径向基函数近似模型在车门轻量化中的应用

殷晓伟，张瑞乾，2，陈 勇，2

（1.北京信息科技大学机电工程学院，北京100192；2.北京电动车辆协同创新中心，北京100192）

1 引言

随着汽车数量的日益增加，环境污染和能源消费等新问题也日益严重。因此汽车企业中的一个重要研究项目就是汽车轻量化，其含义是指汽车在满足性能要求的情况下，有目标的减轻汽车自身的质量。轻量化也是降低汽车能耗、减少排放的最有效方法之一［1］。对于传统燃油汽车来说，有实验数据表明，汽车的油耗会随着汽车重量的降低而降低，而对于纯电动汽车来说，降低汽车重量，同样可以延长行驶里程［2］。因此，无论是新能源汽车还是传统燃油车都需要进行轻量化的研究。

近几十年，世界各国的著名汽车公司和大学学者在轻量化方面做出了大量的研究。文献［3］利用近似模型与NSGA-Ⅱ遗传算法对车门进行轻量化研究。文献［4］提出了一种基于连续Taguchi和TOPSIS-熵的多目标离散稳健优化算法，在满足性能要求的情况下实现了车门的轻量化。文献［5］提出一种基于6σ稳健性的轧制差厚板车门多目标优化设计方法，既获得了最优妥协解，也提高设计变量的可靠性和目标函数的稳健性。文献［6］建立径向基函数近似模型，并利用自适应模拟退火法进行优化求解，实现了白车身的轻量化。文献［7-8］建立Kriging近似模型，并使用合理的算法，在满足性能要求的情况下进行优化计算。因此，这里打算利用径向基函数近似模型并搭配遗传算法进行优化分析。

这里根据前门性能分析结果，对其过剩性能进行轻量化研究。首先利用试验设计对钣金件进行筛选，应用哈默斯雷采样法采集样本点用于构建径向基函数近似模型，再用拉丁超立方采样法采集样本点验证所建模型的准确性，最后利用遗传算法在满足模态和刚度要求的情况下进行轻量化计算。这种方法的优点在于近似模型的优化速度远快于实际模型，这对缩短优化时间很有帮助。

2 前门有限元模型的建立

在有限元软件中导入前门的数据模型，并划分网格。钣金件的网格大小选用8mm来进行处理。汽车前门共有50312个2D单元，其中三角形单元为2406 个，占总数的4.8%。网格处理好以后，对钣金件进行模拟连接。螺栓通过RBE2来模拟，粘胶利用adhesive来实现，焊点通过使用ACM来实现。汽车前门有限元模型，如图1所示。

图1 前门有限元模型Fig.1 Frontdoor Finite Element Model

3 模态分析

3.1 模态理论

对前门进行模态分析就是要了解汽车前门的固有振动特性，模态分析是车门分析的基础。

建立多自由度系统振动微分方程，其表达式为：

式中：M、C、K—质量、阻尼和刚度矩阵；X—位移向量；F（t）—激励力向量。

在计算自由模态时，C以及F（t）可以省略，因此，式（1）可简化为：

由于其振动方程为常系数线性齐次微分方程，因此其解可以表达为：

式中：X0—模态矩阵；

ω—固有频率；

φ—振动初始相位。

将式（3）带入式（2）中，经简化后可得：

通过式（4）可以求得特征值ω2，也就可以计算出固有频率ω。

3.2 模态分析结果

对前门进行自由模态分析，由于最大的影响来自于低频，所以重点观察前门的前2阶非零模态频率。利用OptiStruct对汽车前门模型进行模态分析的计算，模态结果，如图2～图3以及表1所示。模态频率目标值参考某汽车企业，通过观察可以看出，前门的模态满足使用要求。

图2 前门一阶弯曲模态Fig.2 Frontdoor First Order Bending Modal

图3 前门一阶扭转模态Fig.3 Frontdoor First Order Torsional Modal

表1 汽车前门模态Tab.1 Automotive Frontdoor Modal

4 刚度分析

车门刚度的大小对于汽车的密封性，安全性等性能有着重要的影响，因此分析车门刚度是有必要的。本次研究主要针对前门的扭转、下垂以及侧向刚度进行分析。在本次研究中，刚度大小通过观察加载点位移绝对值的大小来判断，企业一般要求在规定载荷下，扭转刚度加载点位移绝对值要小于6mm［9］，下垂刚度加载点位移绝对值要小于4.5mm［10］，侧向刚度加载点位移绝对值要小于6mm［9］。

