多级行星齿轮机构的图形符号表示及同构判别

王均刚，杨士男，刘燕德，墨蕊娜

（1.华东交通大学机电与车辆工程学院，江西 南昌 330013；2.华东交通大学理学院，江西 南昌 330013）

1 引言

行星齿轮机构因具有结构紧凑、承载能力强、传动效率高等优点，在风能产业、船舶制造业、现代装甲车辆和冶金矿山机械等领域中已获得广泛的应用［1］。

自图论理论引入研究行星齿轮机构以来，国内外学者陆续提出了各类的图形模型，文献［2］首先利用图论理论研究行星齿轮机构的结构综合问题，但其图形模型未能够反映行星齿轮机构的结构特点，并且存在同构性难以判别的问题；文献［3］采用复接头运动链图进行行星齿轮机构的结构设计，该图形模型虽然能够与行星齿轮机构之间呈现映射关系，但行星齿轮机构的结构特点反映不明确；文献［4］在文献［3］的基础上提出规范图对行星齿轮机构进行结构设计；文献［5］基于功能离散法提出行星齿轮机构的拓扑综合法，通过拓扑演化和拓扑反演推导出行星齿轮机构的拓扑图谱和结构图谱，但是其拓扑反演过程比较复杂且各构件之间的拓扑关系表述不明确；文献［6］引入新三色拓扑图对行星齿轮机构进行结构描述，利用构态变换法进行构型设计，新三色拓扑图虽然能够表达出机构的整体结构特征，但是构件的区分度依然不明确，而且在构型设计过程中未对方案之间进行同构判别。文献［7］利用图论-邻接矩阵法对行星齿轮机构进行构型综合，采用邻接矩阵的特征值和特征向量对构型方案之间进行同构识别，由于不同构的行星齿轮机构的邻接矩阵也有可能具有相同的特征值，而且当出现较多相同特征值时，计算量会急剧增大，甚至会失效。在机构类型综合过程中，同构判别会极大地影响后续机构的方案筛选与性能分析，倘若没有进行同构判别，将会增加不必要的工作量；相反，倘若将非同构的结构类型误认为是同构的，将会导致失去新颖的传动方案。一直以来，国内外学者在机构同构判别领域进行了许多的研究工作，提出了一些有价值的方法，如基于特征值与特征向量法［8］、基于特征多项式法［9］、基于周长拓扑图法［10］、基于杆组邻接矩阵法［11］、基于人工神经网络的方法［12］等。文献［8-12］中主要是从运动链的拓扑图出发寻找同构的不变量，针对的研究对象大部分是平面铰链机构，对多级行星齿轮机构的研究文献还较少。

基于图论理论，在已有的研究基础上，提出了能够更加清晰地描述行星齿轮机构整体结构特征以及构件性质明确的拓扑模型，利用矩阵变化理论对多级行星齿轮机构的进行构型分析，并进一步提出多级行星齿轮拓扑构型方案之间同构判别的方法，为多级行星齿轮传动系统的系统化研究提供一些参考。

2 行星齿轮机构的图形符号表示

一般而言，行星齿轮机构是由行星排和机架构成的传动系统，而行星排包含太阳轮、行星轮、内齿圈以及行星架，同时各构件之间通过回转副，内啮合齿轮副以及外啮合齿轮副的方式进行联接，其结构相对复杂。对行星齿轮机构进行拓扑描述时，需要考虑以下两种情况：（1）拓扑模型反映的行星齿轮机构的整体性是否完整；（2）拓扑模型中各构件的区分度是否明确。

为了使拓扑图能够清晰地表示行星齿轮机构的结构信息，将行星齿轮机构各构件转化为不同的图形符号进行表示：（1）各构件描述符号：实心点（“●”）表示行星轮，（“”）表示双联行星轮；空心点（“○”）表示太阳轮；空心方框（“□”）表示行星架；实心方框（“■”）表示内齿圈；空心三角形（“△”）表示机架。（2）各构件之间的联接性质描述：实线表示回转副联接；单啮合线表示外啮合齿轮副联接；双啮合线表示内啮合齿轮副联接。根据上述对行星齿轮机构的各构件以及各构件之间的联接关系的拓扑描述描述，现建立2K-H型行星齿轮机构的拓扑模型，如图1所示。

图1 2K-H型行星齿轮机构的结构图及拓扑模型Fig.1 Structure Diagram and Topology Model of 2K-H Planetary Gear Trains

