具有无穷共存吸引子的简单忆阻混沌系统的分析与实现*

秦铭宏 赖强 吴永红

1)(华东交通大学天佑学院,南昌 330013)

2)(华东交通大学电气与自动化工程学院,南昌 330013)

3)(武汉理工大学理学院,武汉 430074)

利用忆阻器构建特殊混沌系统是非常有趣且充满意义的,本文提出了一个存在无穷共存吸引子的四维忆阻混沌系统,该系统的形式较为简单却能够表现出复杂的动力学行为.本文利用数值仿真手段对系统进行深入研究,基于分岔图展现了参数影响下系统动力学行为演化过程,发现系统在不同的参数下,能够产生丰富的混沌吸引子与周期吸引子,在相平面图中观测到不同初始值下共存的无穷多形态各异的周期、混沌吸引子,且系统的状态变量的震荡幅度与初始值密切相关.最后,在电路实验中观测到与数值仿真一致的结果,说明了系统的存在性与可行性.

1 引言

忆阻器是反映磁通与电荷间关系的第四种基本电路元件[1],具备低能耗、纳米级尺度、非易失性存储等众多优秀特点,因而引起研究人员的广泛关注.多共存吸引子是普遍存在于自然和人造系统中的一种特殊现象,能够极大地提升系统的柔韧性和鲁棒性.忆阻器独特的非线性特点使得混沌系统易于形成多共存吸引子,因此,探讨运用忆阻器构建具有多共存吸引子的混沌系统有重要的研究价值.

目前已经有大量的多共存混沌系统被发现,其中一类是在已有的混沌系统中选取特定的参数使得吸引子破裂为多个独立的共存吸引子.如Li和Sprott[2]通过对Lorenz 系统进行分析,发现了其存在的蝴蝶吸引子在一定参数下能够破裂为两个彼此独立的单涡卷吸引子.Xan等[3]在数值仿真实验中观察到,广义三维Lü混沌系统的四翼吸引子在特定的参数下可以分裂成多组对称的共存吸引子的现象.构建多共存混沌系统的常用方法是采用控制手段增加混沌系统的平衡点的数量,从而使混沌系统产生多共存吸引子.文献[4]报道了一种基于绝对值函数与符号函数的偏移控制方法,该方法能够成倍地增加共存吸引子的数量,且在适当的条件下这些共存吸引子可以聚合为伪多涡卷吸引子.文献[5]报道了一个新四维Lü混沌系统,该系统具有隐藏吸引子且存在多共存现象等丰富的动力学行为.Yan和Xu[6]结合Silnikov 定理与多零点分段函数,构造了一个能够调节吸引子个数的多共存混沌系统.三角函数能够有效地增加混沌系统的平衡点数量,使混沌系统更容易产生多共存吸引子,如利用正弦函数可以构造具有无穷多共存吸引子的特殊混沌系统[7-9].一般来说,以增加平衡点个数的方式来设计多共存混沌系统所采用的非线性项主要为多项式乘积项、三角函数、符号函数、指数函数及它们的耦合项,而忆阻器的成功实现[10]让这一独特的新型非线性元件走进人们的视野.

