高考中平面向量问题的命题分析与变式研究

河南 石同民 徐慧霞

平面向量是一个好用的数学工具，把代数与几何紧密地联系在一起.应用平面向量可以在代数计算与几何图形性质之间灵活转化，所以平面向量是高考的必考点.

一、旧高考重知识

旧高考中平面向量一直作为简单题出现.导致各级各类考试命题对平面向量的研究不深入，平面向量试题千篇一律，缺少让人眼前一亮的好题.

(2020·全国卷Ⅰ理·14)设a,b为单位向量，且|a+b|=1，则|a-b|=．

【命题分析】题目命制的中规中矩，主要考查向量的基本运算，基本公式的应用.结合方程与方程组思想分析问题，可以有明确的解题思路，思考量和计算量都不大，是简单题.

(2021·全国乙卷理·14)已知向量a=(1,3),b=(3,4)，若(a-λb)⊥b，则λ=．

【命题分析】题目命制和2020年试题十分相似，主要考查平面向量坐标的基本运算，基本公式的应用.结合方程与方程组思想分析问题，可以有明确的解题思路，思考量和计算量都不大，是简单题.

【变式研究】比较高考试题可以看到，关于平面向量的问题结构相同，考点相近，难度不大.可以预测此类试题仍然是近似的问题，考点可以轮换，可以考夹角公式，可以考平行，可以考平面向量基本定理，也可以考共线向量基本定理，不会有大的变化.基于此，给出以下两道变式题：

变式1：(容易)已知向量a,b满足|a|=2|b|=2，a·b=1，则a与b的夹角为.

变式2：(中等)已知向量a,b满足a-b=(0，-3)，a+b=(2，λ)，若a⊥b，则λ=.

二、新高考重应用

随着新高考改革对应用性和创新性考查的加强，平面向量的考查逐步向理解与应用层次转化.随着考查要求的逐步提高，很多体现平面向量强大功能的题目开始出现.命题以平面图形为载体，结合平面图形的性质应用向量的知识解决问题，重视数形结合能力的考查.

A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-2,4) D．(-4,6)

【命题分析】题目命制的巧妙之处是在概念的结合点处命题，可以很好地考查学生分析问题，应用知识的能力.体现了结合平面图形的性质应用向量的知识解决问题的能力，重视数形结合能力的考查.能不能很好地分析问题的载体正六边形，应用正六边形的结构和数量关系是解题的关键，因此要顺利解决此问题不仅要掌握平面向量的有关知识，还要能够在平面图形中加以应用，灵活应用相关知识.

(2021·新高考Ⅰ卷·10)已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( )

故C正确；

【命题分析】从两种解题思路对比可以看出几何角度解决问题更简洁明了，所以命题人延续了2020年的命题思路，结合平面图形的性质应用向量的知识解决问题，重视数形结合能力的考查.能不能发现问题的载体单位圆，应用单位圆表示各个向量是解决问题的关键，因此要顺利解决问题不仅要掌握平面向量的有关知识，还要能够在平面图形中加以应用，题目对知识的灵活应用要求更高.

【变式研究】比较新高考试题可以看到，试题结构有变化，考点也有调整.主要是2021年试题比2020年的试题难度有所提高，位置更靠后，由单选题变成了多选题.但是也有明显的相同点，结合平面图形的性质应用向量的知识解决问题，重视数形结合能力的考查.可以发现平面向量考题大方向不会发生改变，还应该是以平面几何图形为载体，考查平面向量的性质与应用.故给出三道变式题如下：

【解析】解法1：当点D在AC上时，

变式3：(困难)(多选题)在△ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点，点O为△ABC内部一点，则下面结论成立的是( )

三、结束语