：

在c-g参数平面，令l1、l2和l3分别表示下面的3条曲线：

令Ai(i=1,2,3,4)表示被l1、l2和l3及坐标轴包围的区间，见图1.

2 扭波的分岔

接下来，将展示扭波可以由其他3种波分岔得到.

2.1 来自于钟形孤立波的分岔

命题1当θ>0且g

(7)

(8)

θ>0 θ<0图1 系统(5)的分岔相图Fig.1 Bifurcation phase portraits of formula (5)

这些解有着如下的性质：

(9)

(10)

它们分别表示1个扭波和反扭波.

(11)

在情形1中，当(c,g)属于A2区域且g→0+时，这2个钟形孤立波相应变成扭波式(9)和反扭波式(10)，对此变化过程，见图2和图3.

证明：在式(6)中，令H(φ,y)=H(0,0)，则有：

(12)

(13)

其中v是任意常数.将式(13)完全积分并解出φ，则有：

(14)

(a)g=1/32 (b)g=10-3 (c)g=10-4 (d)g=10-6图2 当c=1，g→0+时,的变化过程(钟形孤立波分岔为扭波)Fig.2 When c=1 and g→0+, the change process(The kink wave is bifurcated from the bell-shaped solitary wave)

(a)g=1/32 (b)g=10-3 (c)g=10-4 (d)g=10-6图3 当c=1，g→0+时，的变化过程(钟形孤立波分岔为反扭波)Fig.3 When c=1 and g→0+,the change process(The anti-kink wave is bifurcated from the bell-shaped solitary wave)

在式(7)和式(8)中，令g=0时，则可以得到式(9)和式(10).由此可证明命题1的(1).

因此，可证明命题1的(2)和(3).

2.2 来自于爆破波的分岔

特别地，在情形1中，当(c,g)属于A3区域且g→0-时，这2个爆破波相应变成扭波式(9)和反扭波式(10)，对此变化过程，见图4和图5.

类似于命题1的证明，可以得到命题2的结果.

2.3 来自于峡谷形孤立波的分岔

(15)

(16)

特别地，当g→0-时，这2个峡谷形孤立波相应变成扭波式(9)和反扭波式(10)，对此变化过程，见图6和图7.

(a)g=-1/9 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6图4 当c=1，g→0-时，的变化过程(爆破波分岔为扭波)Fig.4 When c=1 and g→0-,the change process(The kink wave is bifurcated from the blow-up wave)

(a)g=-1/9 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6图5 当c=1，g→0-时，的变化过程(爆破波分岔为反扭波)Fig.5 When c=1 and g→0-,the change process(The anti-kink wave is bifurcated from the blow-up wave)

(a)g=-10-2 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6图6 当c=1，g→0-时，的变化过程(峡谷形孤立波分岔为扭波)Fig.6 When c=1 and g→0-,the change process(The kink wave is bifurcated from the valley-shape solitary wave)

(a)g=-10-2 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6图7 当c=1，g→0-时,的变化过程(峡谷形孤立波分岔为反扭波)Fig.7 When c=1 and g→0-, the change process(The anti-kink wave is bifurcated from the valley-shape solitary wave)

证明：当(c,g)属于A3时，(φ2,0)在它的左边有1条轨线Γ和它相连，见图8.

图8 Γ的轨线相图Fig.8 The orbital diagram of Γ

在式(6)中，令H(φ,y)=H(φ2,0)=h2，则有:

(17)

(18)

将式(18)完全积分并解出φ，则有:

(19)

其中η=η(v)是任意常数.从式(19)中可以得到形如式(15)和式(16)的解.

令g→0-，则有：

当g→0-时，积分以后可以得到扭波式(9)和反扭波式(10).

因此，证明了命题3.

3 光滑周期波的分岔

命题4当θ<0且g

(20)

(1)如果(c,g)属于l1，那么uc表示周期爆破波解；(2)如果(c,g)属于A2，那么uc表示周期波解.

特别地，当g→c2-时，周期波就分岔成了周期爆破波.对此分岔过程，见图9.当g→0+时，周期波变成了线波u=2c,对此分岔过程，见图10.

令g→c2-，则有：

有：

至此，证明了命题4.

(a)g=c2-10-1 (b)g=c2-10-2 (c)g=c2-10-3 (d)g=c2-10-5图9 当c=1，g→c2-时,uc的变化过程(周期波分岔为周期爆破波)Fig.9 When c=1 and g→c2-, the uc change process(The periodic blow-up wave is bifurcated from the periodic wave)

(a)g=10-1 (b)g=10-2 (c)g=10-3 (d)g=10-5图10 当c=1，g→0+时,uc的变化过程(周期波分岔为线波)Fig.10 When c=1 and g→0+, the uc change process(The periodic wave becomes the trivial wave)