作为一种特殊的非线性元件,忆阻器在构建多共存混沌系统方面的优越性一经发现就引来众多学者的关注,各种各样的忆阻混沌系统相继被提出与研究.部分学者从经典混沌电路出发,通过引入忆阻器或替换电路中的非线性元件来构造具有丰富动力学行为的新型混沌电路.Itoh和Chua[11]运用分段线性忆阻器替换Chua 二极管,提出了多个不同的Chua 振荡器电路.Muthuswamy和Kokate[12]设计出基于忆阻器的四维Chua 混沌电路,并对高维忆阻混沌电路进行了研究.Li和Zeng[13]结合分段线性磁控忆阻器与Twin-T 振荡器,创造了一种新型无电感非线性振荡器电路,并利用电路仿真实验证明了此振荡器的存在性.还有一些学者将忆阻器引入经典混沌系统中来构建更复杂、具有多共存的新型混沌系统.文献[14]报道了两种具有多分段二次非线性忆导函数的理想磁控忆阻器,将其对经典的蔡氏混沌进行改进,得到能够产生2N涡卷和2N+1 涡卷的忆阻多涡卷蔡氏混沌电路,并观察到共存的多涡卷混沌吸引子.Lai等[15]研究了一个具有无穷多共存吸引子的四维忆阻混沌系统,该系统存在无穷多不稳定平衡点与丰富的动力学行为,并结合单片机证实了系统的可行性.Li等[16]使用磁控忆阻器替换新四维Lü系统中的耦合参数,得到一个五维忆阻超混沌系统,该系统表现出依赖于忆阻器的初始状态的超级多稳态特性.此外,在神经网络中引入忆阻器也可以产生具有多共存吸引子的混沌行为.Lai等[17]用忆阻器代替记忆神经网络突触,使简单循环连接的神经网络产生了多吸引子共存的现象.文献[18]报道了基于双曲正切忆阻器突触的Hopfield 神经网络中存在的无穷多共存吸引子与复杂动力学行为现象,该系统能够产生无穷多个双涡卷吸引子,且单个混沌吸引子中双涡卷个数与系统参数密切相关.Lai等[19]对离散神经元系统进行了深入的研究,在引入离散忆阻器的神经元模型中发现了超混沌、无限多共存的隐藏吸引子等复杂的动力学行为,通过电路实验证明了系统的存在性,并且在图像加密应用中取得了不错的效果.由此可见,利用忆阻器探索多共存等特殊混沌系统具有极大的研究价值.

尽管使用忆阻器构造多共存混沌系统早已成为混沌研究的重要内容,但设计形式简单、动力学行为丰富的忆阻混沌系统仍是一项有趣且充满意义的工作.设计这类特殊的混沌系统可以从原系统与非线性项这两个方面入手: 原系统的数学模型越简单越有可能构造出低复杂性的新混沌系统;忆阻器作为一种独特的非线性元件使诸多混沌系统表现出丰富的动力学行为,将其作为非线性项引入原系统中可以拓展系统单一的动力学行为,使之产生多共存现象等复杂的动力学行为.因此,本文在一个简单的三维混沌系统的基础上引入三次型磁控忆阻器,设计了一个具有无穷多共存吸引子的新四维混沌系统,在参数改变时系统能够产生丰富的混沌吸引子与周期吸引子,在参数确定而初始条件变化时系统能够产生无穷多形态不尽相同的混沌吸引子与周期吸引子,且系统状态变量的震荡幅度与初始值密切相关.本文不仅通过数值仿真等手段研究了系统丰富的动力学行为,还在电路实验中得到与数值仿真一致的结果,由此验证了该忆阻混沌系统的存在性与可行性.

2 基于忆阻器的四维混沌系统模型

文献[20]中提出了一个三次光滑非线性磁控忆阻器,其数学模型为

其中p,q均为正参数;u,i,φ分别为流经忆阻器的端电压、端电流及磁通;W(φ)为具有电阻量纲的忆导函数.

2016 年,Li和Sprott[21]提出了一个极简的三维混沌系统:

式中,x,y,z为状态变量;a为系统参数.选择系统变量x作为忆阻器的控制电压,将整个忆阻输出项W(w)x作为负反馈控制引入到系统(2)的第一个方程中并将系统扩展至四维,可以得到具有丰富动力学行为的新忆阻混沌系统,在图1 中给出了系统(2)的电路原理图及忆阻输出反馈控制电路图,新系统的数学模型表述如下:

图1 原系统(2)电路原理图及忆阻输出反馈控制电路图Fig.1.Circuit schematic of the original system (2)and circuit diagram of the memristor output feedback control term.

其中a,b是系统参数.通过分析z2-ay-W(w)x,两个方程可知变量w取任何数值时均满足(3)式,因此系统具有无穷多个平衡点.令系统参数和初始值分别为a1.6,b0.5,p0.2,q0.1和[ 0.1,0.1,0.2,0.5],可观察到系统(3)的一个奇怪吸引子,其相平面的投影如图2 所示,系统(3)相较于原系统有更复杂的动力学行为且吸引子的结构也发生了一定的变化.通过计算得到系统的最大Lyapunov 指数与Lyapunov 维度分别为LE10.0805,DL3.030,显然系统(3)的吸引子是具有分形维数的混沌吸引子.

