基于封闭式鲁棒中国余数定理的两目标距离估计算法

曹成虎 赵永波

（1.西安邮电大学电子工程学院，陕西西安 710121；2.西安电子科技大学雷达信号处理重点实验室，陕西西安 710071）

1 引言

高重频的脉冲多普勒雷达（Pulsed Doppler，PD）的杂波谱具有较大的无杂波空廓区，因此高重频的PD 雷达能够利用目标回波的多普勒信息，在频域上有效实现目标和杂波的分离，以此增大目标在无杂波背景下的检测概率。但在远目标检测时存在距离模糊和距离遮挡，这对高重频PD 雷达的应用带来困难。为了消除距离模糊和遮挡，PD 雷达往往采用参差重频工作模式。目前，国内外学者提出了多种方法解决PD 雷达的目标距离模糊问题，比如余数查表法［1］，一维集法［2-4］和滑窗聚类法［5］等。文献［6］提出基于鲁棒中国余数定理的目标多普勒估计方法，该方法通过搜索试探法确定模糊倍数，从而保证了算法的稳健性，但是该算法计算量比较大。文献［7-9］提出了基于鲁棒封闭式的中国余数定理方法，该方法能够利用解析解对模糊倍数进行计算，进而对单个目标的距离进行重构。然而多目标距离估计存在视在距离和目标对应关系事先未知问题，给基于中国余数定理的多目标距离估计方法带来困难。文献［10-13］提出了基于中国余数定理的多目标参数估计方法，但是该算法对距离误差具有较强敏感性，不具备鲁棒性。文献［14-17］采用波形设计和编码来实现多目标距离的估计，但是该方法对多普勒频率比较敏感，不利于动目标的检测。文献［18］提出基于幅度辅助的中国余数定理多目标多普勒频率估计算法，利用目标回波幅度找到视在频率和目标的对应关系，进而依次逐个重构目标的多普勒频率。文献［19］提出基于多普勒辅助的中国余数定理多目标DOA 估计算法，利用多普勒信息实现视在相位和目标的配对，再通过解相位模糊实现目标DOA 的估计。但是上述两种基于中国余数定理的多目标参数估计方法完全依赖于目标的先验信息，在实际中目标的先验信息事先是未知的，因此缺乏实际工程应用的一般性。

本文结合脉冲多普勒雷达（Pulsed Doppler，PD）体制，在PD 雷达参差重频模式下，提出一种基于封闭式鲁棒中国余数定理（Closed-Form Robust Chinese Remainder Theorem，CFRCRT）的两个目标距离估计方法。该算法对视在距离具有很强的容错能力，能够在无任何先验信息辅助的情况下，实现两个目标距离的准确估计，而且该算法具有封闭式的解析解，相较于其他类似方法计算量大幅度减小，实时性可以满足工程需求。

2 目标距离估计模型

根据文献［9］，雷达发射脉冲探测远距离回波要经过若干个脉冲重复周期后才能够被雷达接收机收到，直接得到的测量距离是模糊的，即产生了距离模糊。由于PD 雷达发射信号的周期性，雷达接收的视在距离（即测量距离）和真实距离存在以下关系：

其中D表示目标的真实距离，du=cT2 表示工作在脉冲重复周期为T的最大不模糊距离（c 为电磁波的速度），表示具有误差的视在距离，mod表示求模运算，D，du和都是以距离单元为单位。一般情况下，PD雷达通常采用参差重频技术来解决距离模糊的问题。根据文献［9］，在多重频模式下，两个目标在各重频上测量的视在距离与真实距离均存在式（1）关系，即有如下同余方程组：

其中Dl(l=1，2)表示两个目标的真实距离，duk=(1 ≤k≤K)表示k重频下的最大不模糊距离，K表示不同重频的个数(1 ≤k≤K，l=1，2)表示有误差的视在距离，nl，k表示第l(1 ≤l≤2)个同余方程组的模糊倍数。基于封闭式鲁棒中国余数定理的两目标距离估计问题其实就是求解式（2）两个同余方程组。

3 基于封闭式鲁棒中国余数定理的两目标距离估计算法

定义两个集合：

且对于ωi≤ωj，νi≤νj，1 ≤i≤j≤K，ω1、ωK分别表示集合Ω1中最小、最大元素，ν1、νK分别表示集合Ω2中最小、最大元素，根据引理有结论：

对集合Ω1和Ω2中的元素做平均运算，即

估计式（3）中倍数，即

定义如下表达式：

综上所述，基于封闭式鲁棒中国余数定理的两目标距离估计算法的具体步骤为：

4 仿真实验及性能分析

为验证本文所提算法能够精确测量两目标的距离（分别从x和y方向），并且在实时性方面能够满足工程要求，设计如下仿真实验。根据文献［8］，各参差重频PRF所对应的最大不模糊距离为

