求解一类分数阶随机积分微分方程的谱配置方法*

吴传花，王自强

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

经过多年来的研究，人们发现分数阶微积分能够更好地描述反常扩散的幂律结构，分数阶微分方程因此受到了人们的高度重视，从而被应用于各个科学与工程领域[1-2]。而生活中发生的大多现象都是随机的，人们逐渐认识到随机扰动是不可忽略、不可避免的，需要在研究的确定性控制方程的基础上加入相应的随机项，因此随机微分方程逐渐发展成为数学领域的重要分支，为了更有效地刻画具有记忆和噪声扰动的自然现象，分数阶随机微积分方程开始被人们所关注。

近年来，许多学者为求解分数阶随机积分微分方程提供许多的数值方法，比如在文献[3]中运用了简单的欧拉方法，通过对布朗运动B(t)的导数，构造了数值格式，分析了格式的适定性，并进行了数值实现。文献[4]针对求解一类随机微分方程，提供了Milstein方法和Euler-Maruyama方法。还有谱配置方法、Tau方法、三次B-样条函数逼近方法等[5-10]。

本文首先基于[0，1]上的正交函数移位勒让德函数，利用高斯-勒让德求积公式与谱配置方法相结合的思想构造求解一类分数阶随机积分微分方程的新的谱配置方法。然后针对构造的数值方法进行数值实现，以验证算法的有效性。

1 数值算法的构造

我们考虑如下的微分积分形式的分数阶随机积分微分方程：

(1)

其中，Γ(·)表示Gamma函数，y，f，ki，i=1，2是定义在概率空间(Ω，F，P)上的随机过程，y是未知的，B(s)为众所周知的布朗运动，并且(1)式中右端的第三项带有布朗运动的积分称为伊藤积分，y0为已知常数。

下面我们给出伊藤积分的一些性质，先给出布朗运动的定义：

定义1[4-5](布朗运动过程)

一个实值随机过程B(t)，t∈[0，1]，如果满足如下性质，则称为布朗运动。

(1)(独立增量)对于t>s，B(t)-B(s)与过去无关，即与B(u)，0≤u≤s无关，或者与B(u)，u≤s生成的σ-域Fs无关；

(2)(正态分布)对任意的0≤u

(3)(路径的连续性)当t≥0时，B(t)是一个与t有关的连续函数。

注意，B(0)=0(概率为1)。

定义2[5](伊藤积分)

设v(S，T)是函数类，f∈v(S，T)，那么在空间L2(P)中f的伊藤积分形式为：

其中，φn是一个初等函数的序列，使得当n→∞时，有如下的逼近关系：

性质1[5](分部积分)

设f(s，w)=f(s)仅依赖于变量s，f在[0，t]上是连续的且有界变化的。那么

性质2[5](伊藤引理)

设f∈v(S，T)，则

接下来，基于移位勒让德多项式，引进高斯-勒让德求积公式和谱配置方法相结合的思想，对给出的一类随机分数阶积分微分方程进行求解。基于文献[5]，给出区间[0，1]上的i次移位勒让德多项式：

φi(t)=Li(2t-1)，i=0，1，…，

其中Li是区间[-1，1]的i次勒让德多项式。移位勒让德多项式相邻三项有如下关系：

φ0(t)=1，φ1(t)=2t-1，

i=1，2，…

当权函数w=1时，Φ(t)的正交性如下：

其中δi，j是克罗内克符号。

下面，将运用移位勒让德多项式的前N+1项展开(1)式中的y(t)和k(s，t)：

(2)

(3)

(4)

将(1)式中右端含有随机过程的第三项按性质1展开

(5)

接下来，将(2)式和(3)式代入(5)式中，用移位勒让德多项式的前N+1项逼近y(t)，ki(s，t)可得

(6)

简化(6)式如下，

(7)

其中

CT=[c0，c1，…，cN]，

Φ(t)=(φ0(t)，φ1(t)，…，φN(t))T。

对(7)式中的积分项运用高斯-勒让德求积公式，首先进行积分区间的变换：

s：=tθ，θ∈[0，1]，s∈[0，t]，

(8)

再次对积分区间[0，1]作变换：

(9)

用M点高斯-勒让德求积公式，则(9)式为：

(10)

其中，wm和τm是求积公式的权和节点。将(10)式中含有CT项都整理到等式左端：

=f(t)

(11)

在N个配置点处配置(11)式，我们给出一组合适的配置点，即切比雪夫-高斯点：

那么，(11)式变为：

=f(tr)

(12)

Bj=Bj-1+dBj，j=0，1，…，P

则(12)式简化为：

(13)

现在结合初始条件和(13)式，有

CT(A，Φ(0))=(F，y0)

(14)

其中，A=Air，F=(f0，…，fN-1)。

(15)

因此，就可以得到yN(t)=CTΦ(t)。

综上所述，我们可以通过构造的数值算法计算方程在任意点t的值。

2 数值实现

例1 考虑如下分数阶随机积分微分方程[5-6]

其中，y0=0，t∈[0，1]，当σ=0时，该方程的解析解为y(t)=t3。

由于分数阶随机积分微分方程的精确解是很难找到的，所以我们使用最简单的Euler-Maruyama法求解方程的解作为该方程的精确解，也就是图1中的虚线部分作为本次数值实现的参考解，其中P=104。接下来，利用构造的新的谱配置方法求出的解作为数值解，即图1中的实线。

图1是σ=1时数值解与参考解的逼近图。在进行数值实现时发现，当N=17时，逼近效果是比较好的。通过图1右上角的局部放大图，我们发现，即使从整体上看，数值解逼近参考解的逼近效果还是可以的，但从局部上看，参考解和数值解之间还是有一定的误差的。所以，要使得分数阶随机积分微分方程的参考解与数值解之间的误差尽可能的小，仍然是一个漫长的研究过程，尤其是分数阶导数具有的特殊的性质，使得高效的数值算法的构造存在一定的困难。