排列组合解题中的物理操作

鲁和平

(浙江省嘉善第二高级中学 314100)

排列组合是高中数学的重要学习章节，它对考查学生思维的严密性、深刻性、广阔性具有不可替代的作用.也为学生进一步学习“组合数学”“概率统计”奠定了坚实的基础.但在排列组合解题中，有些题目所需要的思维方式却超出了数学的范畴.如果我们仅仅停留在数学苑囿“深挖洞”，可能最终导致无功而返.如果我们进一步拓广思维视野，跳出数学的方寸天地，就会豁然开朗.我们姑且把这种思维方式，称为“物理操作”.简而言之，就是要通过一系列的“物理”操作，才能完成解题过程.

1 重构操作

即根据题目的意思，在保持原题本质不变的前提下，重新设计操作程序，使新的操作设计更加贴近题意，更具“数学化”.

例1袋子里有红、黑、白、黄四种颜色的大小相同的小球各10个.每种颜色的10个小球分别标有数字1，2，3，4，…，10.若从中任取4个小球，这4个小球颜色互不相同，且所标数字互不相邻的不同取法共有多少种？

例2从1,2,3,…，9中任取5个数字组成无重复数字的五位数，要求其中仅含有两个连续的数，且这两个连续的数相邻的五位数有多少个？

2 退步操作

对于有范围限制的排列组合问题，可以先退步思考，满足题设条件，使限制范围变得单一常规.再根据组合模式，寻找进一步的解题方法.

例3 将15个大小相同的小球放入标有“1,2,3,4”编号的盒子里，则每个盒子里放入的球的个数不小于该盒子的编号数的放法一共有多少种.

图1

例4 已知M={1,2,3,…12},从集合M中任取4个数，要求这4个数中，至少有2个数相邻，问共有多少种取法？

例5 一排共18个座位，A,B,C三人按如图2方式入座：任意两人之间至少有3个座位，且三人的顺序是A在B与C之间，则不同的坐法共有多少种？

图2

3 配位操作

对于“搭配”问题，可以先进行配位操作，使之成为一个“大单位”的“元素”，再按照常规思路考虑.

例6 有14个年轻人和5个老人站成一排，要求每个老人左右至少各有一个年轻人搀扶，问有多少种不同方法？

解析(1)先从14个年轻人中拿出10个，与5个老人左右搭配，做成5个“年轻人甲+老人+年轻人乙”模式的单位“人”；

(2)将上述5个单位的“人”，与剩余的4个年轻人全排列；

例7 公园里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右两边都要有空椅，则有多少种不同的坐法？

4 无为操作

对于有些题目，表面上看是有序排列问题，但深入细究，却是组合问题.因为各个元素是相异的，本身就存在天然的次序.这就需要我们“无为而治”.相反地，如果真正“有为操作”，则会弄巧成拙.

5 筑巢操作

对于有些排列组合问题，单从表面思考，很难找到突破口.若我们将此问题放置在一个大的背景下思考，则会迅速迸发出思维的火花.给一个较难的问题，安置一个大背景，我们形象地称之为“筑巢操作”.

例9 如图3，在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点.将x轴上这5个点与y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限的交点最多有多少个？

图3

6 符号操作

对于题目所描述的现象，我们可以抽象为用数学符号来阐释，把这一类操作称为“符号操作”.它的好处在于能迅速建立操作与数学符号的有机联系，为数学化解决问题做好铺垫.

例10 如图4，A,B,C,D,E站成一圈传球，每人只能将球传给其左右相邻两人中的一人.由A开始传出(算作第一次)，经过10次传球又回到A的传球方式共有多少种？

图4

解析记向左传为“+1”，向右传为“-1”.由A开始传出10次球后，又回到A，就是在10个“1”前面添加正号或负号，使其代数和为10，或0，或-10.

(1)当代数和为“10” 时，全是“+”，有1种；

(2)当代数和为“-10”时，全是“-”，有1种；

综上所述，满足题意的传球方式有：1+1+252=254种.