教学考试杂志社“数学经典试题及变式”征集活动阶段性成果展示

2022-08-30韩兆峰,彭长军,赵伟娜等

教学考试(高考数学) 2022年4期

关键词：定值斜率抛物线

一、直线与圆的综合应用

吉林韩兆峰

【母题1】(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷·11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )

A．点P到直线AB的距离小于10

B．点P到直线AB的距离大于2

【试题分析】考查知识：直线与圆的位置关系及两点间距离；解题方法：借助图形分析建立“形”与“数”的联系，采用数形结合的思想；综合素养：数学运算及数学建模核心素养.

【答案】ACD

甘肃彭长军

【变式1】(知识变式)求点到直线的距离的最值变为求三角形面积的最值

已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则△PAB的面积的最大值为________,最小值为________.

河北赵伟娜

【变式2】(知识变式)直线的方程含有参数，直线变为过定点的动直线

(2022·高三模拟试题·11)(多选题)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l：kx-y+3-4k=0，则( )

A.直线l与圆C的位置关系无法判定

C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k=0

D.如果直线l与圆C相交于M，N两点，则M，N的中点的轨迹是一个圆

【答案】BC

吉林韩兆峰

【变式3】(知识变式)由求点到直线距离变为求圆的方程

(改编)已知圆M:(x-5)2+(y-5)2=16，若点A(4,0)，B(0,2)，那么与⊙M关于直线AB对称的⊙N的方程是________.

吉林韩兆峰

【变式4】(方法变式)由求点到直线距离变为求参数的范围

(改编)已知圆M:(x-5)2+(y-5)2=16，设点T(t,0)，圆M上存在一点P使∠MTP=30°,则t的取值范围是________.

甘肃彭长军

【变式5】(方法变式)求切线长变为求过圆内定点的最短弦长及最短弦所在直线的方程

已知圆C：(x-5)2+(y-5)2=16和直线l:(m+2n)x+(m-n)y-8m-10n=0(m,n∈R)，求直线l被圆C所截得的最短弦的长度及最短弦所在直线的方程.

河北赵伟娜

【变式6】(素养变式)曲线方程复杂化，落实逻辑推理的数学核心素养

A.曲线C表示两条直线

B.当r=4时，曲线C与圆M有2个公共点

C.当r=2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与曲线C有4个公共点

D.当曲线C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4，+∞)

【答案】AC

安徽王玉佩张超

【母题2】(2020·全国卷Ⅰ理·11)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )

A.2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

【试题分析】考查知识：直线与圆的位置关系及面积相关知识;解题方法：数形结合、化归与转化思想;综合素养：直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.

【答案】D

江西叶新波

【变式1】(知识变式)求直线方程变为求长度、角度范围及直线过定点问题

(多选题)已知圆M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l：2x+y+2=0,P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA,PB，切点为A,B,则( )

B．存在点P，使得∠APB=90°

C．直线AB经过一个定点

D．线段AB的中点在一个定圆上

【答案】BCD

安徽王玉佩张超

【变式2】(方法变式)基于点到直线距离公式进一步求方程

已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当M到直线AB的距离最大时，直线AB的方程为( )

A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

【答案】D

甘肃彭长军

【变式3】(方法变式)通过|PM|·|AB|取得最小值的条件进一步探寻切点弦，求△QAB的面积的最大值

已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点，Q为⊙M上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB,切点为A,B.当|PM|·|AB|最小时，△QAB的面积的最大值为________.

江西叶新波

【变式4】(素养变式)融入参数方程，处理数量积和面积问题

已知点A(2,0)，B(0,2)和点P(cosθ,sinθ)，θ∈R.给出下列四个结论：

其中所有正确结论的序号是________.

【答案】①②④

安徽王玉佩张超

【变式5】(素养变式)融入距离和绝对值函数

已知⊙M：x2+y2-4x-2y+1=0，直线l：2x+y+2=0，P为y轴上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，切线长为d1.设点P到直线l的距离为d2，当d1+d2取最小值时，P的纵坐标为( )

【答案】A

二、圆锥曲线的几何性质

甘肃彭长军

【试题分析】考查知识：椭圆的标准方程与性质，直线与圆的位置关系及简单几何性质，点到直线的距离公式以及点与曲线的位置关系等；解题方法：推理运算及数形结合思想；综合素养：数学运算及逻辑推理核心素养.