4.1 扭转刚度分析

车门扭转刚度是指车门抵抗扭转变形的能力。首先要约束前门，对前门的两个铰链位置的六个自由度全部进行约束限制，对前门锁扣位置的三个平动自由度进行约束限制，然后在前门窗框的后下部施加一个900N 的载荷［9］，载荷的方向是由内向外。扭转刚度加载、约束方式和计算结果，如图4、图5所示。

图4 扭转刚度加载与约束方式Fig.4 Torsional Stiffness Loading and Constraint

图5 扭转刚度加载点位移Fig.5 Torsional Stiffness Loading Point Displacement

由图5可知扭转刚度加载点位移绝对值为3.103mm，前文提到位移绝对值应小于6mm，因此前门扭转刚度满足要求。

4.2 下垂刚度分析

车门下垂刚度表示车门抵抗自身重力和垂直载荷变形的能力。对前门的两个铰链位置的六个自由度全部进行约束限制，对前门锁扣位置的Y方向平动进行约束限制，然后在前门锁扣位置处施加一个800N的沿Z轴向下的载荷［10］。下垂刚度加载、约束方式和结果，如图6、图7所示。

图6 下垂刚度加载与约束方式Fig.6 Sagging Stiffness Loading and Constraint

图7 下垂刚度加载点位移Fig.7 Sagging Stiffness Loading Point Displacement

由图7可以看出，下垂刚度加载点位移的绝对值为4.065mm，前文提到的位移绝对值应小于4.5mm，因此前门下垂刚度满足要求。

4.3 侧向刚度分析

车门侧向刚度是指车门后上方位置抵御施加于车门主平面垂直方向载荷变形的能力。对前门的两个铰链位置的六个自由度全部进行约束限制，对前门锁扣位置的三个平动自由度进行约束限制，在前门后上方施加一个沿Y轴的200N 的载荷［9］，其方向为由内向外。侧向刚度加载与约束方式，如图8 所示。侧向刚度结果，如图9 所示。由图9 可知侧向刚度加载点位移绝对值为4.208mm，前文提到位移绝对值应小于6mm，因此前门侧向刚度满足要求。

图8 侧向刚度加载与约束方式Fig.8 Lateral Stiffness Loading and Constraint

图9 侧向刚度加载点位移Fig.9 Lateral Stiffness Loading Point Displacement

5 前门轻量化研究

通过前两节可以看出，汽车前门的性能完全满足使用要求，并且性能过剩，因此可以通过牺牲一部分过剩的性能来实现轻量化的目标。优化流程，如图10所示。

图10 汽车前门优化流程图Fig.10 Automotive Frontdoor Optimization Flowchart

5.1 试验设计

试验设计（Design of Experiment，DOE）是一种安排试验和分析试验数据的数理统计方法［11］。确定哪些变量对所设定响应的影响最大是试验设计的功能之一。因此可以通过试验设计筛选出对刚度、模态影响较大的设计变量。

Plackett-Burman是试验设计的一种。它可以通过比较每个因子两水平的差异以及整体的差异来确定因子的显著性，从而实现筛选因子的目的［11］，因此这里通过该方法来筛选设计变量。

将前门的10个钣金件定义为设计变量，选取结果，如表2所示。通过Plackett-Burman试验设计法，以前门模态、扭转刚度、下垂刚度、侧向刚度以及质量为响应，经过迭代计算，找出对车门模态、刚度以及质量影响较大的钣金件。分析结果，如图11所示。

表2 钣金件选取Tab.2 Selection of Sheet Metal Parts

图11 设计变量对前门性能的主效应图Fig.11 Main Effect Diagram of Design Variables on Frontdoor Performance

图11 中直线从左到右分别为T1～T10。每条直线都表示其钣金件对车门的影响。直线越倾斜，说明该钣金件发生改变时，对车门的影响越大，越平缓的线，说明改变此件，对车门的影响越小。通过观察可以看出，T1、T2、T3、T4、T5、T6的线更加倾斜，说明改变这些钣金件对车门的影响较大，因此将其作为设计变量。

5.2 近似模型的建立

仿真计算是需要消耗大量时间的，对于复杂的模型来说，简单的几个变量都可能需要相当长的时间来计算，因此用简单的数学近似模型来替代复杂的实际模型，可以缩短计算时间，提高优化效率［12］。许多学者在研究类似课题时，都采用了Kriging近似模型。径向基函数（Radial Basis Function，RBF）模型具有很强的逼近复杂非线性函数的能力［13］。径向基函数和Kriging法的适用性相似，对于具有许多设计变量的研究则使用径向基函数法更加合适，而且使用径向基函数进行拟合时，其速度比Kriging 法更快。目前径向基函数已经被广泛地应用到函数逼近、模式识别、图像处理与计算机视觉、信号处理、时间序列、医药控制、军事系统以及优化等领域［14］。因此本次研究建立径向基函数近似模型来替代实际模型。

