例谈指数型函数的参数取值范围问题

王丽馨

(黑龙江省大庆市第二十三中学)

求参数的取值范围问题通常已知一个变量的取值范围,要求另一个变量的取值范围,既是高考的热点问题,也是难点问题,对学生的能力要求较高,综合考查了学生的逻辑推理能力和运算求解能力,同时也考查了数学思想与数学方法.本文从指数型函数的参数取值范围问题入手进行研究,对解决此类问题的方法进行归纳总结,以期帮助学生快速突破此类问题.

1 数形结合

例1若a＞0且a≠1,函数f(x)＝x2－ax,当x∈(－1,1)时,均有则a的取值范围是( ).

图1

综上,a的取值范围是,故选C.

对于不等式恒成立问题,可构建两个函数,利用函数图像比较两个函数的大小关系时,可先列出相应的不等式,再进行求解.

2 参变分离

例2若(m－m2)4x＋2x＋1＞0在(－∞,－1]上恒成立,则实数m的取值范围是( ).

由(m－m2)4x＋2x＋1＞0,得

对于给定的不等式恒成立问题,常通过恒等变换分离出参数进行求解,即若m≥f(x)恒成立,则m≥fmax(x);若m≤f(x)恒成立,则m≤fmin(x).

3 利用函数的单调性与奇偶性求解

例3设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)＝2－x,若f(x)≥[f(x－m)]2在[m,m＋1]恒成立,则正数m的取值范围为( ).

因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x≤0 时,f(x)＝2－x,则当x≥0 时,－x≤0,f(x)＝f(－x)＝2x,故对任意的x∈R,f(x)＝2|x|.对任意的x∈[m,m＋1],f(x)≥[f(x－m)]2恒成立,即2|x|≥22|x－m|,则|x|≥2|xm|对任意的x∈[m,m＋1]恒成立,且m为正数,则x≥2(x－m),解得x≤2m,所以m＋1≤2m,解得m≥1.故选A.

例4已知定义在R 上的函数f(x)＝是奇函数.

(1)求n的值,并写出f(x)的单调递减区间(不必证明);

(2)若对任意的t∈[1,2],不等式f(t2)＋f(ta＋2a)≤0恒成立,求实数a的取值范围.

解析(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,则,解得n＝－1,此时f(x)＝,经检验函数f(x)为奇函数,且

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞,＋∞),无单调递增区间.

(2)因为f(t2)≤f(－ta－2a),且函数f(x)在R上单调递减,所以t2≥－ta－2a,即t2＋ta＋2a≥0,令g(t)＝t2＋at＋2a,该函数的图像开口向上,对称轴为直线

点评根据函数的奇偶性,对不等式进行参变分离得出关于变量的不等式,进而求解.也可以将所求问题转化为函数的最值问题,转化方式如下:若f(x)≤0恒成立,则fmax(x)≤0;若f(x)≥0恒成立,则fmin≥0.

4 双变量问题转化为函数的最值问题求解

例5已知函数,g(x)＝2x＋a,若,∃x2∈[2,3],使 得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是( ).

例6已知函数f(x)＝x2,若∀x1∈[0,2],∃x2∈[－1,3],使得g(x1)＝f(x2)成立,求实数m的取值范围.

当x∈[－1,3]时,fmin(x)＝f(0)＝0,fmax(x)＝f(3)＝9,所以当x∈[－1,3]时,函数f(x)的值域为[0,9].因为在区间[0,2]上单调递减,则gmax(x)＝g(0)＝1－m,由题意可知,函数g(x)在[0,2]的值域是函数f(x)在区间[－1,3]上的值域的子集,所以解得－8≤m≤.

对于不等式恒成立问题,解题关键是转化为求函数的最值,转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响,可按如下规则等价转化.

一般地,已知函数y＝f(x),x∈[a,b],y＝g(x),x∈[c,d].

1)若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmax(x)＜gmin(x);

2)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmax(x)＜gmax(x);

3)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmin(x)＜gmax(x);

4)若∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmin(x)＜gmin(x);

5)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],有f(x1)＝g(x2)成立,则f(x)的值域是g(x)值域的子集.

(完)