基于特征值分解的直扩信号信息序列和伪码序列盲估计方法

叶 铃 沈伟国 徐建良 雷迎科

（1.国防科技大学电子对抗学院，安徽合肥 230000；2.中国电子科技集团公司第三十六研究所，浙江嘉兴 314000）

1 引言

直接序列扩频信号（Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS），因其具有良好的保密性、极强的抗噪声性能以及低截获概率被广泛用于卫星、雷达、超短波、水声信道等以及各种民用和军事领域中。随着扩频通信的广泛应用，作为非协作方对直扩信号进行检测、参数估计成为了当务之急，具有重要的意义。扩频序列是直扩信号的关键参数，是实施干扰、以及相干解扩的首要条件，而信息序列则是非协作方进行解扩的最终目的，是信息解密的关键。

目前DSSS 信号伪码序列的估计方法主要有Massey 算法［1］、三阶相关算法［2］、基于FAST-ICA 算法［3］和矩阵分解算法［4-5］、最大范数法［6-7］等。Massey算法主要用于估计线性反馈移位寄存器序列，但是不能处理非线性序列的问题，抗噪性能不强。三阶相关算法主要通过三阶相关函数寻找峰值点，实现扩频码本原多项式的估计，但是三阶相关函数的计算量较大，仅能实现m 序列的估计，且适应信噪比能力不强。基于矩阵分解算法能够有效估计伪码序列，并且可以适应多种扩频序列的类型，是直扩信号分析最常用的方法，但是矩阵分解算法对信号失步点精度要求较高，而本身矩阵分解算法对信号起始点估计的精度较差，对伪码序列估计性能有较大影响。最大范数法通过改变观测信号的起始点，寻找对应的最大Frobenious 范数的最大值估计失步点最终得到伪码序列的估计，但是最大范数法存在计算量大，同步时间长的问题。文献［7］提出了一种基于改进传播算子的PN 序列估计算法，算法具有计算量小的优点，但该算法存在抗噪性能不强的问题，仅能在信噪比大于0dB时实现失步点及PN序列精确估计。信息序列估计传统方法是先估计得到伪码序列再采用相关解扩的方式得到信息码的估计，文献［8］提出了一种利用观测矩阵右奇异向量直接估计信息序列的方法，但是该方法仅适用于三段信息序列正交的情况。

针对现有的低信噪比下失步点估计不准以及伪码序列盲估计准确率较低等问题，本文提出了一种改进的基于特征值分解的信息序列和伪码序列盲估计算法。算法对观测信号按照一倍的伪码周期进行分段，组成观测矩阵后构建第一类接收信号自相关矩阵，并对其进行特征值分解，利用特征值和失步点间的关系完成信号的失步点估计，随后再利用相关矩阵的特征向量完成对信息序列的估计。在此基础上，再构建第二类接收信号自相关矩阵，并对其进行特征值分解，利用矩阵最大特征值对应的特征向量完成伪码序列的估计。该方法不受伪码类型的限制，能够高精度的实现信号失步点的盲估计，有效的估计信息序列和伪码序列，并且对低信噪比条件具有很强的适应性。

2 信号模型

本文研究的DSSS 信号类型为短码直扩信号，信号具有一周期伪码扩展一位信息码的特点。信号通过加性高斯白噪声信道后，接收机接受到的基带信号模型为：

其中s(t) 为基带直接序列扩频信号，d(t)=为取值为{+1，}-1 且等概率分布的信息序列，信息码码片宽度为Tb，g(t)为宽度为Tb的矩形窗函数；p(t)=，其中bj为取值为{+1，}-1 的伪码序列，Tc为伪码码片宽度，q(t)为发射滤波器、信道冲激函数，接收滤波器的卷积；伪码序列的长度为N，由于扩频方式采用的是短码扩频，所以有扩频增益等于扩频码长度即Tb=NTc；n(t)是均值为0，方差为σn2的高斯白噪声，且与信号不相关。

在已知信号伪码序列周期Tb以及伪码宽度Tc的情况下，对接收信号按照采样间隔Ts进行采样，并按照一倍的伪码周期Tb对接收信号进行分段，段数为M。分段后每段信号可以表示为