甘肃彭长军

【变式1】(知识变式)把圆换成抛物线

甘肃彭长军

【变式2】(知识变式)把直线与圆相切变为直线被圆截得的弦长为c

甘肃彭长军

【变式3】(知识变式)把椭圆换成双曲线

甘肃彭长军

【变式4】(素养变式)把直线与圆相切变为直线与圆相交，把求斜率及离心率的值变为求其范围

安徽朱益

【试题分析】考查知识：圆锥曲线的几何性质与平面几何知识综合；解题方法：数形结合思想；综合素养：数学运算与逻辑推理核心素养.

【答案】D

安徽朱益

【变式1】(知识变式)定点变为动点

【答案】D

陕西韩红军

【变式3】(知识变式)“AF⊥BF”变成“MF1⊥MF2”

【答案】D

河北赵伟娜

【变式4】(知识变式)将垂直(90°)变为120°

【答案】C

安徽朱益

【变式5】(方法变式)巧用平面几何知识，化繁为简

【答案】A

河南赵先举

【变式6】(方法变式)基于椭圆的定义融入椭圆的对称性

陕西韩红军

【变式8】(素养变式)“AF⊥BF”变成“sin∠ABF1≤2sin∠BAF1”

安徽吴志勇

【母题3】(2016·全国卷Ⅲ理·20节选)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.若点F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ.

【试题分析】考查知识：抛物线定义与性质、直线与抛物线位置关系；解题方法：过焦点弦直线AB满足yAyB=-p2.将直线AR和直线FQ的斜率用A或B的坐标表示，证明斜率相等.综合素养:考查逻辑思维能力、以及对设而不求解题思想的应用能力.

【答案】证明过程略

甘肃彭长军

【变式1】(知识变式)基于抛物线的定义变式

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点F与抛物线交于A,B两点，A,B在准线上的射影分别为P,Q,连接PF,QF分别交y轴于G,H，连结AG并延长交准线于M,证明：M,H,B三点共线.

【答案】证明过程略

安徽吴志勇

【变式2】(知识变式)将向量知识与抛物线几何性质相结合是本题的命题思想

【答案】3

安徽吴志勇

【变式3】(方法变式)光学与焦点弦性质探究

已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，直线AB经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，过A,B两点分别作x轴的平行线交抛物线准线于P,Q两点.若准线上存在一点R，满足AR∥FQ，证明：AR⊥PF.

【答案】证明过程略

安徽吴志勇

【变式4】(素养变式)判别式法与复合函数求斜率相结合

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A,B两点，过点A的直线l2交C于另一点D，交x轴的正半轴于点E，且|FA|=|FE|.若抛物线C在点B处的切线为l3，证明：l2∥l3.

【答案】证明过程略

江西邹荣华

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB

【试题分析】考查知识：椭圆的定义与性质；解题方法：通过直线与圆锥曲线联立建立直线斜率关系，运用通性通法解决问题，综合素养：数学运算与逻辑推理核心素养.

(2)证明过程略

河南赵先举

【变式1】(知识变式)圆锥曲线变为抛物线

(1)求抛物线C的方程；

(2)当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q，使得∠AQP=∠BQP，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)y2=2x；

(2)x轴上存在点Q(-2,0)，使得∠AQP=∠BQP

江西邹荣华

【变式2】(知识变式)由角相等问题变为圆锥曲线中面积问题

【答案】证明过程略

甘肃彭长军

【变式3】(方法变式)由角相等问题变为存在性问题

江西邹荣华

【变式4】(方法变式)条件与结论互换

【答案】存在M(2，0)，使∠OMA=∠OMB恒成立

河南赵先举

【变式5】(素养变式)角度相等变为二倍角关系

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线y=kx+m(km≠0)与椭圆C交于A,B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N,O为坐标原点.如果∠MOP=2∠MNP成立，求k的值．

江西邹荣华

【变式6】(素养变式)由角相等问题变为定值定点问题

三、圆锥曲线定点与定值问题

河北赵伟娜

【母题1】(原创)已知抛物线y2=16x，若不过原点O的动直线l与抛物线交于M，N两点，且OM⊥ON，则直线l过定点________.

