谐波减速器凸轮磨削加工误差原因分析与改进方法

谷甲甲， 石立腾， 唐江枫

（广东省高性能伺服系统重点实验室 珠海格力电器股份有限公司， 广东 珠海 519070）

0 引言

谐波减速器具有传动比大、体积小、传动精度高等优点被广泛应用于工业机器人、航空航天、雷达、医疗器械等领域[1-2]。谐波减速器主要由波发生器、柔轮和刚轮三大部件组成，波发生器使柔轮产生可控的弹性变形波，通过与刚轮的互相作用，实现运动和动力的传递。波发生器是由柔性轴承和具有特定几何外轮廓的凸轮组成， 凸轮的外轮廓与柔性轴承的内圈配合迫使柔轮轴承变成凸轮的等距线，因此凸轮的外轮廓直接影响波发生器的形状。谐波减速器的传动性能受波发生器作用下的柔轮波动变形影响， 因此提高凸轮外轮廓的加工精度对谐波传动至关重要[3]。 谐波减速器凸轮量产通常采用专用随动磨床磨削加工，这些专用磨床一般是在FANUC 数控系统的基础上开发一些优化模块， 能够高效率加工各种廓线类型的凸轮结构。 受限于专用磨床设备资源，在研发阶段采用普通随动磨床加工凸轮也是常见的方式， 本文以某款谐波减速器凸轮为例， 阐述设备A 试制过程中加工误差出现的原因及其相应的处理方法。

1 凸轮加工误差的研究方向

凸轮加工误差的类别主要有三类[4]：机床及加工工艺系统误差、数控系统误差、编程误差。 由于凸轮加工采用高速砂轮进行磨削， 因此加工过程中磨削颤振对凸轮表面加工质量的影响是不能忽略的。 刘涛等[5]基于非圆轮廓磨削几何运动学特性，将“工件-砂轮”系统进行等效简化建立了非圆轮廓磨削加工的动力学模型， 研究结果表明磨削加工不同轮廓位置时的振动状态存在明显差异。吴克坚等[6]从加工工艺系统误差方向研究了磨削加工过程中由于砂轮半径变化、X 轴对刀误差、C 轴对刀误差， 并对如何减小这类误差提供了解决措施。刘雄伟等[7]从控制电路、伺服系统等方面研究了数控系统误差。 刘平等[8]从逼近误差、插补误差、圆整误差三个方面研究了编程误差及对策。 在凸轮加工在线补偿方面，杜柳青等[9]通过建立凸轮X-C 轴联动加工通用补偿模型，为凸轮类零部件加工在线补偿提供了可行方案。 在非圆随动磨削运动模型方面，俞红祥等[10]提出多轴随动磨削控制方式来提高磨削加工精度。

本文主要从凸轮磨削点位形成原理出发， 分析设备A 在磨削谐波凸轮时，始终存在加工误差较大的问题，对该问题产生原因进行分析并提出改进方法。

2 各点位形成原理

2.1 模型概述

本文以某型号谐波减速器的凸轮为研究标的。 该凸轮是余弦型凸轮，轮廓方程为

式中：设备A 所采用的砂轮半径rr为250mm，θ 为凸轮廓线关于凸轮长轴的极角。

2.2 误差形成原因

通过查阅相关资料，设备A 的算法中，砂轮的中心轨迹是FANUC 系统自动计算出来的，只需要给出工件轮廓的坐标和砂轮的半径，利用FANUC 的刀具半径补偿来实现。 该砂轮中心O1的运动轨迹是凸轮理论廓线的等距线， 即采用在凸轮回转中心与待加工点连线方向等距增大的方法生成的，见图1 所示。

对于凸轮类零件轮廓的磨削，砂轮中心O1沿凸轮理论廓线的等距线运动时， 砂轮外廓线与凸轮理论廓线不是相切关系而是相交关系（长轴和短轴处除外），导致工件被过度磨削（失真），如图1 所示。为使被加工出的凸轮廓线保真， 砂轮切削运动所形成的包络应为凸轮的理论廓线。 根据包络关系砂轮与凸轮理论廓线在C 点相切，砂轮中心O2在过C点的法线上，见图1。

