解决复阶星形函数子类系数估计的猜想研究

徐 璇，吕龙波

(宜春职业技术学院，336000，江西，宜春)

1 介绍及引言

令R是实数集合，C是复数集合，N是正整数集合。

(1)

并在开单位圆盘U={z∈C:|z|<1}中解析的函数类。

文献[1]中的结果如下。

定理1：令参数A、B、λ、γ，整数m，-1≤B

假设

|γ(A-B)-B(m-2)|≥m-2

(1)

则

定理2：令参数A、B、λ、γ，整数n，-1≤B

|γ(A-B)-B(n-2)|≥n-2

(2)

并且函数f(z)如式(1)所定义，若f∈K(λ,γ,A,B)，则

这个估计是精确的。

定理3：令参数A、B、λ、γ，整数n，-1≤B

假设

|γ(A-B)-B(n-2)|≥n-2

(3)

这个估计是精确的。

近年来，各位学者对单叶解析函数的性质研究相对较多，并得到了相应函数的系数估计，可见文献[2-5]。熟知，Fekete-Szegö问题主要是研究单叶函数的Taylor展式的第2项和第3项的关系，其研究背景是著名的Bieberbach猜想。1985年，历时68年之久的猜想Bieberbach得到证明，成为20世纪最重要的数学事件之一。此后人们对Fekete-Szeg?问题的研究兴趣转向单叶函数的重要的子族，并得到许多有趣的结果，详情可参看文献[2,6-10]。

本文利用各种函数类的Fekete-Szeg?不等式，除去定理1中的条件(1)，去掉定理2的条件(2)，去掉定理3的条件(3)，得到以下函数的系数估计。

2 主要结果

定理4：令参数A、B、λ、γ，整数m，-1≤B

(4)

证明：利用归纳法的原理m∈N{1}。事实上，对于m=2，式(4)是成立的。假设

对于一些固定的正整数m∈N{1}成立，显然得到

在m∈N{1}由数学归纳法的原理完成了定理4的证明。

(5)

这个估计是精确的。

证明：由于f∈K(λ,γ,A,B)，存在一个Schwarz函数w(z)，在U中解析，有w(0)=0,|w(z)<1|(z∈U),使得

即

因此有

写成以下形式

在U中明显收敛，注意到|w(z)|<1(z∈U)，因此，由Parseval′s定理，得到

相当于

(6)

因此得到当k=n，

定理5中不等式的估计成立。

定理6：令参数A、B、λ、γ，整数n，-1≤B

定理6中不等式的估计成立。

f∈S(λ,γ,1-2β，-1)=SC(γ,λ,β)，

则