常见二次曲线中斜率和或积为定值的性质探究

湖南省长沙市第一中学(410005) 李 鑫

一、试题呈现

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足. 证明: 存在定点Q,使得|DQ|为定值.

题1 第一问是过双曲线上一点A作两条弦AP和AQ,直线AP和AQ的斜率之和为0,则直线PQ的斜率为定值.题2 的第二问是从椭圆的上顶点P2作两条弦P2A和P2B,直线P2A和P2B的斜率之和为定值-1, 则直线AB过定点. 题3 的第二问是从椭圆上一定点A作两条互相垂直的直线AM,AN,其本质为AM,AN斜率之积为-1,解题的关键在于求出直线MN过定点. 这三道高考题分别为双曲线或椭圆上一定点作两条斜率和或积为定值的直线斜率为定值或直线过定点问题,现将这一问题进行一般化推广,得到常见二次曲线中的斜率和或积为定值的5 条性质.

二、推广探究

对试题一般化,得到如下性质:

二次曲线Γ:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 上一定点P(x0,y0),过P作直线PA,PB分别交曲线Γ 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.

三、性质证明及应用

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四、结束语

圆锥曲线中的定点、定值问题是历年高考考察的热点与难点, 要求学生具备较强的推理论证能力和运算求解能力.本文将圆锥曲线中斜率和或积为定值的性质进行一般化推广时含有多个参数,若选择将直线的方程代入二次曲线的方程,则计算过程十分复杂,很难处理. 因此在性质的探究过程中选用了齐次化联立,将直线的斜率作为一元二次方程的实根,利用韦达定理来建立根与系数的关系,从而得到直线过定点或斜率为定值. 齐次化联立在解决圆锥曲线中的斜率和或积为定值类问题时往往能够化繁为简、简化运算. 学生在解题过程中一定要认真分析、勇于尝试,多积累一些常用的解题方法和技巧,注重思维深度和广度的培养,不断提升自身解题能力和数学核心素养.