其中ak、ak+1为两位连续的信息码，n(k)为第k段内包含的噪声向量，p1为一个长度L=Tb/Ts的向量，它包含持续期为（Tb-Tx）的伪码波形的后段，后面紧接着持续期为Tx的零值。p2为一个长度L=Tb/Ts的向量，它包含持续期为（Tb-Tx）的零值，后接持续期为Tx的伪码波形的前段。Tx表示每段信号内信息跳变的时刻，又称为失步时间。

对于包含M段数据向量的接收数据集，将数据矩阵定义为

其中N为噪声矩阵，S为有用信号矩阵

3 信号失步点及信息序列盲估计

3.1 自相关矩阵特征值分解

定义第一类接收信号自相关矩阵R1=AH A，假设信息码均匀分布且互不相关，可将自相关矩阵进一步表示为：

3.2 信号的失步点估计

对信号的自相关矩阵R1进行特征值分解后可以得到两个较大的特征值，根据式（11）两个较大特征值的表达式可以得到

3.3 信息序列盲估计

在3.2 节估计得到信号失步点后，可以根据信号失步点的值计算出t以及β1、β2的值，此时两个较大特征值对应的特征向量可以表示为

实际矩阵进行特征值分解时得到的特征向量都为正交归一化向量，模均为1，由此可以得到

因此，信息序列可以由两个特征向量的线性组合得到

根据矩阵的性质可知，矩阵R1为正定矩阵，因此最后估计得到的向量和可能会存在180°的极性模糊，又因为当Tx≠0 时，向量和的位置关系没办法确定。因此在完成估计后还需要去除两个向量的极性模糊和位置模糊。去除相位模糊和位置模糊的思量主要是利用a1和a2之间的关系，向量a1和a2如图1所示。

观察图1 可知，对向量a1和a2作互相关函数其峰值点会出现在时延等于1 处，反之对向量a2和a1作互相关函数峰值点则会出现在时延等于-1处，因此利用这个特性对向量和作互相关根据互相关函数峰值点的位置即可去除和之间的位置模糊，同时根据互相关函数峰值的取值为正还是为负，即可判断和是同号还是异号，即可去除向量的极性模糊。因此根据这一思想定义如下函数［8］

3.4 伪码序列盲估计

估计得到信号失步点后可以将接收信号进行同步，同步后可以保证信号的失步点为0。此时再次将信号按照伪码周期分段，分段后的信号可以表示为

其中p为一个向量，是由一个完整周期的伪码序列波形采样得到，向量长度L=Tb/Ts。此时的有用信号矩阵S可以表示为

其中a=[a1a2…aM-1]，在此基础上定义第二类接收信号自相关矩阵R2

4 算法实现步骤

Step1将采样后观测信号r的起始点t0在［0，L−1］之间滑动，得到一系列观测向量r（t0）。

Step2将观测向量分段排列后形成观测矩阵A（t0），随后求得自相关矩阵R1（t0）=A（t0）HA（t0）。

Step3对自相关矩阵R1（t0）进行特征分解，得到最大特征值λ1(t0)和次大特征值λ2(t0)，通过搜索函数f(t0)的最大值完成失步点的估计，失步点估计值=-arg maxf(t0)+L。

Step4对矩阵R1（0）进行特征分解，得到最大和次大特征向量，根据式（17）完成信息序列盲估计。

Step5根据失步点对信号进行同步，使用同步后信号构造相关矩阵R2。

Step6对相关矩阵R2进行特征值分解，提取R2最大特征向量完成伪码序列盲估计。

5 复杂度比较和仿真分析

5.1 复杂度比较

算法的复杂度主要包括两部分，即算法实现时需要用到的加法次数以及乘法次数，假设接收机接收到信号组数为M，伪码序列长度为N，实际应用中一般有M

本文算法在完成失步点估计时对矩阵进行了特征值分解操作，特征值分解操作的复杂度为O（M3）［11］，因此在估计信息序列估计时复杂度为O（NM3+MN2），估计伪码序列时的复杂度为O（NM3+NM2），各算法之间复杂度对比如表1 所示。根据表1 可知各算法复杂度与数据组数M和伪码序列长度N有关，其中数据组数M可以进行调节，而伪码序列长度N是固定的无法进行改变，实际应用过程中一般有N大于M，尤其在N取2047或4095等较长的长度时本文算法与特征值分解算法和最大范数法相比有复杂度方面的优势。与文献［8］算法相比本文算法复杂度略高，但是后续实验可以证明本文算法收敛所需组数M较小，在达到同样精度要求的情况下所需的数据组数M更小，所以在实际处理过程中二者复杂度相差并不大。