在机构综合过程中，拓扑图是以邻接矩阵的形式储存。行星齿轮机构拓扑图的邻接矩阵A是表示各构件联接关系的矩阵，其具体的联接关系可以通过矩阵中相应元素aij的数值大小来判断。行星齿轮机构的邻接矩阵A形式定义为：

式中：n—机构的构件数，矩阵元素aij（i、j=0，1，2，…，n），若构件i、j以回转副联接，则aij=1；若构件i、j以外啮合齿轮副联接，则aij=2；若构件i、j以内啮合齿轮副联接，则aij=3；若构件i、j以外啮合齿轮副联接且含有双联行星轮时，则aij=4；若构件i、j以内啮合齿轮副联接且含有双联行星轮时，则aij=5；其余，aij=0。例如，图1（a）所示的NGW型行星齿轮机构的邻接矩阵为：

3 多级行星齿轮机构的构型分析

行星排中的行星轮由于无法作为外力输入构件，因此其不能作为基本构件；根据组合理论，行星排中基本构件之间的组合型式可分为三类，即：（1）两组同名构件相连；（2）一组同名构件，一组异名构件相连；（3）两组异名构件相连。现以图1（a）中的两个NGW型行星齿轮机构为基础，依照行星排中基本构件之间的组合型式进行构型综合方案设计。例如，采取第（1）种组合型式分别合并太阳轮和内齿圈，首先建立其联合矩阵A1：

然后，利用矩阵变换法和矩阵消阶法，分别将联合矩阵A1的第6、第7和第10行和列中各元素之间的联接关系，相对应地转移至第1、第2和第5行和列作为新元素，并且消去第6、第7和第10行和列的元素得到终态矩阵A2：

由图2可以看出，从终态矩阵A2，可以得到综合后的多级行星齿轮机构的拓扑图和结构简图。两级行星齿轮机构，如图2所示。

图2 两级行星齿轮机构Fig.2 Two-Stage Planetary Gear Transmission

图3 两级行星齿轮机构构型综合方案Fig.3 Configuration Schemes of Two-Stage Planetary Gear Trains

4 多级行星齿轮机构的同构判别

4.1 同构判别的方法—Hamming矩阵法

Hamming矩阵可以判断同等构件数目的运动链之间是否同构，它是将运动链的Hamming数和各构件的Hamming值按降序的方式进行排列得到的特征数组作为判断指标，即各运动链的Hamming矩阵特征数组完全相同，则两运动链同构［13］（Hamming数是指Hamming 矩阵中所有元素之和，Hamming 值是指Hamming矩阵中各行的元素之和）。运动链的Hamming矩阵是在其邻接矩阵的基础上建立的，它也是对角线元素为零的n阶方阵，其中非对角线元素hij是通过逐列比较邻接矩阵的第i行和第j行的各元素，并对其执行异或运算进行确定，具体公式如下：

式中：aik、ajk—邻接矩阵A的各元素值。

例如，通过对比图1（a）所示的NGW型行星齿轮机构的邻接矩阵的第1行与第4行可以知：h14=（0）+（1+2）+（0）+（0）+（1+3）=7，经过计算其Hamming矩阵为：

各构件的Hamming值依次为H1=25、H2=23、H3=20、H4=34、H5=26，Hamming数为128，其特征数组为128［34-26-25-23-20］。

4.2 实例分析

现以图3中的方案2、方案3和方案6为例，进行同构判别的分析，通过式（2）可以分别求出该3种构型方案的Hamming矩阵：

经过计算，方案2的Hamming矩阵特征数组为：344［56-56-51-51-48-46-36］，方案3的Hamming矩阵特征数组为：344［56-56-51-51-48-46-36］，方案6 的Hamming 矩阵特征数组为：352［60-60-51-48-46-46-41］；由于方案2 与方案3 的Hamming 矩阵特征数组完全相同，因此可以确定方案2与方案3为同构运动链；经过逐一计算分析，图3中的两级行星齿轮机构的构型方案共有12种是非同构的，分别是：方案1、方案2、方案4、方案5、方案6、方案7、方案8、方案10、方案11、方案12、方案16、方案17。

5 结论

基于图论理论，提出的行星齿轮拓扑图法，可以在拓扑模型中清晰表示行星齿轮机构的结构特征、构件的区分度更加明确；利用矩阵变化理论对多级行星齿轮机构进行构型设计，根据拓扑转化规则，可简捷地推导出多级行星齿轮机构的结构图谱，并进一步提出多级行星齿轮机构构型综合方案同构判别的方法；可为后续的多级行星齿轮机构方案评价和优选工作提供基础。