5.2.1 径向基函数基本理论

径向基函数（RBF）是通过线性叠加构造出的模型，其中包括自变量与基函数。自变量为待测点与样本点之间的欧几里得距离，基函数为径向函数，其表达式为：

式中：p(x)—多项式；

一家地市级医院的发展空间有多大？在全国不少地市级医院切身感受到“夹心层”尴尬之时，沧州市中心医院在区域医疗版图中的引领角色已更加固化，并在新时代医疗势能与动能交汇下，打造出“大三环”医疗服务体系。

ωi—权系数；

φ—径向函数；

‖x-xi‖—欧几里得距离。

5.2.2 构建径向基函数近似模型

这里先采用哈默斯雷采样法选取200个样本点，建立径向基函数近似模型，然后再用拉丁超立方采样法选取20个样本点以验证所建的模型是否准确。以弯曲模态与下垂刚度的近似模型为例，其3D显示，如图12、图13所示。以钣金件T3和T5厚度采样为例，采样结果，如图14所示。

图12 弯曲模态近似模型Fig.12 Bending Modal Approximate Model

图13 下垂刚度近似模型Fig.13 Sagging Stiffness Approximate Model

图14 哈默斯雷与拉丁超立方采样Fig.14 Hammersley and Latin Hypercube Sampling

对于模型精度的评价，一般常用决定系数（R2）、平均相对误差（RAAE）和均方根差（RMSE），R2、RAAE 和RMSE 的计算公式如下［12］。样本点响应误差统计，如表3所示。

表3 样本点响应误差统计Tab.3 Sample Point Response Error Statistics

式中：(x)—响应的实测值；yi(x)—响应的预测值；(x)—响应的实测值的平均值；N—样本点数目。

当R2的值越接近于1，RAAE和RMSE的值越趋近于0时，表示构建的近似模型的精度越高。从表3可以看出，R2都接近于1，RAAE 和RMSE也都接近于0。说明此近似模型的精度相当高，因此可用来替代实际模型进行优化。

5.3 基于遗传算法的轻量化设计

遗传算法是一种模拟生物遗传繁殖机制的优化算法［15］，通过编码对设计空间进行遗传操作，对于适应度较强的个体可以被选择繁殖。遗传算法具有很好的鲁棒性，可用来求取全局优化中的最优解。这里以近似模型代替实际模型进行分析计算，以筛选过后的钣金件T1～T6厚度作为设计变量，对前门弯曲、扭转模态，扭转、下垂以及侧向刚度的加载点位移的绝对值进行约束，以质量最小为目标，应用遗传算法进行计算。前门质量的迭代，如图15所示。钣金件优化结果，如表4所示。

图15 前门质量迭代Fig.15 Frontdoor Mass Iteration

表4 钣金件优化结果Tab.4 Sheet Metal Parts Optimization Results

前门轻量化数学模型如下：

式中：M（x）—前门质量；f1与f2—前门弯曲和扭转模态；|d1|、|d2|、|d3|—扭转、下垂、侧向刚度加载点位移的绝对值；T—设计变量厚度。

5.4 优化结果对比

将钣金件厚度修改为最终取值并进行计算，优化前后结果对比，如表5 所示。通过图表可以看出，前门质量降低了2.54kg，降低了15.65%。虽然模态和刚度都有所降低，但也都在目标要求之上。

表5 优化前后结果对比Tab.5 Comparison of Before and After Optimization Results

5.5 优化时间对比

在利用近似模型完成优化后，又使用原本的实际模型在相同的约束条件下进行优化计算。两次优化时间消耗，如表6所示。可以看出使用近似模型缩短了91.68%的时间，大大降低了时间消耗。

表6 优化耗时对比Tab.6 Optimization Time Consuming Comparison

6 结论

对汽车前门进行轻量化研究，利用试验设计筛选合适的钣金件作为设计变量，应用哈默斯雷采样法构建径向基函数近似模型，利用拉丁超立方采集样本点用于验证所建的模型是否准确，最后在近似模型的基础上，利用遗传算法作为优化算法进行计算，其结果显示在满足模态和刚度要求的情况下，前门质量大幅度降低，优化时间大幅度缩短。说明径向基函数近似模型的建立对准确高效地优化很有帮助，可以为今后的优化设计提供可行的途径以及参考的依据。