表1 算法复杂度对比Tab.1 Comparison of algorithm complexity

5.2 信号失步点估计仿真

短码直扩信号采用BPSK 调制，扩频码分别采用长度为255 和511 的m 序列。观测数据组数M=500，采样间隔为Tc，信号失步点为Tx均设置为80Tc。信噪比SNR 设置为−10 dB，信噪比的计算公式为SNR=，其中σs2为信号的方差。图1给出了式（14）所示失步时间估计函数的波形，图2（a）、图2（b）分别代表不同长度扩频码直扩信号的失步点估计结果，函数最大值处分别为175Tc和431Tc，根据式（15）可以计算得到两个信号的失步点均为80Tc，仿真实验证明本方法可以正确的估计信号的失步点。

5.3 信息序列和伪码序列估计仿真

短码直扩信号采用BPSK 调制，扩频码采用长度为255 的m 序列。观测数据组数M=500，采样间隔为Tc，信号失步点Tx为20Tc，信噪比取SNR=−10 dB。图3（a）和图3（b）分别给出了信息序列和伪码序列估计结果，结果表明本方法能够有效的估计出信号的信息序列和伪码序列。需要注意的是估计序列与原序列之间可能会出现180°的相位模糊，在没有其他信息的条件下，整体的相位模糊是无法消除的，但这并不影响用所估计到的序列来对接收解扩或发出干扰信号［12］。

5.4 估计性能分析

信号采用BPSK 调制，扩频码采用长度为255的m 序列，采样频率间隔为Tc，信号失步点Tx设置为80Tc，蒙特卡洛次数为300 次。各项性能指标定义如下：

信号失步点估计正确率（Pc）：

均方根误差：

波形相似度

图4（a）表示不同方法在不同信噪比下，不同方法估计信号失步点的正确率曲线，此时数据组数M=300，从图4（a）可以看出在算法准确度方面本文明显优于最大范数法和特征分解算法，与文献［8］算法相比也是本文算法占优，以估计正确率达到90%为标准，本文较其他算法性能提升2 dB 以上。图4（b）表示不同信噪比下估计信号失步点的均方根误差，从图4（b）可以看出，从算法的稳定性上来说本文算法也是最好。

图5（a）反映了各个算法的信息序列估计性能，图5（b）反映了各个算法的伪码序列估计性能。由图5（a）可知，本文算法明显优于最大范数法和特征分解算法，与文献［8］方法对比时，在较低信噪比下（小于−14 dB）本文算法性能略微低于文献［8］算法，但当SNR大于−14 dB后，本文算法性能优于文献［8］算法，并且此时的波形相似度可以达到1，相比之下文献［8］即使在信噪比较高的情况下波形相似度也无法达到1，这是由于其算法设计时仅考虑了特殊情况，本文算法解决了这一问题。观察图5（b）可知，本文算法在伪码估计性能方面要优于其他算法。

图6（a）表示起始点估计算法收敛（Pc>90%）所需的数据组数，图6（b）表示伪码序列估计算法收敛（波形相似度>90%）所需的数据组数，由于特征分解算法在低信噪比下无法达到相应的指标，所以本实验仅和最大范数法以及文献［8］算法进行对比。由图可知，本文算法收敛所需的数据组数要明显的低于最大范数法，与文献［8］所提算法相当，但在低信噪比条件下所需数据组数要明显少于文献［8］算法，由于实际截获的扩频信号长度往往是有限的，所以所需数据组数越少，实用性也越强。

6 结论

针对现有方法在低信噪比条件下估计失步点不准的缺点，本文提出了一种改进的基于特征值分解的方法。现有方法可以直接对伪码序列进行盲估计，但是仅能在各段信息序列相互正交的条件下对信息序列进行直接估计，本文改进后的方法在两段信息序列非正交的条件下也能实现信息序列的盲估计。同时本文提出的失步点估计方法可以实现低信噪比下失步点的精确估计。实验验证了本方法可以在低信噪比的条件下完成直扩信号的PN序列盲估计，同时算法收敛所需的信号组数也要明显的小于其他算法。在实际的直扩信号盲解扩过程中所需的信号长度最短，稳定性好，易于硬件实现。