图2 参 数 a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1和初 值 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 时系统的相平面图 (a)x-y平 面;(b)x-z平 面;(c)y-z平面;(d)x-w平 面;(e)y-w平 面;(f)z-w平面Fig.2.Phase portraits of the system with parameters a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values [ 0.1,0.1,0.2,0.5] :(a)x-yplane;(b)x-zplane;(c)y-zplane;(d)x-wplane;(e)y-wplane;(f)z-w plane.

本文所提忆阻混沌系统的特点是数学模型相对简单且存在丰富的无穷共存吸引子现象,通过对比表1 中改进文献[22]所提出的极简混沌系统的忆阻系统,可知系统(3)不仅总项数较少且非线性项个数最少,系统仅通过两个非线性项实现了非常丰富的动力学行为.由此可见,本文提出的系统不仅在改造极简混沌后具备丰富的动力学行为且系统的构成仍保留较低的复杂性.

表1 系统(3)与部分同类型系统的对比Table 1.Comparison of system (3)with some systems of the same type.

3 基本动力学特性

3.1 耗散性

由系统(3)的状态方程可以得到:

3.2 平衡点稳定性

其中C为任意实数,所以w坐标轴上的点均为平衡点,由此可知系统具有一个线平衡点集.在平衡点处线性化系统(3),得到系统的Jacobian 矩阵如(6)式所示,为了更简便地表达平衡点的特征方程对特征方程的计算结果作如下化简rb+(p+qw2),fb(p+qw2),化简后平衡点集A 的特征方程如(7)式所示.

根据特征方程可知系统存在一个特征根λ00,受零特征根的影响,系统的平衡点为非双曲平衡点.系统的三个非零特征根如(8)式所示,其中9fr-2r3,当特征方程存在实部大于零的特征根时,系统的平衡点集是不稳定的,当λ1,λ2,λ3的实部均小于零时,此时可由中心流形定理[25]判定系统平衡点集的稳定性.

4 系统动力学行为分析

4.1 系统随参数变化的动力学行为演化分析

系统参数对混沌系统的动力学行为有十分重要的影响,依次选择参数a,p,q作为变量,采用分岔图、Lyapunov 指数谱、相平面图等仿真手段分析系统的动力学行为,着重展示系统随参数a变化的动力学行为演化过程.

选择a作为变化参数,设置系统(3)的参数b0.5,p0.2,q0.1 及初始条件为[0.1,0.1,0.2,0.5],在图3 中绘制了系统状态变量x随参数a在区间 [ 0,10] 变化的分岔图及Lyapunov 指数谱.通过分析图3 中的分岔图发现,系统随着参数a的增大出现了倍周期分岔、反倍周期分岔等现象和三个不同的混沌分岔区域,表明系统在不同的a值下呈现多种多样的运动状态.当参数a在区间 [ 0,0.35] 持续增大时,系统从周期态经过倍周期分岔进入混沌态,随后通过反倍周期分岔的方式进入到不同的周期轨道;当a∈(0.35,4.60] 时,系统(3)在a1.06附近由周期态快速过渡到新的混沌态,在经历一个周期—3 窗口后以反倍周期分岔的方式进入周期态;而在区间 (4.60,10] 内系统则通过倍周期分岔的途径,由周期态进入到另一个新混沌态.值得注意的是在各个混沌态中均存在若干大小不一的周期窗口,为了更直观地验证参数a对系统的影响,选取一些具有代表性的a值如表2 所列,采用相平面图展示系统随参数a的动态演化过程,图4 为表2 所对应的x-w相平面图.

图3 参数 b=0.5,p=0.2,q=0.1和初值 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 时系统随参数 a∈[0,10] 的分岔图(a)与Lyapunov 指数谱(b)Fig.3.Bifurcation diagram (a)and Lyapunov exponent spectrum (b)for system parameters a∈[0,10] withb=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

图4 系统参数为 b=0.5,p=0.2,q=0.1,初值为 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 时,表2 中不同 a值对应的 x-w相平面图 (a)a=0.1;(b)a=0.15;(c)a=0.155;(d)a=0.2;(e)a=1.6;(f)a=9.1Fig.4.x-wphase plane diagrams corresponding to different avalues in Table 2 for system parameterb=0.5,p=0.2,q=0.1 and an initial value of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] : (a)a=0.1;(b)a=0.15;(c)a=0.155;(d)a=0.2;(e)a=1.6;(f)a=9.1.