根据图1 中的几何关系，凸轮廓线在θ 处的法线与极径的夹角μ 为

图1 砂轮磨削示意图Fig.1 Grinding wheel grinding

式中： ρ˙—凸轮廓线极坐标方程关于极角θ 的一阶导数。

由余弦凸轮的对称性， 对其在0°～90°范围内凸轮理论廓线的法线转角变化规律进行研究。 以凸轮廓线的极角θ 为横轴，转角μ 为纵轴，见图2。

由图2 可知，在凸轮长轴（θ=0°）和短轴（θ=90°）时，凸轮理论廓线的法线与极径的夹角为0°，即此处砂轮与凸轮是相切关系不存在过度磨削现象；在其他位置凸轮理论廓线的法线与极径的夹角不为0°，变化趋势呈抛物线，砂轮与凸轮是相交关系存在过度磨削现象； 凸轮理论廓线的法线与极径的夹角在极角θ=45.507°处达到最大值2.0271°。

图2 凸轮理论廓线的法线与极径的夹角Fig.2 Angle between normal and polar diameter of theoretical cam profile

仅有上述的凸轮理论廓线的法线与极径的夹角，还不能确定砂轮与凸轮理论廓线的干涉程度， 即过度磨削量。 通过砂轮对凸轮理论廓线包络关系分析，采用周向和径向干涉量对过度磨削程度进行量化分析。

3 过度磨削量分析

3.1 周向干涉量

由图1 的几何关系， 处于O1点的砂轮与凸轮理论廓线的交点为C 和D，用∠COD=α 的夹角表示干涉范围，即周向干涉量

根据式（3）的求解结果，分析在不同极角θ 下砂轮与凸轮理论廓线周向干涉量变化规律。以凸轮廓线的极角θ为横轴，周向干涉量α 为纵轴，见图3。

图3 砂轮与凸轮理论廓线周向干涉量Fig.3 Circumferential interference of theoretical profile between grinding wheel and cam

由图3 可知，在凸轮长轴（θ=0°）和短轴（θ=90°）时，砂轮与凸轮理论廓线无干涉， 即此处砂轮与凸轮是相切关系不存在过度磨削现象；在极角θ=47.5°时，砂轮与凸轮理论廓线干涉范围达到最大为3.714°。

3.2 径向干涉量

径向干涉量是砂轮对凸轮的过度磨削评价的重要指标，根据图1 的几何关系对径向干涉量进行表征。 由图1的几何关系， 砂轮中心在极角θ 处的法线通过点O1和点F；点O 与点E 的距离为

由图4 可知，在凸轮长轴（θ=0°）和短轴（θ=90°）时，砂轮与凸轮理论廓线径向干涉量为0mm， 即加工此处时不产生干涉；在极角θ=46°时，砂轮与凸轮理论廓线径向干涉量达到最大为0.013mm。

图4 砂轮与凸轮理论廓线径向干涉量Fig.4 Radial interference of theoretical profile between grinding wheel and cam

4 改进方法

综合上述分析，砂轮中心处于点O1加工凸轮是不合理的将产生过度磨削现象，应使砂轮中心处于点O2。根据图1 中的几何关系，点O2的极坐标为

根据谐波减速器凸轮的结构特点以及设备A 磨削试制方案的特性，运用包络理论，计算在设备A 的砂轮半径条件下，不产生磨削干涉的砂轮中心运行轨迹式（10），然后在极坐标系中根据砂轮半径进行换算， 得到新的凸轮廓线点位式（11）。将新凸轮廓线输入设备A，设备A 将按照新凸轮廓线沿极径等距生成砂轮中心运行轨迹（即包络求出的砂轮中心轨迹）生成砂轮中心运行轨迹，即可得到符合要求的被加工凸轮廓线。

5 结论

非圆廓线上任一点的法线夹角和极角是非恒相等的，两者之间的关系不能混淆需要进行明确区分。 设备A没有能够实现复杂廓线的圆弧化离散功能， 而将余弦凸轮廓线简单的沿极径方向等距作为砂轮中心轨迹规划会造成很大的磨削干涉，引起最终工件尺寸误差较大。根据包络关系求出点O2作为砂轮中心的轨迹运动点，从而避免产生过度磨削现象。