其中RE表示目标的最大遮挡距离，Nk表示各重频下最大遮挡距离和各最大不模糊距离的倍数关系。根据文献［11］，能够估计的目标最远距离为，其中G表示各重频下最大不模糊距离的最大公约数，Δ表示Γk(1 ≤k≤K)的最小公倍数。

假设目标的最大遮挡距离为RE=1.48 ×104km，选取N1=2915，N2=2805，N3=2703，重频数K=3，各重频数值分别是f1=2.95 × 107Hz，f2=2.84 × 107Hz，2.74 × 107Hz，则能够测量的目标最远距离为77.1 km，工作在相应的脉冲重复频率下的最大不模糊距离分别是：du1=5.1 km，du2=5.3 km，du3=5.5 km。

为了验证本文所提算法能够精确测量两个目标的真实距离，定义均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）作为衡量算法性能的指标［18］。

其中P表示蒙特卡洛仿真次数且P=50；表示第p次蒙特卡洛实验中第l个目标距离的估计值；Dl表示第l个目标的真实值。

假设PD 雷达位于原点对相应的区域进行监视，设置理想情况下的远距离目标检测仿真情景。一个目标在第12 s 时刻出现在监视区域内，其初始位置为(-10 km，0 km)，目标在x方向做初始速度为1.175 km/s 的匀速直线运动，在y方向做初速度为2.012 km/s 的匀速直线运动。另外一个目标在第26 s 时刻出现在监视区域内，其初始位置为(0 km，-5 km)，目标在x方向做初速度为1.129 km/s的匀速直线运动，在y方向上做-1.872 km/s 的匀速直线运动。

图1给出了两个目标的真实运动轨迹，很明显，两个目标的真实距离都大于各个重频的最大不模糊距离，即目标距离的测量存在模糊问题。

图2 给出了本文所提算法在信噪比SNR=25 dB 的环境下对两个目标距离的估计值，其中视在距离都存在一定的误差。可以看出，所提算法能够比较准确地估计出每个目标的真实距离。表1给出了所提算法在时刻t=35 s 时对两个目标距离估计的具体数值。

从表1 中可以看出，所提算法能够从存在误差的视在距离中重构出两个目标的真实距离，表明了所提算法具有鲁棒性。

表1 两个目标在t=35 s时刻在三参差脉冲模式下的视在距离和估计距离Tab.1 Visual distance and estimated distance at time 35 s for two targets

一般情况下，信噪比越高，雷达利用脉冲压缩技术得到的视在距离的误差越小。图3给出了本文所提算法在不同信噪比环境下对两个目标距离的估计均方根误差曲线。可以看出所提算法能够在不同的环境中准确地实现两个目标的距离估计。

在信噪比SNR=14 dB环境下，不同多目标距离估计算法的估计精度如图4所示。可以看出，本文所提的基于封闭式鲁棒中国余数定理的两目标距离估计算法相较于其他两种算法（基于波形设计的两目标距离估计算法［16］和基于幅度辅助的CRT两目标距离估计算法［18］）具有更高的估计精度。

分别利用基于波形设计的两目标距离估计算法、基于幅度辅助的CRT 两目标距离估计算法和基于封闭式鲁棒中国余数定理的两目标距离估计算法对目标的距离进行测量，统计不同算法运行的累计时间，如图5所示。

从图5 可以看出相较于其他算法，本文所提算法能够以较小的运算量实现两目标距离的估计，这是由于本文所提算法具有封闭式简单的解析解，不需要搜索及目标配对等操作就可以得到两个目标距离的估计值。另外，相较于基于波形设计的多目标距离估计算法，本文所提算法对目标多普勒频率的变化具有稳健性。

5 结论

PD 雷达工作在高PRF 工作模式下，对远距离目标探测往往存在距离模糊。多目标距离估计由于其目标和视在距离对应关系事先无法确认，给基于CRT 算法的目标距离测量带来了困难。本文提出基于封闭式鲁棒中国余数定理的两目标距离估计算法，在视在距离存在误差的情况下可以快速准确地重构两个目标的真实距离。仿真结果证明了本文所提算法对两目标距离的估计精度、稳定性和计算效率都优于现有类似算法。

本文所提算法只适合于两个目标，对于三个及以上多目标距离估计还需要深入研究和解决［20］。另外，传统的雷达多采用先检测后跟踪的目标检测跟踪方式，而多目标的参数估计（包括速度、DOA、距离等）直接影响了目标跟踪的性能［21-25］，所以进一步提升PD 雷达（工作在高PRF 模式下）多目标距离估计精度是将来深入研究的目标。