表2 系统参数为 b=0.5,p=0.2,q=0.1,初值为[0.1,0.1,0.2,0.5] 时,不同 a 值下吸引子类型及图像编号Table 2.Attractor types and image numbers for different a values with system parameter b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

令p作为变化参数,选取a1.6,b0.5,q0.1,初始条件为 [ 0.1,0.1,0.2,0.5],绘制出系统状态变量x随参数p在区间 (0,0.52] 变化的分岔图及Lyapunov 指数谱.随着p的增大,系统(3)从混沌态依次经过多个较窄的周期窗口与一个较宽的周期—3 窗口,最终以反倍周期分岔的方式快速过渡到周期态.同理,当系统参数为a1.6,b0.5,p0.2 且初始值为 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 时,绘制参数q在区间 [ 0.1,0.16] 内变化的分岔图及Lyapunov 指数谱.通过分析分岔图与Lyapunov 指数谱可知,随着q不断增大,系统总体上呈现由混沌态向周期态过渡的趋势,随着参数q的持续增加,系统逐渐稳定于两条不同的周期轨道,且在q0.107 附近存在一个周期—3 窗口.图5和图6 展示了系统随参数p与q变化的分岔图及Lyapunov 指数谱.

图5 系统参数为 a=1.6,b=0.5,q=0.1,初值为 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 时,系统参数 p∈(0,0.52] 的分岔图(a)与Lyapunov 指数谱(b)Fig.5.Bifurcation diagram (a)with Lyapunov exponent spectrum (b)for system parameters p∈(0,0.52] fora=1.6,b=0.5,q=0.1 and initial values of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

图6 系统参数为 a=1.6,b=0.5,p=0.2,初值为 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 时,系统参数 q∈[0.1,0.16] 的分岔图(a)与Lyapunov 指数谱(b)Fig.6.Bifurcation diagram (a)with Lyapunov exponent spectrum (b)for system parameters q∈[0.1,0.16] witha=1.6,b=0.5,p=0.2 and initial values of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

4.2 系统随初始值变化的丰富动力学行分析

在给定参数下系统因初始值的不同而最终形成不同的吸引子,这些吸引子即为共存吸引子[26,27].通过对系统(3)进行多次数值仿真发现了大量共存吸引子,一个具有代表性的例子是系统参数为a1.6,b0.5,p0.2,q0.1时,设置初始条件分别为 [ 0.1,0.1,0.2,0.5],[ 0.1,6.6,0.2,0.5]和[0.1,6.9,0.2,0.5]系统可以产生三种不同形态的混沌吸引子,在图7(a)中还绘制了此参数下共存的一些周期吸引子.保持参数b0.5,p0.2,q0.1 不变,系统(3)在不同的a值下同样能够产生多共存吸引子,如a0.2 且初始值为 [ 0.1,0.1,0.2,±0.5] 时系统共存两个结构相似的奇怪吸引子,其最大Lyapunov 指数分别为0.0447 与0.0412,此参数下还共存1 个周期—1,1 个周期—2,1 个周期—4 吸引子.当a6时,系统共存1 个周期—1,1 个周期—2和2 个混沌吸引子,另取系统参数a8 时也发现存在2 个周期—1,1 个周期—2,1 个混沌吸引子共存的现象.表3 列举了不同系统参数下的共存吸引子类型与图像编号,图7(a)—(f)为表3 中不同参数下共存吸引子的x-w平面相图.

图7 表3 中的不同系统参数下的共存吸引子的 x-w相平面图 (a) a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(b) a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(c)a=6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(d) a=8,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(e) a=2,b=0.6,p=0.5,q=0.1;(f)a=0.5,b=0.5,p=0.5,q=0.1Fig.7.x-w phase plane plots of coexisting attractors for different system parameters in Table 3: (a)a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(b) a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(c)a=6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(d) a=8,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(e) a=2,b=0.6,p=0.5,q=0.1;(f)a=0.15,b=0.5,p=0.5,q=0.1.

表3 不同系统参数下系统共存吸引子类型与图像编号Table 3.Coexistence of attractor types and image numbers for different system parameters.

