第二届命题征集活动优质创新试题选登

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【创新点分析】本题主要考查学生对三角公式、正余弦定理的灵活应用与三角函数恒等变换的能力，善于从“角”“名”“幂”“形”等方面，通过分析差异、建立联系，对不同的已知条件实施变换与化简，最后化归为所求问题.第(2)问两种方法实际上代表着解三角形的两种主要策略的应用，即“化边为角”与“化角为边”，体现出等价转化、整体代换等数学思想与方法.

【试题亮点】通过变换条件来考查化简能力，通过几种不同的转化途径来比较解法优劣，能有效地引导学生在限时的状态下快速选择最佳解决问题的办法.

(作者单位 姓名：武汉市第十四中学 冯爱龙)

【原创试题2】在经济生活中，市场如果不受外界干预，当商品的价格上升时，消费者对这种商品的需求量会受到抑制﹐从而对这种商品的购买量就下降，消费者需求量与商品价格构成函数关系；相反，商品的价格越高，生产者的生产积极性越高，从而对这种商品的供给量就上升，商品的供给量与商品的价格也构成函数关系．价格下降对需求和供给的影响正好相反.经济学家在研究供求关系时，用纵轴P表示产品价格，用横轴Q来表示产品数量，如图将需求曲线与供给曲线放在同一坐标系中，一升一降的两条曲线交于点E，这个点刻画的是市场供需均衡点．下列说法错误的是( )

A．曲线D表示需求曲线，曲线S表示供给曲线

B．如果商品的价格P′>P*，需求量将由Q*减小到Q′D，而供给量将由Q*增大到Q′S，这就会造成供大于求，过剩量为Q′S-Q′D，市场压力将迫使商品的价格下降

C．如果商品的价格P″

D．市场力量的调节作用会使商品的市场价格趋于P*

【解题思路】根据题意，曲线D表示需求曲线，曲线S表示供给曲线，故ABD正确；

根据图形，如果商品的价格P″

故选C.

【创新点分析】本题的载体是供给需求曲线，是北师大必修一版本教材课后阅读材料，这一素材往往被老师、学生所忽视.供给曲线(supplycurve)是以几何图形表示商品的价格和供给量之间的函数关系，是经济社会生活的基本常识，但供给曲线其实展示的是两个动态过程，对学生理解函数图象、阅读函数图象、提取图象信息能力有很高的要求，本题旨在让学生学会用数学的眼光认识世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，提升数学核心素养.

【试题亮点】以经济学中供需关系与价格关系为背景，背景取材好，通过两种曲线的变化考查学生读图、数据处理能力.

(作者单位 姓名：西安交通大学附属中学 石鸿鹏)

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

选②:设∠BOF1=θ，则∠AOB=π-2θ，

所以e=4.

【创新点分析】1.题型选择：本题为结构不良试题，题目所给的两个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的两个条件中，并没有哪个条件让解答过程繁杂.而且，命题者有意设置无论选择哪个条件，答案都是相同的.

2.题干材料设置：可选择的两个条件设置相似，都是两点：一是两条直线垂直；二是两个共线向量的关系式.

3.设问形式：以往高考题中求离心率的问题都是结构良好问题，本题设问形式比较新颖，一反常态，在条件处设置选择障碍，学生不可再定势思维，所以加大了考查难度.

4.考查维度：

难度分析：本题的难度与高考题中的第16题相仿.

区分度分析：本题以山西省平遥中学高三年级学生为测试样本，难度系数0.4，符合高考题16题的难度区间，区分度较好.

5.考查角度：本题看似考查双曲线的离心率，其实考查知识点较多，综合性较强.考查两条渐近线的对称关系，考查渐近线的倾斜角与离心率的关系，无论是选哪个条件，都涉及两个解三角形问题，选①，两次使用正弦定理；选②，两次使用正切公式.且无论选择哪个条件都会考查二倍角公式，选①，会用到正弦的二倍角公式；选②，会用到正切的二倍角公式的变形形式.

【试题亮点】离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至类型的变化，同时它还是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，近年来，离心率是高考常考知识点，涉及知识面广，综合性强，思路灵活，方法多样，能较好地考查数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养.

(作者单位 姓名：山西省平遥中学校 李小丽)

【原创试题4】光学中的费马原理是“光永远以时间最短的路径行进”.由费马原理可知，在同一均匀介质内，光行进的路径一定是直线；在不同的均匀介质中，光速不相等.如图，均匀介质甲和均匀介质乙的分界面m为直线，光从介质甲的A点出发，到达介质乙的B点.设光在介质甲与介质乙中的速度分别为c1,c2.点C为光路在两种介质的分界面的交点，l为过点C且与分界面m垂直的直线，AC,BC与l的夹角分别为θ1,θ2.设AE⊥m于点E，BF⊥m于点F.

【解题思路】(1)设AE=h1，BF=h2，EF=d，EC=x，

可以证明，y取最小值的充要条件是y′=0，

(2)设EC=x(0

整理得(x-3)(x3-5x2+4x-24)=0,

设f(x)=x3-5x2+4x-24(0

则f′(x)=3x2-10x+4,

令f′(x)>0得x∈(0,x1)∪(x2,+∞)；

令f′(x)<0得x∈(x1,x2),

所以f(x)在(0,x1),(x2,4)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，极大值点为x=x1，而x1∈(0,1)，

当x∈(0,4)时，f(x)<0恒成立，

故x3-5x2+4x-24=0在x∈(0,4)上无解，

所以原方程有唯一解x=3，即点C在线段EF上且EC=3.

【创新点分析】本题受新教材人教B版选择性必修第三册第101页拓展阅读材料的启发，考查了光的折射定律的证明和应用.折射定律是光学中的重要结论，但高中的物理课本中只给出折射定律的公式，并没有解释如何根据费马原理推导折射定律.本题第(1)问为教材中拓展阅读材料的内容，考查利用导数推导折射定律的过程，引导学生重视教材、重视基础知识；第(2)问是第(1)问的应用和拓展，利用光的折射定律确定光路，在解方程组的过程中依然需要求导分析函数的单调性和最值.总之，本题融合了导数的应用、解三角形等知识点，跨学科命题，体现了数学的严谨性与应用价值，考查了学生数学建模、逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.

【试题亮点】光的折射定律在高中物理教材中有涉及但不证明，本题跨学科命题，考查光的折射定律的证明及简单应用，将导数与函数的最值和解三角形综合，属于解答题中的较难题.