L2上复变函数的洛朗级数逼近

杨 刚

(云南大学数学与统计学院,云南昆明 6505000)

0 引言

精确的Jackson不等式研究已经有50余年的历史,为了叙述已有的研究结果,先叙述一些相应的记号;L2(U)表示自变量在区域U内平方可积的复函数空间.在L2(U)上定义函数f范数为

这里|f(z)|表示函数f的模,Pn为次数不高于n的代数多项式函数空间.函数空间Pn对函数f的最佳逼近En-1(f)2[6]表达式为

En-1(f)2∶=inf{‖f-g‖2∶∀g∈Pn-1}.

在复数域上K泛函[1]表达式为

在实数域R上,参考文献[8-13]得到关于m阶连续模和K泛函的相关逼近定理,孙永生[14]介绍了精确Jackson不等式的具体形式.为研究一些函数类的最佳逼近提供了重要的不等式.

1 预备知识

对函数f求r阶导,则有

令bk,r=(-k)(-k-1)…(-k-r+1),ak,r=(k)(k-1)…(k-r+1),即

E(n-1,n-1)(f)2∶=inf{‖f-g‖2∶g∈P(n-1,n-1)}=‖f-S(n-1,n-1)‖2；

(1)

这里E(n-1,n-1)(f)2表示用函数g逼近f得到的最佳逼近.P(n-1,n-1)表示z-1和z的次数都小于等于n-1的函数空间.

2 关于K泛函的精确Jackson不等式和E泛函的不等式

下面给出函数f的最佳逼近E(n-1,n-1)(f)2与函数zrf(r)的最佳逼近E(n-1,n-1)(f)2的关系.

定理1>对于n∈N+;r∈Z+;n>r≥1，则

(2)

从而可以估计(2)式左边的下界

证明.

推论1>对于n∈N+;n>1r=1，则

(3)

定义1[1]特殊K泛函的定义为

(4)

下面得到特殊K泛函与函数f的最佳逼近E(n-1,n-1)(f)2的精确Jackson不等式.

定理2 对于n∈N+;n>1;t∈(0,+∞)，则有

(5)

由公式(4)知

根据K的定义，从而得到(5)式右边的上界

从而得到(5)式左边的下界

证毕.

定义2[2]在L2空间上特殊的E泛函的定义

E(t,f;L2)∶=inf{‖f-f0‖L2;‖f0‖L2≤t},t∈(0,+∞)，

(6)

在L2空间上通常简写成E(t,f;L2)∶=inf{‖f-f0‖2;‖f0‖2≤t}.

定理3 对于n∈N+;n>1;t∈(0,+∞)，则

(7)

令

从而可以估计(7)式左边的下界

证毕.

3 函数类的最佳逼近

介绍函数Φ(t)=M(1+t2),M是一个充分大的正数.下面介绍二种函数类的定义.

E(n-1,n-1)(M(1))2∶=sup{E(n-1,n-1)(f)2∶f∈M(1)}.

(8)

首先得到关于Km(zf',tm)2的函数类的最佳逼近.

(9)

证毕.

(10)

再由公式(8)，可以估计(10)式右边的上界

根据最佳逼近和(4)式知

证毕.

4 函数类宽度的求解

定义5 令B是在L2空间下的单位球，假设Λ2n-1⊂L2的2n-1维子空间；Λ2n-1⊂L2的2n-1维余子空间；σ∶L2→Λ2n-1的线性连续算子；σ⊥∶Λ2n-1→L2线性连续算子；M是在L2下的凸对称子集，则有

b2n-1(M,L2)=sup{sup(ε;εB∩Λ2n⊂M)∶Λ2n⊂L2}；

d2n-1(M,L2)=inf{sup{inf{‖f-g‖2∶g∈Λ2n-1}∶f∈M}∶Λ2n-1⊂L2}；

δ2n-1(M,L2)=inf{inf{sup{‖f-σf‖2∶f∈M}∶σL2∈Λ2n-1}∶Λ2n-1⊂L2}；

d2n-1(M,L2)=inf{sup{‖f‖2∶f∈M∩Λ2n-1}∶Λ2n-1⊂L2}；

Π2n-1(M,L2)=inf{inf{sup{‖f-σ⊥f‖2∶f∈M}∶σ⊥L2⊂Λ2n-1}∶Λ2n⊂L2}；

在希尔伯特空间中满足

b2n-1(M,L2)≤d2n-1(M,L2)≤d2n-1(M,L2)=δ2n-1(M,L2)=Π2n-1(M,L2).

(11)

得到两种函数类的宽度.

(12)

这里λ2n-1(·)表示b2n-1(M,L2)、d2n-1(M,L2)、d2n-1(M,L2)、δ2n-1(M,L2)、Π2n-1(M,L2)中任意一种宽度.

令2n维球体为

证毕.

(13)

这里λ2n-1(·)表示b2n-1(M,L2)、d2n-1(M,L2)、d2n-1(M,L2)、δ2n-1(M,L2)、Π2n-1(M,L2)中任意一种宽度.

令2n维球体为

证毕.

5 总结

1)K泛函与最佳逼近E(n-1，n-1)(f)2的精确Jackson不等式；

2)E泛函与最佳逼近E(n-1,n-1)(f)2的不等式；

3)关于K泛函和E泛函的函数类的最佳逼近和2n-1维宽度.