进一步的研究发现当参数确定时初始值的变化能够使系统产生无穷多共存吸引子且系统的状态变量的震荡幅度与初始值密切相关,本部分利用x-w相平面图展示了参数为a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 时这一有趣的现象.保持系统参数不变,设置初始值为[0.1,0.1,α,0.5](-3.2 ≤α≤-2.1)时,系统(3)能够产生无限多共存的周期—1 吸引子,在图8(a)中展示了部分初始条件[0.1,0.1,α,0.5] (α=— 2.1,— 2.12,— 2.2,— 2.4,—2.6,— 2.8,—3,—3.1,—3.2)下所共存的周期—1 吸引子A1—A9;同理,系统初始条件为[0.1,β,0.2,0.5](β-1,0.1,1,2.2,3,3.8)时观察到共存的混沌吸引子B1—B6,如图8(b)所示.通过图8(a)可以发现,随着α的减小吸引子变得更小、更圆滑,在图8(a)中还展示了吸引子A1,A2的局部放大图,这说明了在恰当的α取值范围内的微小变化都可以产生一个共存吸引子,这种变化在B 系列共存吸引子中同样存在,由此可知系统对初始条件极为敏感,这也证明了系统(3)能够产生无限多的共存吸引子.

图8 参数 a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 时,系统(3)在不同初始条件条件下的A,B 系列多共存引子: (a)共存周期吸引子A1—A9;(b)共存混沌吸引子B1—B6Fig.8.The system (3)with parameters a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 has multiple coexisting chaotic attractors of series A and B under different initial conditions: (a)Coexisting periodic attractors A1—A9;(b)coexisting chaotic attractors B1—B6.

系统在确定参数下所产生无限多的共存吸引子与y(0),z(0),w(0)的取值密切相关,并且三者对于系统吸引子的产生有不完全相同的影响.选取系统的初始状态y(0)为控制变量,当参数为a1.6,b0.5,p0.2,q0.1 且初始状态为[0.1,y(0),0.2,0.5] 时,状态变量x在y(0)∈[-1,8] 的分岔图与对应的Lyapunov 指数谱如图9 所示.分岔图说明了系统(3)随着初始条件y(0)的变化时存在超级多不同的共存吸引子,观察Lyapunov 指数谱可知当y(0)在 [-1,-0.57],[-0.26,1.16],[ 1.83,4.65],[ 6.55,7] 区间内系统的主导的状态为混沌态.值得一提的是,经过数值仿真还发现当初始条件中的z(0),w(0)选取恰当的实数时,会造成系统状态变量x随y(0)变化的混沌分岔区域发生偏移的有趣现象.这种现象在z(0)或w(0)作为控制变量时也存在,当系统选取不同的系统参数时同样存在.针对这一现象,在图10(a)中给出了初始值为 [ 0.1,y(0),1,7] 时系统状态变量x随y(0)变化的分岔图,通过对比图9 可知系统的分岔区域从y(0)∈[-1,8] 变为 [ 10,20];图10(b)则展示了系统参数为a0.2,b0.5,p0.2,q0.1 且w(0)作为控制变量时系统在[0.1,0.1,0.2,w(0)](蓝色)与 [ 0.1,0.1,2,w(0)] (紫色)两种初始条件下随w(0)变化的分岔图,由图可知当y(0)与z(0)的数值变化时w(0)的混沌分岔区域也存在明显偏移现象.为了证明系统随初始值变化时存在大量不同的共存吸引子,在图7(a)中展示了参数为a1.6,b0.5,p0.2,q0.1 且初始条件为[0.1,y(0),0.2,0.5]时部分共存吸引子,而图7(b)中则给出了参数为a0.2,b0.5,p0.2,q0.1 且初始条件为 [ 0.1,0.1,0.2,w(0)] 时的一些共存吸引子.同一参数下,选取恰当的实数对初始状态量y(0),z(0),w(0)中任意两者进行赋值,则可以得到未被赋值的初始状态量的一个取值区间,这个特定的区间能够使系统产生多样的共存吸引子.因此,在确定的参数下利用系统(3)的这一特点能够产生无穷多的共存吸引子.

图9 参数 a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1和初始值 [ 0.1,y(0),0.2,0.5] 时,系统(3)随初始值 y(0)∈[-1,8] 的分岔图(a)与Lyapunov 指数谱(b)Fig.9.Bifurcation diagram (a)of system (3)initial condition y(0)∈[-1,8] for parameter a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial value [ 0.1,y(0),0.2,0.5] with Lyapunov exponential spectrum (b).

