切线放缩法在不等式中的应用*

广东省广州市第十六中学(510080) 温伙其

若函数y=f(x) 在区间[a,b] 上有凹凸性, 可以利用它在点P(x0,f(x0)) 处切线y=f′(x0)(x-x0)+f(x0)进行放缩. 即当函数y=f(x) 的图象在区间[a,b] 下凹(f′′(x)＞0) 时, 有f(x) ≥f′(x0)(x-x0)+f(x0); 当函数y=f(x) 的图象在区间[a,b] 上凸(f′′(x)＜0) 时, 则f(x) ≤f′(x0)(x-x0)+f(x0). 这种思想可以实现以直代曲,化超越函数为一次函数,在中学数学有着广泛的应用.

一、利用指数函数切线放缩

指数函数y= ex在x= 0 处的切线方程为y=x+1,过点O(0,0)的切线方程为y=ex,通过它们的图象,我们得到两个切线不等式: ex≥x+1,当且仅当x= 0 时取等号;ex≥ex,当且仅当x=1 时取等号.

二、利用对数函数切线放缩

三、借助恒等式同时切线放缩

指数函数和对数函数同时进行切线放缩, 则有ex-lnx ＞(x+1)-(x-1) = 2, 进一步可得到不等式链: ex ＞x+1＞x ＞lnx+1(x ＞0 且x/=1).

四、借助三角函数进行放缩

上述四类切线不等式进行放缩,极大的简化了不等式的证明,起到化繁为简的作用. 在解题过程中,既强化数学中的化归与转化思想,又体现处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的高效方法.