【试题分析】考查知识：直线与抛物线位置关系；解题方法：方程思想的应用；综合素养：数学运算与逻辑推理核心素养.

【答案】(16，0)

江西邹荣华

【变式1】(知识变式)类比母题更换已知条件进行变式

已知抛物线C:y2=16x，不过坐标原点O的动直线l与抛物线C交于M,N两点，P在线段MN上，若OP⊥MN且|OP|2=|PM||PN|,直线MN是否过x轴上的定点？若是求出定点，若不是说明理由.

【答案】直线MN经过x轴上的定点(16,0)

河北赵伟娜

【变式2】(知识变式)先有定值再求定点

(原创)已知抛物线y2=16x，过原点O作两条直线l1，l2，分别与抛物线交于M，N两点，且l1，l2的斜率k1，k2满足k1·k2=2，则直线MN过定点________.

【答案】(-8，0)

甘肃彭长军

【变式3】(知识变式)先过定点再求定点

过抛物线C：y2=16x的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点且直线l与x轴不垂直，若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标.

【答案】直线BD恒过点(-4，0)

河北赵伟娜

【变式4】(方法变式)先过定点再求定值

【答案】-48

广东周艳祖

【变式5】(方法变式)换斜率积为和

【答案】证明过程略

辽宁蔡明天

【变式6】(素养变式)原点变式为抛物线上普通点

(改编)抛物线C的方程为：x2=8y,点P(4，2)，直线l与抛物线C交于异于点P的A,B两点，以线段AB为直径的圆经过点P．问：直线l是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】直线l过定点(-4,10)

辽宁蔡明天

【变式7】(素养变式)直线过定点隐含到其他(本题是面积比)问题

(1)求椭圆C1的标准方程；

广东周艳祖

【变式8】(素养变式)抛物线拓展到椭圆

【解题策略】证明过程略

山东李俊岭刘慧

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)过点P(4，0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A,B两点，与直线x=1交于点Q，点M满足MP⊥x轴，MB∥x轴，求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值.

【试题分析】考查知识：椭圆的标准方程、离心率、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、直线的斜率等知识；解题方法：坐标法、数形结合、化归与转化，由特殊到一般等数学思想方法的应用；综合素养:直观想象、数学运算、逻辑推理等数学素养.

山东李俊岭刘慧

【变式1】(知识变式)由椭圆背景到抛物线背景的变式

已知过点P(-1，0)且与x轴不重合的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，与直线x=1交于点Q，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M,求证:直线MQ与直线MA的斜率之比为定值.

山东李俊岭刘慧

【变式2】(知识变式)基于调合线束变化的变式

【答案】kAM+kBM=-1

山东李俊岭刘慧

【变式3】(方法变式)调换调和点列中的点确定点M

山东李俊岭刘慧

【变式4】(素养变式)对原问题进行逆向思考

【答案】过定点(4，0)

山东李俊岭刘慧

【变式5】(素养变式)对原问题换一种问法

【答案】证明过程略

山西李小丽

(1)求C的标准方程；

(2)过点P(0,1)的两条直线分别和C交于不同两点A，B(A，B异于点P且不关于坐标轴对称)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1，试问直线AB是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【试题分析】考查知识：本题为圆锥曲线中的定值定点问题，属于综合问题，几乎考查圆锥曲线的所有知识；

解题方法：参数法(圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题.设参数有两种情况，一种是设点的坐标，另一种是设直线的斜率)；从特殊到一般法：(如果要解决的问题是一个定值或定点问题，而题设条件又没有给出这个定值或定点，那么我们可以这样思考：由于这个定值或定点对符合要求的特殊情况必然成立，那么我们可以根据特殊情况先找到这个定值或定点，明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明)；

综合素养：本题考查数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养.