图10 系统(3)随初始值变化的分岔图 (a)参数 a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 且初值为 [ 0.1,y(0),1,7] 时,系统初始条件y(0)∈[10,20]的分岔图;(b)参数为 a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1和初值为 [ 0.1,0.1,0.2,w(0)] (蓝色),[ 0.1,0.1,2,w(0)] (紫色)时,系统初始条件 w(0)∈[-2,4] 的分岔图Fig.10.Bifurcation diagram of system (3)with initial values: (a)Bifurcation diagram of system initial condition y(0)∈[10,20] for parameter a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 with initial value [ 0.1,y(0),1,7];(b)bifurcation diagram of system initial condition w(0)∈[-2,4] for parameter a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values [ 0.1,0.1,0.2,w(0)] (blue)and[0.1,0.1,2,w(0)](purple).

综合以上分析可知,系统(3)对于不同的参数和初始值表现出不同类型的共存吸引子而参数与初始值所对应的分岔图又说明了共存吸引子的产生和变化,无穷多吸引子共存的现象意味着,系统对参数和初始值均显示出敏感性,这也证明了系统确实存在丰富的动力学行为.

5 电路实现

电路实现是混沌系统研究的重要内容之一,混沌系统能否实现硬件电路关系着其能否在实际应用中发挥作用,因此,本部分结合系统状态方程与电路理论设计出系统(3)的等效模拟电路,并通过电路实验证明了忆阻混沌系统的存在性与可行性.首先对系统并进行时间尺度变换,令ττ0t,其中τ0100,然后根据参数a1.6,b0.5,p0.2,q0.1所设计系统的电路原理图如图11 所示,该电路采用线性电阻、电容、运算放大器、模拟乘法器等电路元件.其中,运算放大器所选择的工作电压为±15 V,乘法器的输出增益为0.1,反相器电路中的电阻为Ri(i9,10,11,12,13,14,15,16)10 k Ω,电容为Ci(i1,2,3,4)100nF.根据电路原理图及基尔霍夫定律可以得到系统的状态方程如(9)式所示.经计算得R10.5 kΩ,R26.25 kΩ,R350 kΩ,R40.25 kΩ,R5R6R810 kΩ,R720 kΩ.根据所设计的电路进行电路实验的结果如图12 所示,在示波器中观察到的波形图与图2所示的相平面图一致.

图11 忆阻系统电路原理图Fig.11.Circuit schematic of the memristive chaotic system.

图12 电路实验结果图 (a)—(d)示波器中 x-y,x-z,y-z,x-w相平面图Fig.12.Plots of experimental results of the circuit: (a)—(d)the x-y,x-z ,y-zand x-w phase planes in the oscilloscope respectively.

6 结论

本文通过引入磁控忆阻器在一个极简的三维混沌系统的基础上,设计出一个形式较为简单却具有丰富动力学行为的四维忆阻混沌系统,系统(3)在不同的初始值下表现出无穷多周期、混沌吸引子共存的现象,且系统的状态变量的震荡幅度与初始值密切相关.通过数值仿真实验发现,系统随参数变化能够产生多样的混沌吸引子,当参数确定而初始条件变化时,系统则可呈现出无穷多混沌吸引子与周期吸引子共存的现象.此外,以系统状态方程与基尔霍夫定律为基础,设计出忆阻混沌电路图并通过电路实验得到与数值仿真一致的结果,进而验证了该忆阻混沌系统的存在性与可行性.混沌系统在保密通信、数字信号处理、雷达通信等诸多领域具有重要的应用潜力,而系统(3)存在的丰富的多共存行为使其在这些领域的应用中能够提供更多的可能性.同时因多共存态的存在,使得系统能够表现出较好的柔韧性和鲁棒性,具有多种正常运行模式而表现出对工作环境变化的极强的适应性.此外,从弹簧振子、星型齿轮传动系统、生物神经网络等实际问题中也能够构建出极具研究价值的多共存混沌系统.事实上,利用忆阻器构建多共存混沌系统的研究仍未成熟,此类混沌系统还有很多现象、机理仍未被学术界完全掌握,故由忆阻器构建的多共存混沌系统仍有极大的发展空间与研究价值.